2024河南中考数学备考重难专题课件：真实情境中的圆问题（课件）.pptx

1、真实情境中的圆问题2024中考备考重难专题课件中考备考重难专题课件目目录录 课堂练兵 课后小练1 典例精讲23考情分析考情分析年份年份题题号号题题型型分分值值背景素材背景素材考查知识考查知识设问形式设问形式辅助线作法辅助线作法2022 22解解答答题题10滚铁环滚铁环(1)切线的性质、切线的性质、互为余互为余角的性质角的性质；(2)锐角三角函数，锐角三角函数，等角等角的三角函数值相等的三角函数值相等(1)求证：两求证：两角 之 和 为角 之 和 为90；(2)求线段长求线段长(1)过切点作铅过切点作铅垂线的平行线；垂线的平行线；(2)过切点作另过切点作另一切线的平行线一切线的平行线2021 2

2、09石磨（传石磨（传统文化、统文化、跨学科跨学科“连杆连杆”）(1)切线的性质、互为余切线的性质、互为余角的性质、圆周角定理；角的性质、圆周角定理；(2)相似三角形的判定与相似三角形的判定与性质、勾股定理性质、勾股定理(1)求证：角求证：角之间的之间的2倍倍关系；关系；(2)求线段长求线段长(1)连圆心和切连圆心和切点；点；(2)过点过点P作直径作直径的垂线的垂线年份年份题题号号题题型型分分值值背景素材背景素材考查知识考查知识设问形式设问形式辅助线作法辅助线作法2020 20解解答答题题9三分角器三分角器（数学文（数学文化）化）切线的性质、全等三角切线的性质、全等三角形的判定与性质形的判定与性

3、质补充已知、补充已知、求证，写出求证，写出证明过程证明过程连接圆心和切点连接圆心和切点典例精讲典例精讲例例 (2023开封模拟开封模拟)中国中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为水轮、竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5米的水车灌田的简米的水车灌田的简化示意图，立式水轮化示意图，立式水轮O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽处，水沿水槽AP流流到田地，到田地，O与水面交于点与水面交于点B，C，且点，且点B，C

4、，P在同一直线上；在同一直线上；AP与与O相切，若相切，若点点P到点到点C的距离为的距离为32米，立式水轮米，立式水轮O的最低点到水面的距离为的最低点到水面的距离为2米，连接米，连接AC，AB.请解答下列问题：请解答下列问题：(1)求证：求证：PACPBA；还是无法联系还是无法联系PAC和和PBA，还可以怎，还可以怎样作辅助线？样作辅助线？借助半径构造直径试试，并连接借助半径构造直径试试，并连接CEE例题图例题图知切点，连半径知切点，连半径观察图形还观察图形还有什么发现？有什么发现？(1)求证：求证：PACPBA；E例题图例题图PBA=AEC互余的性质得到互余的性质得到AEC=PAC=PBA拓

5、展：拓展：PAC这种顶点在圆上这种顶点在圆上,一边和圆相交一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，即本题中证明的角等于它所夹的弧所对的圆周角，即本题中证明的PACPBA例题图例题图注意：注意：弦切角需要证明弦切角需要证明连半径不能直接应用连半径不能直接应用解题还需要构造直径解题还需要构造直径答题步骤答题步骤作辅助线作辅助线证证EACPAC90证证EACAEC90证得证得PACPBA证证AECABC(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接AO并延长交并延长交O于点于点E，连接，连接CE，PA是是O的切线，的切线，EAP90

6、，EACPAC90，AE是是O的直径，的直径，ACE90，EACAEC90，PACAECAECABC，ABCPAC，即即PACPBA；解图解图锐角三角函数锐角三角函数(2)请求出水槽请求出水槽AP的长度的长度求线段长我们可以想到什么方法？求线段长我们可以想到什么方法？三角形相似三角形相似图中构成图中构成A字型相似（有字型相似（有公共角，且另一组角相等）公共角，且另一组角相等）例题图例题图AP在哪个三角形中？在哪个三角形中？PC=32PACPBA=PAPCPBPAPA2PBPC?BC?DFRtOFC中求得中求得FC，BC勾股定理勾股定理三角形全等三角形全等半径为半径为5O的最低点到水的最低点到水

7、面的距离为面的距离为2米米已知：已知：DF=2答题步骤答题步骤作辅助线作辅助线求求PB证证PACPBA求出求出PA列比例式列比例式(2)解：解：如解图，过点如解图，过点O作作OFBC于点于点F，延长，延长OF交交O于点于点D，连接，连接OC，BC为水平面，为水平面，D为为O的最低点，由题知的最低点，由题知DF2米，由垂径定理可得米，由垂径定理可得BC2CF，在在RtOFC中，中，OFODDF523米，米，OC5米，米，则则CF 4米，米，BC2CF8米，米，PB32840米，米，PP，PACPBA，PACPBA，即即PA2PBPC，PA 16 米米答：水槽答：水槽AP的长度为的长度为16 米米

8、522OCOF PAPBPCPA4032 5解图解图方法总结方法总结真实情境中真实情境中的圆问题的圆问题 切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理 相似相似A字型，特点为有共用的一组角，且有另外一字型，特点为有共用的一组角，且有另外一组角相等，形似字母组角相等，形似字母“A”辅助线作法：辅助线作法：过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题(题中没有题中没有给出直径的情况给出直径的情况)拓展：拓展：题中这种角是弦切角，弦切角等于它所夹的弧

9、所对的圆周角题中这种角是弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角知识点：知识点：模型：模型：解题方法：解题方法：1.证明角间数量关系证明角间数量关系切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间等量转换，两角互余的性质等量转换，两角互余的性质2.求线段长求线段长通常有通常有3种方法：种方法：锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角；角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角；勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者

10、能够构造直角三角形，勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用勾股定理需要已知两边；用勾股定理需要已知两边；三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明全等全等真实情境中真实情境中的圆问题的圆问题课堂练兵课堂练兵练习练习 (2023河南原创卷河南原创卷)我国的纸伞工艺十分巧妙如图我国的纸伞工艺十分巧妙如图，伞不论张开还是缩拢，伞不论张开还是缩拢，伞柄伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的始终平分同一平面内两条伞骨所成的BAD，从而保证伞圈，从而保证伞圈C能沿着伞柄滑能沿着伞柄滑动小明受此启发设计了一个动小明

11、受此启发设计了一个“简易平分角的仪器简易平分角的仪器”，如图，如图，其中，其中ABAD，BCDC，将仪器上的点，将仪器上的点A与与PRQ的顶点的顶点R重合，调整重合，调整AB和和AD，使它们落在角的两边上，使它们落在角的两边上，沿沿AC画一条射线画一条射线AE，则，则AE为为PRQ的平分线的平分线(1)如图如图，试说明这个平分角的仪器的制作原理；，试说明这个平分角的仪器的制作原理；证得证得ABCADC全等全等如何得如何得到两角到两角相等？相等？练习题图练习题图能想到什么？能想到什么？角平分线角平分线角平分线性角平分线性质是什么？质是什么？BACDAC勾股定理勾股定理锐角三角函数锐角三角函数三角

12、形全等三角形全等三角形相似三角形相似解解(1)：在在ABC和和ADC中，中，ABCADC(SSS)，BACDAC(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)，AC为为BAD的平分线；的平分线；ABADBCDCACAC 答题步骤答题步骤证证ABCADC证得角相等证得角相等判定角平分线判定角平分线练习题图练习题图(2)如图如图，将上述平分角仪器的顶点，将上述平分角仪器的顶点A落在落在O的直径的直径MN的端点的端点M处，边处，边AB与直径与直径MN共线，边共线，边AD与与O相交于点相交于点G，AC交交O于点于点E，过点，过点E作作O的切线，与的切线，与AD，BC分别交于点分别交于点F，H.求证：

13、求证：EFAD；连半径，得到连半径，得到OEEF能否证明能否证明ADOE，EFAD？练习题图练习题图已知已知AC平分平分DABDACBACOEA内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行答题步骤答题步骤连半径连半径证证DACOEA证明证明OEAD证得证得EFAD证明证明OEEH(2)证明：如图，连接证明：如图，连接OE，OEOA，OAEOEA，AC平分平分DAB；DACBAC，DACOEA，OEAD，FH是是O的切线，的切线，OEEH，EFAD；练习题图练习题图若若O半径为半径为3，AE4，求，求FG的长的长放在哪个三角形中求解？放在哪个三角形中求解？34(2)如图如图，将上述平分角仪器的顶

14、点，将上述平分角仪器的顶点A落在落在O的直径的直径MN的端点的端点M处，边处，边AB与直径与直径MN共线，边共线，边AD与与O相交于点相交于点G，AC交交O于点于点E，过点，过点E作作O的切线，与的切线，与AD，BC分别交于点分别交于点F，H.在在RtANE中，中，可可得得EN长长DACBACGE=EN证明证明EFGAEN=EGFGANEN？练习题图练习题图四边形四边形ANEG是是圆内接四边形圆内接四边形答题步骤答题步骤作作辅助线辅助线计算计算EN长度长度代换代换GE列比例式计算列比例式计算FG证证EFGAEN解：如图，连接解：如图，连接EG，EN，MN是是O的直径，的直径，O半径为半径为3，

15、MEN90，MN6，在在RtAEN中，中，ANMN6，AE4，由勾股定理得由勾股定理得EN 2 ，AC平分平分DAB，DACBAC，GENE2 ，EFAD，AFE90，AENAFE，四边形四边形ANEG是圆内接四边形，是圆内接四边形，EGFANE，EFGAEN，FG .22ANAE 55GENE103EGANFGEN2 562 5FG练习题图练习题图课后小练课后小练练习练习1 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概多年前，由我国的墨子给出圆的概念：念：“一中同长也一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义

16、比意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年与圆有关的定理有很多，弦切角定理年与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一就是其中之一我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数如下是弦切角定理一种情况的证明过程：如下是弦切角定理一种情况的证明过程：证明：如图证明：如图，AB与与O相切于点相切于点A,CAB90，弦切角弦切角BAC

17、的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数练习练习1题题题题图图为了验证这一定理的正确性，需要对其他情况进行证明如下给出了不完整的为了验证这一定理的正确性，需要对其他情况进行证明如下给出了不完整的“已知已知”和和“求证求证”，请补充完整，并写出证明过程，请补充完整，并写出证明过程已知：如图已知：如图，_，圆心，圆心O在在BAC的内部，的内部，AD为为O的直径，点的直径，点E为为O上一点，上一点，CE，AE为为O的弦的弦求证：求证：_AB与与O相切于点相切于点ACEACAB练习练习1题题题题图图证明：如图，连接证明：如图，连接DE，则，则CEDCAD，AD是是O的直

18、径，的直径，DEA90.AB与与O相切于点相切于点 A,DAB90.CED DEA CAD DAB,即即CEACAB，弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数练习练习2 与圆有关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多，例如垂径定理，圆周角定与圆有关的定理，我们在初中阶段已经学习了很多，例如垂径定理，圆周角定理等实际上，与圆相关的定理还有很多，如圆幂定理，它包含了相交弦定理，切割理等实际上，与圆相关的定理还有很多，如圆幂定理，它包含了相交弦定理，切割线定理，割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线定理，割线定理以及它们的推论，其中

19、切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项喜欢思考的天天线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图已知：如图，点，点P为为O外一点，切线外一点，切线PA与与O相切于点相切于点A，割线，割线PBC与与O相交于相交于点点B，C.求证：求证：PA2PBPC.证明：如图证明：如图，连接，连接AB，AC，AO，BO，PA与与O相切于点相切于点A，PAAO，即，即PABBAO90.练习练习2题题图图(1

20、)请你帮助天天将证明过程补充完整；请你帮助天天将证明过程补充完整；(1)补充证明过程如下：补充证明过程如下：PAB90BAO，BAO (180BOA)90 BOA，PAB90(90 BOA)BOA，又又PCA BOA，PABPCA，PP，PABPCA，PA2PBPC；1212121212PBPAPAPC证明：如图证明：如图，连接，连接AB，AC，AO，BO，PA与与O相切于点相切于点A，PAAO，即，即PABBAO90.练习练习2题题图图(2)如图如图，已知，已知AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线，点的切线，点A为切点，割线为切点，割线CDF交交AB于点于点E，并且满足，并且满足CD DE EF1 2 1，若，若AC4，求，求AB的长的长(2)如图，连接如图，连接AD，BF，CD DE EF1 2 1，设，设CDx，DE2x，EFx，则，则CF4x，由切割线定理得由切割线定理得AC2CDCF，即，即424x2，解得，解得x2(负值已舍去负值已舍去)，CD2，DE4，EF2，CECDDE6,AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线，的切线，ABAC，在，在RtACE中，中，AE 2 ，DABDFB，DEABEF，DEABEF，即，即 ，解得，解得BE ，ABAEEB2 .14 5522CEAC 2264 5AEFEDEBE2 524BE4 5554 55练习练习2题题图图