2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 3.8 二次函数综合题 (课件).pptx

1、类型一二次函数与线段问题类型一二次函数与线段问题第八节二次函数综合题第八节二次函数综合题微技能微技能动点坐标及线段表示动点坐标及线段表示一阶一阶 例例1 如图如图，已知抛物线，已知抛物线 y x2 x2与与 x轴交于点轴交于点A，点，点B，与，与 y轴交于点轴交于点 C，点，点 P是直线是直线BC上方上方抛物线上一点设点抛物线上一点设点 P的横坐标为的横坐标为 t.一题多设问一题多设问1232例1题图(1)点点 P的坐标可表示为的坐标可表示为_，t的取值范围为的取值范围为_；过点过点P作作PQx轴于点轴于点Q，交线段，交线段BC于点于点H，则点，则点Q的坐标可表示为的坐标可表示为_，PQ的长可

2、表示为的长可表示为_，点，点H的坐标可表示为的坐标可表示为_，PH的长可表示为的长可表示为_；例1题图 0t4(t，t2 t2)1232(t，0)t2 t21232(t，t2)12 t22t12过点过点P作作PNy轴交直线轴交直线BC于点于点D，则点，则点D的坐标可表示为的坐标可表示为_，PD的长可表示为的长可表示为_；(2)将抛物线先向上平移将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移个单位长度，再向左平移4个单位长度，则点个单位长度，则点P的对应点的对应点P1的坐标可表示为的坐标可表示为_，PP1的长可表的长可表示为示为_；(t23t，t2 t2)12324tt2(t4，t2 t5)1232

3、5例1题图(3)若点若点P与点与点P关于抛物线的对称轴对称，则点关于抛物线的对称轴对称，则点P的坐标可表示为的坐标可表示为_，PP的长可表示为的长可表示为_；(4)如图如图，过点，过点P作作PMBC于点于点M，则点，则点M的坐标可表示为的坐标可表示为_，PM的长可以表示为的长可以表示为_例1题图 例1题图(3t，t2 t2)12322t32220(,)510tt tt 25(4)5tt 一题多设问一题多设问二阶二阶例例2 如图如图，抛物线，抛物线y x2bxc与与直线直线y x2交于点交于点B、C，点，点B在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，抛物线轴上，抛物线与与x轴的另一个交点为轴的另一个交

4、点为A，对称轴为直线，对称轴为直线l.一题多设问一题多设问1212例2题图(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；例2题图解：解：(1)由直线解析式得点由直线解析式得点B的坐标为的坐标为(4，0)，点，点C的坐标为的坐标为(0，2)，抛物线抛物线y x2bxc与直线交于与直线交于B、C两点，两点，点点B(4，0)，C(0，2)在抛物线上，在抛物线上，将点将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线解析式，得代入抛物线解析式，得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2；8+40,=2bcc 5,2=2bc 121252(2)若点若点E为为x轴上一点，当轴上一点，当BECE时，求点时

5、，求点E的坐标；的坐标；在在RtCOE中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得CE2OC2OE222e24e2，BECE，(4e)24e2，解得，解得e ，点点E的坐标为的坐标为(，0)；3232E(2)如解图如解图，由点，由点E在在x轴上，可设点轴上，可设点E的坐标为的坐标为(e，0)，连接，连接CE，则，则BE4e.例2题图(3)如图如图，设，设P为直线为直线BC下方抛物线上一点过点下方抛物线上一点过点P作作y轴的平行线交轴的平行线交直线直线BC于点于点H.求当求当PH值最大时，点值最大时，点P的坐标；的坐标；例2题图【思维教练】设出点【思维教练】设出点P横坐标为横坐标为p，可表示出，可表示出

6、PH的的长，利用二次函数性质可求出最值；长，利用二次函数性质可求出最值；解：设点解：设点P(p，p2 p2)，则，则H(p，p2)，PH p2 p2 p2 p22p (p2)22，0，0p4，当当p2时，时，PH值最大，最大值为值最大，最大值为2，此时，点，此时，点P的坐标为的坐标为(2，1)；125212121212125212例2题图【拓展设问】如图【拓展设问】如图，过点，过点P作作PDBC于点于点D，求，求PD的最大值；的最大值；【思维教练】根据三角函数表示出【思维教练】根据三角函数表示出PD与与PH的关系，从而表示出的关系，从而表示出PD，再根据二次函数性质求出最值再根据二次函数性质求

7、出最值例2题图由由知，知，PH (p2)22，PHOC，PHDOCB.OC2，OB4，PDPHsinPHDPHsinOCB ，12222 5BCOCOB 2 55OBPHPHBC 例2题图 ，0，0p4，当当p2时，时，PD有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ；254 5(2)55PDp 55 4 55设设PH交交AB于点于点M，设点，设点P(p，p2 p2)，则，则H(p，p2)，M(p，0)，HM p2，BM4p，HB2HM2BM2(p2)2(4p)2 ，解得解得p3或或p5(舍去舍去)，点点P的坐标为的坐标为(3，1)；541212521212【思维教练】根据点【思维教练】根据点P的坐

8、标可表示出点的坐标可表示出点H的坐标，从而表示出的坐标，从而表示出BH的的长，再解方程即可求解；长，再解方程即可求解；若若BH ，求点，求点P的坐标；的坐标；52例2题图若点若点P到直线到直线BC的距离为的距离为 时，过点时，过点P作作PFBC，与抛物线的，与抛物线的另一个交点为另一个交点为F，求点，求点F的坐标；的坐标；【思维教练】点【思维教练】点P到直线到直线BC的距离即为的距离即为PD的长，的长，列方程即可求出此时点列方程即可求出此时点P的坐标，的坐标，PFBC，即，即PF可以由可以由BC平移得到，设出平移得到，设出PF的直线解析式，的直线解析式，代入点代入点P坐标即可求出坐标即可求出P

9、F的解析式，联立方程组，的解析式，联立方程组，即可求出直线即可求出直线PF与抛物线的另一个交点的坐标与抛物线的另一个交点的坐标3 55例2题图解：解：PD (p2)2 ，由题意知，由题意知PD ，解得解得p3或或p1，此时点，此时点P的坐标为的坐标为(3，1)，(1，0)，直线直线BC的解析式为的解析式为y x2，设直线设直线PF的解析式为的解析式为y xm，当直线过点，当直线过点P(3，1)时，时，直线直线PF的解析式为的解析式为y x ，此时点此时点F的坐标为的坐标为(1，0)；55 4 553 5512121212例2题图当直线过点当直线过点P(1，0)时，直线时，直线PF的解析式为的解

10、析式为y x ，此时点，此时点F的坐标为的坐标为(3，1)，综上可知，点综上可知，点F的坐标为的坐标为(1，0)或或(3，1)；1212例2题图(4)在抛物线对称轴在抛物线对称轴l上是否存在一点上是否存在一点F，使得，使得ACF的周长最小，若存的周长最小，若存在，求出点在，求出点F的坐标及的坐标及ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由周长的最小值；若不存在，请说明理由【思维教练】根据对称性可确定点【思维教练】根据对称性可确定点F的位置，求出点的位置，求出点F的坐标，再利的坐标，再利用勾股定理即可求解用勾股定理即可求解(4)存在要使存在要使ACF的周长最小，即的周长最小，即ACAFCF的值最小

11、，如解图，连接的值最小，如解图，连接AC、AF.AC为定值，且点为定值，且点A与点与点B关于对称轴直线关于对称轴直线l对称，对称，BC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F.例2题图F抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2，抛物线对称轴为直线抛物线对称轴为直线 ，A(1，0)将将x 代入代入y x2，得，得y 2 ，点点F的坐标为的坐标为(，)125255212222bxa 12521252345234例2题图F在在RtOAC中，中，OA1，OC2，由勾股定理得，由勾股定理得AC ，在在RtOBC中，中，OB4，OC2，由勾股定理得，由勾股定理得BC ，ACF周长的最

12、小值为周长的最小值为ACAFCFACBC 2 3 .22125 222 5OBOC 55例2题图F5综合训练综合训练三阶三阶1.(2021沈阳沈阳25题题12分分)如图，平面直角坐标系中，如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛是坐标原点，抛物线物线yx2bxc与与x 轴交于轴交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，点，点B坐坐标是标是(3，0)抛物线与抛物线与 y 轴交于点轴交于点C(0，3)，点，点 P是抛物线的顶点，连是抛物线的顶点，连接接PC.第1题图(1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标的坐标第1题图解：解：(1)yx2bxc过

13、过B(3，0)，C(0，3)，解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3，顶点顶点P的坐标为的坐标为(1，4)；093,3bcc =2,=3bc 【一题多解】【一题多解】yx22x3(x1)24，所以所以P点坐标为点坐标为(1，4)(2)直线直线BC与抛物线对称轴交于点与抛物线对称轴交于点D，点，点Q为直线为直线BC上一动点上一动点当当QAB的面积等于的面积等于PCD面积的面积的2倍时，求点倍时，求点Q的坐标；的坐标；设直线设直线BC的解析式为的解析式为ykxn，将点，将点B(3，0)，点，点C(0，3)分别代入，分别代入，得得直线直线BC的解析式为的解析式为yx3.直线直线BC与抛

14、物线对称轴交于点与抛物线对称轴交于点D，点点D在对称轴上，在对称轴上，点点D的横坐标为的横坐标为1.把把x1代入代入yx3得得y2.点点D的坐标为的坐标为(1，2)PD422.03,3knn 第1题图方法一：方法一：SPCD21 1.SPAB2SPCD21.由抛物线的对称性可得由抛物线的对称性可得A(1，0)，AB4.设设Q(m，m3)，4(m3)2，或，或 4(m3)2.m2或或m4.Q(2，1)或或Q(4，1)；121212第1题图第1题图SABQ2SPCD2.过点过点Q作作CGAB，垂足为点，垂足为点G.方法二：如解图，过点方法二：如解图，过点C作作CHPD，垂足为点，垂足为点H，SPC

15、D PDCH 211.1212由抛物线的对称性可得由抛物线的对称性可得A(1，0)，AB4.SABQ ABQG 4QG2.QG1.点点Q的纵坐标为的纵坐标为1或或1.把把y1和和1分别代入分别代入yx3中，中，解得解得x2或或x4.点点Q的坐标为的坐标为(2，1)或或(4，1)；1212GH在在的条件下，当点的条件下，当点Q在在x 轴上方时，过点轴上方时，过点Q作直线作直线l垂直于垂直于AQ，直，直线线y x 交直线交直线l于点于点F，点，点G在直线在直线y x 上，且上，且AG AQ时，请直接写出时，请直接写出GF的长的长73131373【解法提示】如解图【解法提示】如解图，第1题解图第1题

16、解图当点当点Q在在x轴上方时，点轴上方时，点Q的坐标为的坐标为(2，1)，点，点A的坐标为的坐标为(1，0)，直线直线AQ的解析式为的解析式为y x ，AQ .点点G在直线在直线y x 上，上，设设G(x，x )AGAQ，则，则AG2(x1)2(x )210.解得解得x12，x2 .G1(2，3)，G2(，)131313731373108513738595lAQ，直线，直线AQ的解析式为的解析式为y x ，设直线设直线l的解析式为的解析式为y3xm，把点，把点Q(2，1)代入，得代入，得m7.直线直线QF的解析式为的解析式为y3x7.联立联立 解得解得F(，)FG1 ，FG2 .GF的长是的长

17、是 .28101055或或13131457581052105yx,yx 371733x=,x=14575第1题解图2.(2023沈阳大东区一模沈阳大东区一模)如图如图，在平面直角坐标系中，直线，在平面直角坐标系中，直线BC分别分别与与x轴，轴，y轴交于轴交于B(3，0)，C两点，抛物线两点，抛物线yax2bx 经过经过B，C两点，与两点，与x轴交于轴交于A(1，0)第2题图(1)求该抛物线的表达式，并直接写出直线求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式的表达式_；3【解法提示】将【解法提示】将A(1，0)，B(3，0)代入代入yax2bx 中得，中得，解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析

18、式为y x2 x .令令x0，则，则y .C(0，)3ab,ab 309330a=,b=332 333332 3333第2题图第2题图设直线设直线BC的表达式为的表达式为ykxn，得，得解得解得直线直线BC的表达式为的表达式为y k+n,n 303333n,k 333x232 33,33yxx 333yx (1)(2)点点D是是x轴下方抛物线上的一点，过点轴下方抛物线上的一点，过点D作作y轴的平行线交直线轴的平行线交直线BC于于点点E，当，当DE 时，设点时，设点D的横坐标为的横坐标为m，求，求m的值；的值；第2题图(2)D是是x轴下方抛物线上的一点，点轴下方抛物线上的一点，点D的横坐标为的横

19、坐标为m，1m3，D(m，m2 m )点点E在直线在直线BC上且直线上且直线DEy轴，轴，E(m，m )332 3333333 34则则EF(m )m ，DF m2 m )m2 m .DEDFEF m2 m (m )m2 m.DE ，m2 m .解得解得m1m2 ；332 3333333332 333332 333333333333 343333 3432当当0m3时，设直线时，设直线DE交交x轴于点轴于点F，如解图，如解图，EFD第2题图当当1m0，设直线，设直线DE交交x轴于点轴于点F，如解图，如解图，33则则EF(m )m ，DF(m2 m )m2 m .DEEFDF m (m2 m )

20、m2 m.DE ，m2 m .解得解得m (不合题意，舍去不合题意，舍去)或或m .3333332 333332 333333332 3333333 343333 343+3 2233 22 EFD第2题图m .综上所述，综上所述，m的值为的值为 或或 ；33 22 33 22 32EFD第2题图【解法提示】【解法提示】B(3，0)，OB3.C(0，)，OC .在在RtOBC中，中，tanBCO ，BCO60.33OBOC3(3)如图如图，在，在y轴的正半轴上取点轴的正半轴上取点M，在射线，在射线CB上取点上取点N，连接，连接MN，点点P为为MN的中点，且的中点，且CP ，请直接写出，请直接写

21、出CMCN的最大值的最大值_第2题图3点点P为为MN的中点，且的中点，且CP ，点点P的轨迹是在的轨迹是在OCB内部，以点内部，以点C为圆心，为圆心，为半径的圆弧，不为半径的圆弧，不含与边含与边CO，CB的交点观察图形可以得出，当点的交点观察图形可以得出，当点P接近边接近边CO和和CB时，时，CMCN接近接近2 ，由对称性可知，当，由对称性可知，当CP为为OCB的平分线时，的平分线时，CMCN的值最大，的值最大，当当CMN为等边三角形时，为等边三角形时，CMCN最大最大CMN为等边三角形，点为等边三角形，点P为为MN的中点，的中点，CMCN，CPMN，CNM60.333第2题图在在RtCPN中

22、，中，sinCNM .CP ，CN 2，CMCN的最大值为的最大值为4.CPCN3sinCPCNM 第2题图(3)4类型二二次函数与面积问题类型二二次函数与面积问题 微技能微技能面积表示面积表示一阶一阶例例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx23x4与与x轴交于点轴交于点A，B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，顶点为顶点为D，连接，连接AD、DC、AC，点，点P是直线是直线AC上方的抛物线上一点，上方的抛物线上一点，且点且点P的横坐标为的横坐标为m.连接连接PA，PB，PC，BC.一题多设问一题多设问例1题图(1)AB的长为的

23、长为_，OC的长为的长为_，对称轴为直线，对称轴为直线_，顶点顶点D的坐标为的坐标为_；(2)SABC为为_，SAOC为为_，SADC为为_，S四边形四边形AOCD为为_，S四边形四边形ABCD为为_；例1题图5432x 3 25(,)2 4 108152312352(3)SPAB可表示为可表示为_；SPAC可表示为可表示为_；S四边形四边形ABCP可表示为可表示为_例1题图25151022mm 228mm228+10mm一题多设问一题多设问二阶二阶例例2 如图如图，二次函数，二次函数yx2bxc的的图象与图象与x轴交于轴交于A，B(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点C，且对称轴为直线，且对称

24、轴为直线x1，顶点为顶点为D，连接，连接AC，BC.点点P是直线是直线AC下方抛物线上一点，连接下方抛物线上一点，连接PA，连接连接PB交交AC于点于点F.一题多设问一题多设问例2题图(1)求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；例2题图解：解：(1)抛物线与抛物线与x轴交于轴交于B(1，0)，且对称轴为直线，且对称轴为直线x1.抛物线与抛物线与x轴另一个交点坐标为轴另一个交点坐标为A(3，0)，二次函数的解析式为二次函数的解析式为y(x3)(x1)x22x3；(2)若若PAB的面积为的面积为8，求点，求点P的坐标；的坐标；例2题图(2)A(3，0)，B(1，0)，AB4，设设P(p，p22p

25、3)(3p0)，SPAB AB|yP|4|p22p3|2|p22p3|8，p22p34，p1或或p2 1(舍去舍去)或或p2 1(舍去舍去)，p1，点点P的坐标为的坐标为(1，4)；122122(3)如图如图，若，若SAFPSFBC，请求出点，请求出点P的坐标；的坐标；【思维教练】要求点【思维教练】要求点P的坐标，已知的坐标，已知SAFPSFBC，但两个三角形的面积都不易直接求得，可利用但两个三角形的面积都不易直接求得，可利用SPABSABFSABCSAFB，设出点，设出点P坐标，分坐标，分别表示出别表示出SPAB，SABC，代入等量关系即可求解，代入等量关系即可求解例2题图(3)设设P(p，

26、p22p3)，如解图，过点如解图，过点P作作PHx轴于点轴于点H，H(p，0)，3p0，SPAB AB|yP|4|p22p3|2|p22p3|，SAFPSFBC，SAPFSABFSPBCSABF，即，即SPABSABC，2|p22p3|ABOC6，p22p33，p0(舍去舍去)或或p2或或p1 (舍去舍去)，p1 (舍去舍去)，P(2，3)；71212127例2题图H【思维教练】要求【思维教练】要求PAC面积面积S的最大值，先设的最大值，先设点点P坐标，表示出坐标，表示出PAC面积面积S，再根据二次函数，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点的性质，求出最大值及此时点P的坐标的坐标PAC的面

27、积不易直接求得，可作的面积不易直接求得，可作PMy轴交直线轴交直线AC于于M，利用，利用SPACSPAMSPCM求得求得(4)如图如图，连接，连接PC，求，求PAC面积面积S的最大值，并求出对应的点的最大值，并求出对应的点P的的坐标；坐标；例2题图(4)点点A(3，0)，C(0，3)，直线直线AC的解析式为的解析式为yx3，如解图，作如解图，作PMy轴交直线轴交直线AC于点于点M，M设设P(x，x22x3)(3x0)，则则M(x，x3)，PMx3(x22x3)x23x，SSPAMSPCM PMOA x2 x (x )2 ，1232923232278例2题图 0，3x0，当当x 时，时，S有最大

28、值，最大值为有最大值，最大值为 ，此时，此时P点坐标为点坐标为(，)；323232154278M例2题图【拓展设问】求四边形【拓展设问】求四边形ABCP的面积的面积S的最大值并写出此时点的最大值并写出此时点P的坐标的坐标如解图，过点如解图，过点P作作PRAB于点于点R，PTy轴于点轴于点T，连接，连接OP.SOBC OBOC 13 ，SAOP AOPR 3(x22x3)x23x ，SPOC OCPT 3|x|x，则则SSOBCSAOPSOCP x23x x x2 x6，12123212123292121232323292323292例2题图RTS关于关于x的函数解析式为的函数解析式为S x2

29、x6(3x0)，S x2 x6 (x )2 ，0，3x0，当当x 时，四边形时，四边形ABCP的面积的面积S有最大值，有最大值，最大值为最大值为 .此时点此时点P坐标为坐标为(，)；329232923232758323275832154例2题图RT【思维教练】先设点【思维教练】先设点P坐标，表示出坐标，表示出PAC的面积，的面积，利用面积之间的关系表示出利用面积之间的关系表示出S，再根据二次函数的，再根据二次函数的性质，求出最大值及此时点性质，求出最大值及此时点P的坐标的坐标(5)如图如图，PAC与与PBC重合部分的面积为重合部分的面积为S，若，若PAC与与PBC重合部分的面积是重合部分的面积

30、是PAC面积的面积的 ，求，求S的最大值并写出此时点的最大值并写出此时点P的的坐标；坐标；13例2题图例2题图(5)设设P(x，x22x3)(3x0)，由由(4)知，知，SAPC x2 x，PAC与与PBC重合部分的面积是重合部分的面积是PAC面积的面积的 ，S SAPC (x2 x)x2 x (x )2 ，0，3x0，当当x 时，时，S有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(，)；32921313329212321232983298321541312【思维教练】要求点【思维教练】要求点P的坐标，已知过点的坐标，已知过点P且平行于且平行于y轴的直线将轴的直线将P

31、AC分成面积比为分成面积比为1 3的两部分，可的两部分，可先设点先设点P的坐标，设过点的坐标，设过点P且平行于且平行于y轴的直线交轴的直线交AC于点于点Q，表示出，表示出PQC和和PQA的面积，再代入比的面积，再代入比例关系式例关系式SPQC SPQA1 3或或SPQA SPQC1 3，即可求解，即可求解(6)如图如图，过点，过点P且平行于且平行于y轴的直线将轴的直线将PAC分成面积比为分成面积比为1 3的的两部分，求此时点两部分，求此时点P的坐标的坐标例2题图(6)设过点设过点P且平行于且平行于y轴的直线交轴的直线交AC于点于点Q，直线直线PQ将将PAC分成面积比为分成面积比为1 3的两部分

32、，的两部分，设点设点P的坐标为的坐标为(x，x22x3)(3x0)，则则SPQC PQ|x|PQx，SPQA PQ|3x|PQ(x3)，11,33PQCPQAPQAPQCSSSS 或或12121212例2题图当当 时，时，解得，解得x ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(，)当当 时，时，解得，解得x ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(，)13PQCPQASS 13PQAPQCSS 11213(3)2PQ xPQ x 1(3)12132PQ xPQ x 3494631639163494综上可得，当过点综上可得，当过点P且平行于且平行于y轴的直线将轴的直线将PAC分成面积比为分成面积比为1 3的的

33、两部分时，点两部分时，点P的坐标为的坐标为(，)或或(，)631634391694例2题图综合训练综合训练三阶三阶1.如图如图，已知二次函数，已知二次函数y x2bxc的图象与的图象与x轴交于轴交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，且，且OB2OA4.动点动点M从点从点B出出发，以每秒发，以每秒 个单位长度的速度向终点个单位长度的速度向终点C运动，运动时间为运动，运动时间为t秒秒(1)求二次函数的表达式；求二次函数的表达式；12第1题图2第1题图解：解：(1)OB2OA4，A(2，0)，B(4，0)，把把A(2，0)，B(4，0)分别代入分别代入y x

34、2bxc得得 解得解得二次函数的表达式为二次函数的表达式为y x2x4；220,840bcbc 1,4bc 1212(2)过点过点M作作PMBC交交y轴于点轴于点P，当，当t3时，求点时，求点P的坐标；的坐标；点点B(4，0)，C(0，4)，BC4 ，OBCOCB45，当当t3时，时，BM3 ，CMBCBM ，PMBC，CP2，OPOCCP2，点点P(0，2)；222(2)如解图，如解图，PM第1题图(3)如图如图，若点，若点E是线段是线段AC的中点，点的中点，点M运动的同时，动点运动的同时，动点N从点从点A出发，以每秒出发，以每秒1个单位长度的速度向点个单位长度的速度向点B运动，当点运动，当

35、点M运动到终点时点运动到终点时点N停止运动，设停止运动，设EMN的面积是的面积是S，请直接写出，请直接写出S取最小值时，点取最小值时，点N的的坐标坐标第1题图EGy轴，轴，AGEAOC，点点E是线段是线段AC的中点，的中点，AGAEGE=AOACOC 12【解法提示】如解图，过点【解法提示】如解图，过点E作作EGx轴于点轴于点G，G由由A(2，0)，C(0，4)，得，得E(1，2)，则，则G(1，0)，点点N从点从点A运动到点运动到点B的时间为的时间为4(2)16秒，秒，点点M从点从点B运动到点运动到点C的时间为的时间为 4秒，秒，0t4，过点，过点M作作MFx轴于点轴于点F，依题意得依题意得

36、ANt，BM t，OCOB4，OBC45，MFFBt，NG|1t|，GE2，GF61t5t，NF6tt62t，224+422第1题图G当当0t1时，时，NG1t，SEMNSNEGS四边形四边形GEMFSNMF 2(1t)(t2)(5t)t(62t)t2 t6；当当1t4时，时，NGt1，SEMNS四边形四边形GEMFSNEGSNMF (t2)(5t)2(t1)t(62t)t2 t6.12121212521212121252第1题图G 0，且，且0t4，当当t 时，时，S取得最小值，此时取得最小值，此时AN ，点点A的坐标是的坐标是(2，0)，点点N的坐标为的坐标为(，0)12521252 t2

37、 t6 (t )2 ，5252238(3)S取最小值时，点取最小值时，点N的坐标为的坐标为(，0)121212第1题图G2.(2023葫芦岛龙港区一模葫芦岛龙港区一模)如图，抛物线如图，抛物线yax2bx3与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接BC.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；解：解：(1)抛物线抛物线yax2bx3与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，两点，解得解得03,0933abab 1,2ab 抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；第2题图(2)P是线段是线段BC上一点，射线上一点，射线AP交抛物线

38、于点交抛物线于点F.连接连接FC，FB，若，若SFPC2SFPB，求点，求点F的坐标；的坐标；过点过点P作作PMx轴于点轴于点M，如解图，如解图，SFPC2SFPB，PC2PB，即，即BC3PB，由由yx22x3可得可得C(0，3)，CO3，解得解得PM1，同理可得同理可得BM1，OMOBBM2，即，即M(2，0)，P(2，1)，1,3PMPBCOBC 1,33PM 第2题图M设直线设直线AP的解析式为的解析式为ykxb，将，将A(1，0)，P(2，1)代入得，代入得，解得，解得 0,12kbkb 13,13kb 1313211,3323yxyxx 83,119xy 直线直线AP的解析式为的解

39、析式为y x ，联立联立 解得解得 (舍舍)，点点F的坐标为的坐标为(，)；83119第2题图M10 xy 抛物线的顶点为抛物线的顶点为D，当，当DP BP有最小值时，将有最小值时，将ADP沿沿x轴正方轴正方向平移向平移t个单位长度个单位长度(0t4)得到得到ADP，设，设ADP与与BOC重叠部重叠部分的面积记为分的面积记为S，请直接写出，请直接写出S与与t的函数关系式的函数关系式22【解法提示】如解图，过点【解法提示】如解图，过点P作作PEx轴于点轴于点E，B(3，0)，C(0，3)，BCO为等腰直角三角形，直线为等腰直角三角形，直线BC的解析式是的解析式是yx3，BEP为等腰直角三角形，为

40、等腰直角三角形，PE BP，22D备用图PE抛物线抛物线yx22x3(x1)24，顶点顶点D的坐标为的坐标为(1，4)，DP BP最小时点最小时点P的坐标为的坐标为(1，2)，22DP BP最小值即是最小值即是DPPE最小值，此时最小值，此时D、P、E三点共线，三点共线，22将将ADP沿沿x轴正方向平移轴正方向平移t个单位长度个单位长度(0t4)得到得到ADP，分两种情况：，分两种情况：D备用图PE情况一：当情况一：当0t1时，时，AD与与OC、BC分别交于分别交于H、M，AP与与OC、BC分别交于点分别交于点G、N，如解图，如解图，由由A(1，0)，D(1，4)可得直线可得直线AD解析式为解

41、析式为y2x2，ADP沿沿x轴正方向平移轴正方向平移t个单位长度，个单位长度，A(1t，0)，ADAD，直线直线AD解析式为解析式为y2x22t，令令x0得得y22t，即，即H(0，22t)，CHOCOH12t，第2题解图联立直线联立直线AD与直线与直线BC，得，得 解得解得M ，SCHM CHxM (12t)2，由由A(1，0)，P(1，2)得直线得直线AP解析式为解析式为yx1，而而A(1t，0)，APAP得得AP解析式为解析式为yx1t，AP与与y轴交点轴交点G(0，1t)，同理可得，同理可得与直线与直线BC交点交点N(1 t，2 t)，yxt,yx 223 xt,yt 11238233

42、182(12),)333tt 12161212第2题解图OG1t，SCGN CGxN (2t)2，SSCGNSCHM (2t)2 (12t)2 t2 t ；121414165121356情况二：当情况二：当1t4时，时，AD交交BC于点于点R，AP交交BC于点于点Q，如解图，如解图，直线直线AD解析式为解析式为y2x2，ADAD，A(t1，0)，直线直线AD解析式为解析式为y2x22t，同理可得点同理可得点R的坐标为的坐标为(t ，t )，直线直线AP的解析式为的解析式为yx1，而而A(t1，0)，APAP得直线得直线AP解析式为解析式为yx1t，23132383第2题解图12第2题解图同理可

43、得点同理可得点Q坐标为坐标为(t1，t2)，SSRABSQAB AByR AByQ (4t)(t )(4t)(t2)t2 t .12121212121211223234383综上所述，综上所述，S与与t的函数关系式为：的函数关系式为：22515011236124141233tt(t)S,tt(t)S与与t的函数关系式为：的函数关系式为：22515(01)1236124(14)1233tttSttt ；3.(2021聊城聊城)如图，抛物线如图，抛物线yax2 xc与与x轴交于点轴交于点A，B，与，与y轴交轴交于点于点C，已知，已知A，C两点坐标分别是两点坐标分别是A(1，0)，C(0，2)，连接

44、，连接AC，BC.(1)求抛物线的表达式和求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；所在直线的表达式；32解：解：(1)抛物线抛物线yax2 xc过点过点A(1，0)，C(0，2)，解得解得抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x2.设直线设直线AC的表达式为的表达式为ykxb，则，则 解得解得直线直线AC的表达式为的表达式为y2x2；3230,22acc 1=,2=2ac 12320,2kbb 2,2kb 第3题图(2)将将ABC沿沿BC所在直线折叠，得到所在直线折叠，得到DBC，点，点A的对应点的对应点D是否落是否落在抛物线的对称轴上，若点在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点在

45、对称轴上，请求出点D的坐标；若点的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；不在对称轴上，请说明理由；1232(2)点点D不在抛物线的对称轴上，理由如下：不在抛物线的对称轴上，理由如下：抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x2，点点B的坐标为的坐标为(4，0)OA1，OC2，.12OAOCOCOB 第3题图又又AOCBOC90，AOCCOB.ACOCBO.ACOBCOCBOBCO90，ACBC.将将ABC沿沿BC所在直线折叠，点所在直线折叠，点D一定落在直线一定落在直线AC上，如解图，上，如解图，延长延长AC至点至点D，使，使DCAC，过点，过点D作作DEy轴交轴交y轴于点轴于点E.32又又

46、ACODCE，ACODCE(AAS)DEAO1，则点，则点D横坐标为横坐标为1，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x ；点点D不在抛物线的对称轴上；不在抛物线的对称轴上；D第3题图E(3)若点若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交交BC于点于点Q，连接，连接BP，BPQ的面积记为的面积记为S1，ABQ的面积记为的面积记为S2，求，求 的的值最大时点值最大时点P的坐标的坐标12SS(3)设过点设过点B、C的直线表达式为的直线表达式为ymxn，C(0，2)，B(4，0)，解得解得过点过点B、C的直线解析式为的直线解析式为y x2.2,04

47、nmn 1,22mn 12PQ第3题图设点设点P的坐标为的坐标为(m，m2 m2)，则点，则点N的坐标为的坐标为(m，m2)，PN m2(m2 m2)m22m，PNAM，AQMPQN.12321212321212PQPNAQAM 12如解图，过点如解图，过点A作作x轴的垂线交轴的垂线交BC的延长线于点的延长线于点M，点点M坐标为坐标为(1，)，PQMHN过点过点P作作x轴的垂线交轴的垂线交BC于点于点N，交，交x轴于点轴于点H.第3题图若分别以若分别以PQ、AQ为底计算为底计算BPQ和和BAQ的面积的面积(同高不等底同高不等底)，则则BPQ与与BAQ的面积比为的面积比为 ，即，即 0，4m0，当当m2时，时，有最大值，且最大值为有最大值，且最大值为 ，此时点此时点P的坐标为的坐标为(2，3)PQAQ12.SPQSAQ 22212124142(2).555552mmSPNmmmSAM 1512SS45PQMHN第3题图