2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第14课时 二次函数的图象与性质（课件）.pptx

1、 内蒙古中考内蒙古中考真题及拓展真题及拓展3 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2二次函数图象与性质二次函数图象的平移根据二次函数解析式判断函数性质根据二次函数解析式判断函数图象二次函数的图象与性质二次函数的概念概念特殊形式解析式的三种形式确定二次函数解析式的步骤二次函数解析式的确定考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九下第二章【对接教材】北师：九下第二章P29P45；人教：九上第二十二章人教：九上第二十二章P28P42.1考点考点二次函数的概念二次函数的概念概念概念形如形如yax2bxc(a，b，c是常数，是常数，a0)的函数的函数特殊形式特殊形式特别地，当特别地，当a0，bc0时，

2、时，yax2是二次函数的特殊形式是二次函数的特殊形式2考点考点二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质1.根据二次函数解析式判断函数性质根据二次函数解析式判断函数性质对称轴对称轴1.直接利用公式直接利用公式x_求解；求解；2.转化为顶点式转化为顶点式ya(xh)2k，则对称轴为直线，则对称轴为直线_注注:还可利用还可利用x (其中其中x1、x2为关于对称轴对称的两点的横坐标为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解求解顶点顶点坐标坐标1.直接利用顶点坐标直接利用顶点坐标_求解；求解；2.将一般式化为顶点式将一般式化为顶点式ya(xh)2k，则顶点坐标为，则顶点坐标为_；3.将对称轴将对称轴xx0代入

3、函数解析式求解代入函数解析式求解 xx12+2xh(，)ba2 acba244 ba2(h，k)增减性增减性a0时，在对称轴左侧，时，在对称轴左侧，y随随x的增大而的增大而_；在对称轴右；在对称轴右侧，侧，y随随x的增大而的增大而_a0时，时，y有最小值有最小值_a0抛物线与抛物线与y轴交于轴交于_c0与与x轴有轴有_个交点个交点b24ac0与与x轴没有交点轴没有交点两两二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定3考点考点1.解析式的三种形式解析式的三种形式一般式一般式_顶点式顶点式ya(xh)2k(a0)，顶点坐标是，顶点坐标是_交点式交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，其中，其中x1、x

4、2为抛物线与为抛物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标yax2bxc(a0)(h，k)2.确定二次函数解析式的步骤确定二次函数解析式的步骤方法方法待定系数法待定系数法具体具体方法方法1.对于二次函数解析式对于二次函数解析式yax2bxc，若系数，若系数a，b，c中有一个未知，则中有一个未知，则代入二次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象代入二次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标；上任意两点坐标；2.对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的解析式：对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的解析式：(1)顶点在原点，可设为顶点在原

5、点，可设为yax2；(2)对称轴是对称轴是y轴轴(或顶点在或顶点在y轴上轴上)，可设为，可设为yax2c；(3)顶点在顶点在x轴上，可设为轴上，可设为ya(xh)2；(4)抛物线过原点，可设为抛物线过原点，可设为yax2bx；具体具体方法方法(5)已知顶点已知顶点(h，k)时，可设为顶点式时，可设为顶点式ya(xh)2k；(6)已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标为轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴及与时，或已知对称轴及与x轴的一个交点轴的一个交点(x1，0)，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2，0)，可，可设为两点式设为两

6、点式ya(xx1)(xx2)；(7)已知二次函数图象上任意三点坐标，可设为已知二次函数图象上任意三点坐标，可设为yax2bxc；3.联立一次方程联立一次方程(组组)，求得系数或常数项；，求得系数或常数项；4.将所得系数或常数项代入解析式即可将所得系数或常数项代入解析式即可【满分技法】【满分技法】若已知抛物线与若已知抛物线与x轴相交的其中一个交点是轴相交的其中一个交点是A(x1，0)，且其对称轴是直线，且其对称轴是直线xh，则，则另一个交点另一个交点B的横坐标为的横坐标为x22hx14考点考点二次函数图象的平移二次函数图象的平移平移前解析式平移前解析式平移平移n个单位个单位(n0)平移后解析式平

7、移后解析式简记简记ya(xh)2k(a0)向左平移向左平移n个单位个单位ya(xh )2k左左“”右右“”向右平移向右平移n个单位个单位ya(xh )2k向上平移向上平移n个单位个单位ya(xh)2k上上“”下下“”向下平移向下平移n个单位个单位ya(xh)2k【满分技法】在一般式【满分技法】在一般式yax2bxc(a0)平移过程中，先把抛物线的解析式化成平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律，左右平移给顶点式，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移单位，上下平移给等号右边整加减平移单位，上下平移给等号右边整体加减平移单位体加减平移单位 nnnn重难点分层练重难点分层练一一

8、、二次函数图象与性质二次函数图象与性质例例1 已知抛物线已知抛物线yax2bxc的几组的几组对应值如下表：对应值如下表：一题多设问一题多设问x4321012y5034305回顾必备知识回顾必备知识根据表格中的信息，解答下列问题：根据表格中的信息，解答下列问题：(1)观察表格可得抛物线与观察表格可得抛物线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为_；与；与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_；抛物线的对称轴为直线；抛物线的对称轴为直线_；顶点；顶点坐标为坐标为_；(0，3)(3，0)、(1，0)x1(1，4)x4321012y5034305(2)根据描点法画出该函数的大致图象；根据描点法画出该函数的大致图象；

9、例1题图(3)抛物线的开口向抛物线的开口向_；(4)抛物线的表达式为抛物线的表达式为_，化为顶点式为，化为顶点式为_；(5)抛物线上的点抛物线上的点A(，)关于抛物线对称轴关于抛物线对称轴对称的点对称的点B的坐标为的坐标为_；1274下下yx22x3y(x1)24(，)5274例1题图(6)若点若点C为抛物线上一点，且到对称轴的距离为为抛物线上一点，且到对称轴的距离为1，则点，则点C的坐标为的坐标为_；(7)若若B(5，y1)，C(2，y2)，D(4，y3)三点在抛物线上，则三点在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为的大小关系为_；(8)当当1x3时，时，y的最小值为的最小值为_，y的最大

10、值为的最大值为_y3y1y2124(2，3)或或(0，3)例1题图二二、二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定形式一解析式未给出形式一解析式未给出例例2 (1)已知抛物线以已知抛物线以A(1，4)为顶点，且过点为顶点，且过点B(2，5)，求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；解：解：(1)抛物线以抛物线以A(1，4)为顶点，为顶点，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x1)24，将点将点B(2，5)代入，得代入，得5a(21)24，解得解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)24x22x3(2)若抛物线经过若抛物线经过(2，0)、(1，0)、(1，4)三点，求抛物线的解析式；

11、三点，求抛物线的解析式；(2)抛物线经过点抛物线经过点(2，0)，(1，0)，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x2)(x1)，将点将点(1，4)代入，得代入，得4a(12)(11)，解得解得a2，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y2(x2)(x1)2x22x4；(3)若抛物线过原点，且经过点若抛物线过原点，且经过点(1，4)、(2，2)，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式.(3)抛物线过原点，抛物线过原点，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为yax2bx，将点将点(1，4)、(2，2)分别代入，分别代入，得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx23x.4422abab ，1

12、3ab ，形式二解析式已给出形式二解析式已给出例例3 已知抛物线已知抛物线yax2bx1.(1)当抛物线经过当抛物线经过(1，2)和和(3，2)两点时，求抛物线的解析式；两点时，求抛物线的解析式；一题多设问一题多设问解：解：(1)将点将点(1，2)，(3，2)代入代入yax2bx1，得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx24x1；129312abab ，14ab ，(2)当抛物线的顶点坐标为当抛物线的顶点坐标为(2，1)时，求抛物线的解析式；时，求抛物线的解析式；(2)由题意得由题意得 解得解得 或或 (不合题意，舍去不合题意，舍去)抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x22x1；

13、222414baaba ，122ab ，00ab ，12(3)当抛物线的对称轴为直线当抛物线的对称轴为直线x1，且经过点，且经过点(2，0)时，求抛物线的解时，求抛物线的解析式；析式；(3)抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，1，b2a，yax22ax1.将点将点(2，0)代入，得代入，得4a4a10，解得，解得a ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x1；ba2181418(4)若抛物线经过若抛物线经过A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三点中的两点，求抛物线的三点中的两点，求抛物线的解析式解析式(4)由题意可知，抛物线经过点由题意可知，抛物线经过点(0，1)，过点过点

14、(0，1)和和A(2，3)的直线解析式为的直线解析式为yx1，且点，且点B(4，5)也在该直也在该直线上，线上，抛物线经过抛物线经过A(2，3)，B(4，5)两点中的一点两点中的一点B(4，5)，C(4，3)两点的横坐标相同，两点的横坐标相同，抛物线经过抛物线经过B(4，5)，C(4，3)两点中的一点，两点中的一点，抛物线经过抛物线经过A(2，3)，C(4，3)两点两点将将A(2，3)，C(4，3)两点代入，两点代入，得得 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x1.4213,16413,abab 1,43,2ab 3214形式三二次函数图象的平移确定解析式形式三二次函数图象的平

15、移确定解析式例例4 已知抛物线已知抛物线yx24x3.(1)将抛物线先向左平移将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平个单位长度，求平移后的抛物线的解析式；移后的抛物线的解析式；解：解：(1)由题意可知，平移后的抛物线的解析式为由题意可知，平移后的抛物线的解析式为y(x1)24(x1)32，即即yx22x2；(2)将抛物线沿将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线过点轴平移，若平移后的抛物线过点(0，1)，求平移后的抛，求平移后的抛物线的解析式物线的解析式(2)抛物线抛物线yx24x3可化为可化为y(x2)21，设抛物线沿设抛物线沿x轴平移轴平移h个单位长

16、度，个单位长度，则平移后的解析式为则平移后的解析式为y(x2h)21，平移后的抛物线过点平移后的抛物线过点(0，1)，(2h)211，解得，解得h2，平移后的抛物线的解析式为平移后的抛物线的解析式为yx21.例例5 已知抛物线已知抛物线yx22mx2m2m.(1)若抛物线过点若抛物线过点P(2，t)、Q(4，t)，则，则m的值为的值为_；(2)若若x3时，时，y随随x的增大而减小，则的增大而减小，则m的取值范围为的取值范围为_；(3)若抛物线经过第一、二、三象限，则若抛物线经过第一、二、三象限，则m的取值范围为的取值范围为_；一题多设问一题多设问1m3m112提升关键能力提升关键能力(4)若点

17、若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且在抛物线上，且yByC，求，求m的取值范围；的取值范围；(4)点点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线在抛物线yx22mx2m2m上，上，yB44m2m2m，yC2510m2m2m，yByC，44m2m2m2510m2m2m，解得解得m ，即即m的取值范围为的取值范围为m ；7272(5)当当1x3时，函数时，函数y的最小值等于的最小值等于6，求，求m的值；的值；(5)当当m1，即，即m1时，时，当当x1时时y有最小值有最小值6，12m2m2m6，即，即2m2m50，解得解得m 或或m (不合题意，舍去不合题意，舍去)；当当1m3，即，即3m1

18、，当当xm时，时，y有最小值有最小值6，当当m2m6，即，即m2m60，解得解得m2或或m3(不合题意，舍去不合题意，舍去)；1414 1414 当当m3，即，即m3，当当x3时，时，y有最小值有最小值6，96m2m2m6，即，即2m25m30，解得解得m (不合题意，舍去不合题意，舍去)或或m1(不合题意，舍去不合题意，舍去)综上所述，综上所述，m的值为的值为 或或2；321414 (6)该抛物线的顶点随该抛物线的顶点随m的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物线的顶点坐标；线的顶点坐标；(6)抛物线抛物线yx22mx2m2m的顶点为的顶点为(m，

19、m2m)，顶点移动到最低处，即顶点纵坐标最小，顶点移动到最低处，即顶点纵坐标最小，m2m(m )2 ，当当m 时，纵坐标最小，即顶点移到最低处，时，纵坐标最小，即顶点移到最低处，当当m 时，时，m ，m2m ，当顶点移到最低处时，该抛物线的顶点坐标为当顶点移到最低处时，该抛物线的顶点坐标为(，)；1214121412121214(7)当当m2时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方法及平移后的抛物线的解析式移方法及平移后的抛物线的解析式(7)当当m2时，该抛物线解析式为时，该抛物线解析式为yx24x6(x2)22，将该抛物线向

20、右平移将该抛物线向右平移2个单位，向下平移个单位，向下平移2个单位，可使其顶点恰好落在个单位，可使其顶点恰好落在原点，平移后的抛物线的解析式为原点，平移后的抛物线的解析式为yx2.内蒙古中考内蒙古中考真题及拓展真题及拓展1命题点命题点二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质1.(2021呼和浩特呼和浩特3题题3分分)二次函数二次函数yax2与一次函数与一次函数yaxa在同一坐在同一坐标系中的大致图象可能是标系中的大致图象可能是()D2.(2023包头包头10题题3分分)已知二次函数已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经过第一的图象经过第一象限的点象限的点(1，b)，则一次函数，则一次函数y

21、bxac的图象不经过的图象不经过()A.第一象限第一象限 B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限 D.第四象限第四象限C3.(2023赤峰赤峰12题题3分分)已知抛物线已知抛物线yax2bxc上的部分点的横坐标上的部分点的横坐标x与与纵坐标纵坐标y的对应值如下表：的对应值如下表：以下结论正确的是以下结论正确的是()A.抛物线抛物线yax2bxc的开口向下的开口向下B.当当x0时，时，x的取值范围是的取值范围是0 x2x10123y301m3C4.(2023呼和浩特呼和浩特10题题3分分)已知二次项系数等于已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图的一个二次函数，其图象与象与x轴交于两点轴交于两

22、点(m，0)，(n，0)，且过，且过A(0，b)，B(3，a)两点两点(b，a是实是实数数)，若，若0mn2，则，则ab的取值范围是的取值范围是()A.0ab B.0ab C.0ab D.0ab41881161984916C5.(2023包头包头20题题3分分)已知抛物线已知抛物线yx22x3与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C，点，点D(4，y)在抛物线上，在抛物线上，E是该抛物线是该抛物线对称轴上一动点当对称轴上一动点当BEDE的值最小时，的值最小时，ACE的面积为的面积为_4二次函数图象的平移二次函数图象的平移(包头包头2022.1

23、9，呼和浩特呼和浩特2022.7)2命题点命题点6.(2022呼和浩特呼和浩特7题题3分分)关于二次函数关于二次函数y x26xa27，下列说法，下列说法错误的是错误的是()A.若将图象向上平移若将图象向上平移10个单位，再向左平移个单位，再向左平移2个单位后过点个单位后过点(4，5)，则则a5B.当当x12时，时，y有最小值有最小值a9C.x2对应的函数值比最小值大对应的函数值比最小值大7D.当当a0时，图象与时，图象与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点14C7.(2022包头包头19题题3分分)在平面直角坐标系中，已知在平面直角坐标系中，已知A(1，m)和和B(5，m)是抛物线是抛物线

24、yx2bx1上的两点，将抛物线上的两点，将抛物线yx2bx1的图象向上平的图象向上平移移n(n是正整数是正整数)个单位，使平移后的图象与个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则轴没有交点，则n的最小值的最小值为为_48.(2023山西山西)抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y3(x2)21,若将若将x轴向上平移轴向上平移2个单位长度，将个单位长度，将y轴向左平移轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为坐标系中的函数表达式为()A.y3(x1)23 B.y3(x5)23C.y3(x5)21 D.y3(x1)21创 新 考 法

25、创 新 考 法C9(2023丽水丽水)如图，已知抛物线如图，已知抛物线L：yx2bxc经过点经过点A(0，5)，B(5，0)(1)求求b，c的值；的值；第9题图解：解：(1)把点把点A(0，5)，B(5，0)分别代入分别代入yx2bxc中，中，得得 解得解得b，c的值分别为的值分别为4，5；52550cbc ，45bc ，(2)连接连接AB，交抛物线，交抛物线L的对称轴于点的对称轴于点M.求点求点M的坐标；的坐标；(2)设设AB所在直线的函数解析式为所在直线的函数解析式为ykxn(k0)，把把A(0，5)，B(5，0)分别代入分别代入ykxn，得得 解得解得 AB所在直线的函数解析式为所在直线

26、的函数解析式为yx5.由由(1)得，抛物线得，抛物线L的解析式为的解析式为yx24x5，550nkn ，15kn ，第9题图抛物线抛物线L的对称轴是直线的对称轴是直线x2，当当x2时，时，yx53.点点M的坐标是的坐标是(2，3)；第9题图将抛物线将抛物线L向左平移向左平移m(m0)个单位得到抛物线个单位得到抛物线L1，过点，过点M作作MNy轴，轴，交抛物线交抛物线L1于点于点N，P是抛物线是抛物线L1上一点，横坐标为上一点，横坐标为1，过点，过点P作作PEx轴，交抛物线轴，交抛物线L于点于点E，点，点E在抛物线在抛物线L对称轴的右侧若对称轴的右侧若PEMN10，求求m的值的值由由(1)得抛物

27、线得抛物线L的解析式为的解析式为yx24x5(x2)29，设抛物线设抛物线L1的解析式是的解析式是y(x2m)29.MNy轴，轴，点点N的坐标是的坐标是(2，m29)点点P的横坐标为的横坐标为1，第9题图点点P的坐标是的坐标是(1，m26m)设设PE交抛物线交抛物线L1于另一点于另一点Q，抛物线抛物线L1的对称轴是直线的对称轴是直线x2m，PEx轴，轴，根据抛物线的对称性可知，点根据抛物线的对称性可知，点Q的坐标是的坐标是(52m，m26m)，此时，分三种情况讨论此时，分三种情况讨论()如解图，当点如解图，当点N在点在点M及下方，即及下方，即0m 时，时，PQ52m(1)62m，MN3(m29)6m2，由平移性质得，由平移性质得，QEm，第9题解图6()如解图，当点如解图，当点N在点在点M及上方，点及上方，点Q在点在点P及右侧，及右侧，即即 3时，时，PEm，MNm26，PEMN10，mm2610，解得解得m1 (舍去舍去)，m2 .综上所述，综上所述，m的值是的值是1或或 .第9题解图1652 1652 1652