《电路分析基础 》课件第4章.ppt

1、第第4 4章正弦稳态电路分析章正弦稳态电路分析4.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念4.2正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法4.3基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式4.4阻抗与导纳阻抗与导纳4.5正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路相量法分析4.6正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7正弦稳态电路中的功率传输正弦稳态电路中的功率传输*4.8三相交流电路概述三相交流电路概述4.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念4.1.1 4.1.1 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素 在电子技术、通信工程中经常用到周期信号(函数)，信

2、号常以电压或电流的形式出现。所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，信号的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间T，信号完成一个循环的变化。)()(kTtftf周期信号的数学函数式表示为(4.1-1)式中，k为任意整实数；T为正实常数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，单位为秒(s)。周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f表示。根据上述周期与频率的定义，显然可得频率与周期的关系为 Tf1(4.1-2)频率的单位为赫兹(Hz)。我国电力网所供给的交流电的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源的频率大约从2020103Hz左右，相应的周期为0.05s0.05 m

3、s 左右。图 4.1-1 正弦电流波形与参考方向周期电流、电压是时间的函数，如电流可表示为 )cos()(imtIti(4.1-3)电压可表示为)cos()(mutUtu(4.1-4)它们分别称为正弦电流和正弦电压。由以上两式不难看出，不同的时刻，电流、电压的数值不同。所以，函数表达式也称为瞬时值表示式。例如，t1时刻的电流值就是将t=t1代入式(4.1-3)求得的函数值)cos()(1m1itIti2)()(iitTtfT22 表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为i，称为初相位或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角i常用角度

4、表示。式(4.1-3)中：Im称为电流i的振幅或最大值，它表示正弦电流i在整个变化过程中能达到的最大值。(t+i)称为正弦电流i的瞬时相位角，单位可用弧度(rad)或度()来表示。正弦量变化一周，瞬时相位变化2弧度，于是有 由上式可解得(4.1-5)例 4.1-1图4.1-2(a)为正弦稳态二端电路，电流i(t)的参考方向如图中所标。已知，试绘出i(t)的波形，求出t=0.5s,1.25s时电流的瞬时值，并说明上述时刻电流的实际方向。mA42cos100)(tti图 4.1-2 例4.1-1用图 解解 由已知的i(t)表达式求得：Im=100mA，=2rad/s,i=-/4。画i(t)波形时，

5、纵坐标是i，横坐标可以是t，也可以是t(单位为弧度)。i(t)波形如图4.1-2(b)所示。将t=0.5 s,1.25 s分别代入i(t)表达式中，求得 mA7.70425.12cos10025.1mA7.7045.02cos1005.0）（）（ii因t=0.5s时求得的电流值为负值，故该时刻电流的实际方向与图中所标i(t)的参考方向相反；在t=1.25s时求得的电流值为正值，显然该时刻电流的实际方向与参考方向相同。例例 4.1-2 已知正弦电压的波形如图4.1-3所示，试写出u(t)的函数表达式。解解 由已知的u(t)波形图求得三要素。振幅为 Um=100V(波形峰值)周期为 ms20)5.

6、2(5.17T(两峰值之间的时间间隔)由式(4.1-5)求得角频率为 rad/s1001020223-T图4.1-3例4.1-2用图 初相的绝对值为 rad4102.5100|31t(t1为距纵轴最近的最大值对应的时间)考虑波形距纵轴最近的最大值在坐标原点的左边，所以初相角为正，即=/4 rad。将求得的振幅、角频率、初相代入式(5.1-4)得 V4100cos100)(ttu4.1.2 相位差相位差 假设两个正弦电压分别为)cos()()cos()(222111tUtutUtumm它们的相位之差称为相位差，用表示，即)()()()(21212211ttt(4.1-6)若两个正弦量角频率不同，

7、由式(4.1-6)可以看出这时是时间t的函数，称为瞬时相位差。前已述及，正弦信号激励下的线性时不变渐近稳定电路中各处的稳态响应都是与激励源具有相同角频率的正弦函数。今后遇到的大量的相位差计算问题都是同频率正弦量相位差的计算。所以，将1=2=代入式(4.1-6)，得此时的相位差为 21(4.1-7)由式(4.1-7)可见：两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。这时的相位差是与时间t无关的常数。在同频率正弦量相位差计算中还经常遇到下列四种特殊情况：(1)若=1-2=0，即1=2,则称u1(t)与u2(t)同相，如图4.1-4(a)所示。这时u1(t)与u2(t)同时到达最大值，同时到达零值，

8、同时到达最小值。(2)若=1-20，即12，则称u1(t)超前u2(t)，或称u2(t)滞后u1(t)。假设10,20，u1(t)，u2(t)的波形如图4.1-4(b)所示。(3)若=1-2=，则称u1(t)与u2(t)反相。当u1(t)到达最大值时，u2(t)到达最小值，波形如图4.1-4(c)所示。(4)若=1-2=/2，则称u1(t)与u2(t)正交，波形如图4.1-4(d)所示。图中的波形是取=1-2=-/2时画出的。图 4.1-4 相位差 例例 4.1-3 同频率的两个正弦电压分别为 V)30cos(8)(V)75cos(10)(21ttuttu试求它们的相位差，并说明两电压超前、滞

9、后的情况。解解 由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：1=75,2=-30 所以相位差=1-2=75-(-30)=105 电压u1(t)超前电压u2(t)105,或说u2(t)滞后u1(t)的角度为105。例例 4.1-4 同频率正弦电压、电流分别为 mV40sin5)(V3cos20)(ttittu试求相位差，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。解解 此例欲说明：两正弦量的相位比较时，不仅两电压之间或两电流之间可以进行相位比较，正弦电压与电流之间亦可进行相位比较。对于求相位差，要求两正弦量的函数形式应化为一致(例如统一化为本书选用的余弦函数表示形式)，各正弦量的初相角要用统一的单位。这样，

10、本例中电流i(t)应改写为 i(t)=5cos(t+40-90)mA=5 cos(t-50)mA 电压u(t)改写为 u(t)=20 cos(t+60)V 显然 u=60,i=-50 所以相位差=u-i=60-(-50)=110由计算得到的值可以判定：电压u(t)超前电流i(t)的角度为110，或说电流i(t)滞后电压u(t)的角度为110。4.1.3 有效值有效值在电路分析中，人们不仅需要了解正弦信号各瞬时的数值，而且更关注它们的平均效果。可以用一个称做有效值的物理量来表征这种效果。正弦信号的有效值是从能量等效的角度定义的。如图4.1-5(a)、(b)所示，令正弦电流i和直流电流I分别通过两

11、个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T(T为正弦信号的周期)内，两个电阻消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流i的有效值，记为I。图 4.1-5 定义有效值用图 由图4.1-5(a)可知，电阻R消耗的功率为 p(t)=Ri2(t)T时间内消耗的能量为 ttRittpWTTd)(d)(002 由图4.1-5(b)可知，电阻R消耗的功率为 P=RI2(4.1-8)T时间内消耗的能量为 W=RI2T(4.1-9)ttRiTRITd)(022令式(4.1-8)与式(4.1-9)相等，即 解得 TttiTI02d)(1(4.1-10)由式(5.1-10)可以看出，正弦电流的有效值正弦电流的有效

12、值I I是正弦电流函数是正弦电流函数i i(t t)的平方在一个周期内的平均值再取平方根，所以有效值也的平方在一个周期内的平均值再取平方根，所以有效值也称为方均根值。称为方均根值。类似地，可得正弦电压的有效值为 TttuTU02d)(1(4.1-11)若将正弦电流的表达式)cos()(imtIti代入(4.1-10)式，得正弦电流的有效值为 mm02022707.021)(2cos1 21)(cos1IIdttITdttITITimTim(4.1-12)同理，可得正弦电压的有效值 mmUUU707.021(4.1-13)应该指出：交流电流表、电压表测量指示的电流、电压读数一般都是有效值。有效值

13、是度量交流电大小的物理量。例如，通常所说220V的正弦交流电压就是指该正弦电压的有效值是220 V，它的振幅是。(在工程计算中，这种“”符号常用“=”号代替。)311VV2202)cos(2)cos()()cos(2)cos()(mmuuiitUtUtutItIti引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写为 例例 4.1-5 写出下列正弦量的有效值：mV45cos7.70)()2(V3cos100)()1(ttittu解解 mV05mA7.7021)1(70.7VV10021)1(IU4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。如复数 式

14、中,，为虚数单位；a1为复数的实部，可为任意实数；a2为复数的虚部，也可为任意实数；|A|为复数A的模，可为任意正实数；为复数A的辐角，可为任意实数角度，其单位为弧度或度。1-j若把复数A表示在复平面上，如图4.2-1所示。由图可知 122221aaarctgaaa(4.2-1)和 sincos21aaaa实部a1和虚部a2也可表示为 Im,Re21AaAa(4.2-2)aA式中，Re表示取复数的实部；Im表示取复数的虚部。复数A的指数型又常简写为 称为复数的极型。由复数运算方法可知，对复数进行加、减运算时使用复数的代数型，实部加、减实部，虚部加、减虚部。若遇两指数型表示的复数相加、减，应先用

15、式(4.2-2)将两复数由指数型化为代数型，然后再进行加、减运算。对复数进行乘、除运算时使用复数的指数型，模值相乘、除，辐角相加、减。若遇代数型表示的两复数相乘、除，应先用式(4.2-1)将两复数由代数型化为指数型，然后再进行乘、除运算。图 4.2-1 复数的图示 根据欧拉公式 ej=cos+jsin 可知 eRecosj式中是实数。它可以是常数，也可以是变数。=t+i 其中,t是实时间变量;、i是实常数，则复值函数亦可应用欧拉公式展开，即)j(eitmI)sin(j)cos(emm)j(miittItIIi(4.2-3)4.2.2 相量代表正弦交流电相量代表正弦交流电若一个复数可几何表示为复

16、平面上的一个静矢量(不随时间动)，如图4.2-1中的复数A。一个复值函数Imej(t+i)在复平面上可以用一个旋转矢量表示，如图4.2-2所示。图 4.2-2 复值函数与旋转矢量假设某正弦电流为)cos()(mitIti显然它是式(5.2-3)的实部，于是电流i(t)又可写为)cos(eRe)(m)(jmittIItii(4.2-4)将式(5.2-4)进一步改写为)eRe(eeReeRe)(jmjjm)(mtttjIIItiii(4.2-5)式中 iIIIimjmme(4.2-6)Im是复数，它的模正好是正弦电流的振幅，辐角是正弦电流的初相位。这正是我们感兴趣的正弦信号的两个要素。为了把这样一

17、个代表正弦量的复数与一般的复数相区别，将它称作相量，并在符号上方加一点以示区别。Im称为电流相量，把它几何表示在复平面上，称为相量图，如图4.2-3所示。.图 4.2-3 相量图 式(5.2-5)中的ejt称为旋转因子，它的模值为1，辐角t随时间成正比增加。Im乘以ejt表示式Imejt=Imej(t+i)是一个随时间t旋转的相量。当t=0时，旋转相量在复平面的位置位于相量Im。它在实轴上的投影为Imcosi。其数值正好等于正弦电流i(t)在t=0时的值。当t=t1时，旋转相量的模不变，辐角变为(t1+i)。在复平面上，旋转相量由初始位置逆时针旋转t1的角度，它在实轴上的投影为Imcos(t1

18、+i)，其数值正好等于正弦电流在t=t1时刻的值。当时间t继续增加时，旋转相量继续逆时针旋转。.对于任意时刻t，旋转相量与实轴的夹角为(t+i)，它在实轴上的投影正好是正弦电流i(t)=Imcos(t+i)在这一瞬间的值。如果把这个旋转相量在实轴上的投影按照时间逐点描绘出来，就得到一条余弦曲线，如图4.2-4所示。图4.2-4 旋转相量及其在实轴上的投影eRe)(jmtIti当旋转相量旋转一周时，余弦曲线正好变化一周。也就是说，旋转相量逆时针旋转的角速度就是正弦信号的角频率。用类似方法可以说明旋转相量在虚轴上的投影为正弦曲线。同样地，正弦电压可表示为 上述几何意义用公式表示，就是取旋转相量的实

19、部得到正弦电流，即eReeeReeRe)cos(jj)(jtmtjmtmumUUUtUuuuumjmmUUUue式中(5.2-7)称为电压相量。今后，只要已知正弦信号就可以直接写出它的相量。反之，若已知代表正弦信号的相量，也可直接写出它的时间函数表达式，其中取实部的过程可以省去。例如，已知角频率为的正弦电流相量Im=5ej30A，那么该正弦电流的时间函数表达式为Atti)30cos(5)(VUm4510e1045j又如，若已知正弦电压 V)45cos(10)(ttu则该电压的相量为 必须强调指出：相量与正弦信号之间只能说是存在对应关系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。相量必须乘以旋转因子ej

20、t并取实部后才等于所对应的正弦信号。正弦函数及其相量之间的关系常用如下双向箭头表示：)cos()(mutUtuuUUmm(4.2-8)相量与物理学中的向量(矢量)是两个不同的概念。相量是用来代表时间域中的正弦量，而向量是表示空间内具有大小和方向的物理量(如力、电场强度等)。相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示，即 mmjmmj2121e2121eUUUUUIIIIIuuiiui(4.2-9)例例 4.2-1 试写出下列各电流的相量，并画出相量图：(1)i1(t)=5cos(100t+60)A(2)i2(t)=10sin(100t+30)A(3)i3(t)=-4cos(100t+45)A

21、 解解(1)A6025.26025A6051m1II(2)由于本书规定10代表cos(t)作参考相量，所以决定初相角时应先把正弦函数(sin)变为余弦函数(cos)后再确定。故本例i2(t)应改写为 i2(t)=10cos(100t+30-90)=10cos(100t-60)A 故 A6025601021A60102m2II应当指出，相量也可以代表正弦函数，即用10代表sin(t)。但在同一个问题中不允许有两个标准，即不能在同一个问题中有两个不同的参考相量，否则将无法表明各相量之间的相位关系。(3)与例5.1-4同样考虑，先把i3(t)改写为 i3(t)=4cos(100t+45-180)=4

22、cos(100t-135)A 故 A13522135421A13543m3II相量在复平面上的图示称为相量图。画相量图首先应该画出参考坐标系。这个坐标系可以用相互垂直的实轴和虚轴来表示，也可以只画出原点和一个表示参考相量的射线。前者实轴的方向即为参考相量的方向。本例中三个电流的代表相量的相量图如图4.2-5所示。图 4.2-5 例4.2-1的相量图 例例 4.2-2 求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达式(已知=10 rad/s)：V120100)2(V3050)1(2m1UU解解(1)因U1m是振幅相量，故 .U1m=50 V，u1=-30 因此 u1(t)=50 cos(10t-30)V(

23、2)因U2是有效值相量，故.120V,2100222muUU因此 V)12010cos(2100)(2ttu 例 4.2-3 正弦稳态电路如图4.2-6(a)所示，已知电流i1和i2分别为 A)1.53cos(10)(A)9.36cos(5)(21ttitti试求电流i(t)。图 4.2-6 例4.2-3用图 解解 正弦电流i1和i2可表示为 eRe)(eRe)(j2m2j1m1ttItiIti式中 Ae01A,5e-j53.12mj36.91mII根据KCL,有 eReeRej2mj1m21ttIIiii由此可得 eRe)eRe(j2mj2m1mttIIIi式中 2m1mmIII是代表电流i

24、的相量，电流i的角频率也是，也就是说，同频率的正弦信号相加，其结果仍是频率相同的正弦信号。电流i的相量为 mIAe18.11)510()8 j6()3 j4()e10e5(j26.6-j53.1j36.52m1mmjAIII由可得电流 mIi(t)=11.18 cos(t-26.6)A 5.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式5.3.1 R、L、C元件元件VAR的相量形式的相量形式 1.1.电阻元件电阻元件假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图.3-1(a)所示。)cos()(mitIti(4.3-1)对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和

25、电压之间都满足欧姆定律，当然正弦稳态时亦满足，即)cos()cos()()(umimtUtRItRitu(4.3-2)图4.3-1 电阻元件iummRIU上式表明：电阻两端电压u和电流i的频率相同，电压的振幅Um=RIm(或电压有效值U=RI),而且电压与电流同相位，即 由式(4.3-1)写出电流相量为 iIIjmme由式(4.3-2)写出电压相量为 uUUjmme(4.3-3)(4.3-4)(4.3-5)将式(4.3-3)代入式(4.3-5)并考虑式(4.3-4)，得电阻元件电压、电流关系的相量形式为 IRUIRUmm(4.3-6a)(4.3-6b)或 由式(4.3-6)可画出电阻元件的相量

26、模型，如图4.3-1(b)所示。相量模型中的电流、电压均用它们的相量标注。电阻元件上的电流、电压波形和相量图如图4.3-2(a)和(b)所示。图4.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图2.2.电感元件电感元件设图4.3-3(a)中电感元件上电压、电流参考方向关联，则有 ttiLtud)(d)(4.3-7)图4.3-3 电感元件)cos()(imtIti)cos(2cos)sin()cos(dd)(mmmmuiiitUtLItLItItLtu设正弦稳态时电感电流为(4.3-8)将式(4.3-8)代入式(4.3-7)，得(4.3-9)2mmiuLIULmmXLIUIU式中XL=L=2fL具有电

27、阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，的单位为rad/s时，XL单位为。式中(4.3-10)由式(4.3-9)和(4.3-10)可以看出，正弦稳态电路中，电感元件的电压与电流是同频率的正弦量，但电压的相位超前电流90，它们的振幅(或有效值)之间的关系为(4.3-11)由(4.3-11)式可见：感抗与L和成正比。对于一定的电感L，频率越高，它呈现的感抗就越大；反之越小。换句话说，对于一定的电感L，它对高频电流呈现的阻力大，对低频电流呈现的阻力小。在实际电路中应用的高频扼流圈就是利用这一原理制成的。在直流情况下，可以看做频率f=0,故XL=0,电感L相当于短路。XL随角频率变化的曲线如图4.3-4所

28、示，称为XL的频率特性曲线图 4.3-4 XL的频率特性曲线由式(4.3-8)可写出电流相量为 iIIjmme(4.3-12)由式(4.3-9)可写出电压相量为 uUUjmme(4.3-13)将式(4.3-10)代入式(4.3-13)，得 2jjm2jmmeeeiiLILIU再将式(4.3-12)代入上式并考虑，得电感元件电压、电流相量关系式为 je2jmmmjjIXILUL(4.3-14)或 IXILULjj(4.3-15)式(4.3-15)不仅表明了电感电压和电流之间的有效值关系：U=XLI，而且也表明了它们之间的相位关系：电压超前电流90。图 4.3-5 电感元件的电流、电压波形图 3.

29、电容元件电容元件 设图4.3-6(a)中电容元件的电压、电流参考方向关联，则有ttuCtid)(d)(4.3-16)图 4.3-6 电容元件)cos()(mutUtu 设正弦稳态时电容两端电压为(4.3-17)将式(4.3-17)代入式(5.3-16)，得)cos(2cos)sin(cos(dd)(mmmmiuuutItCUtCUtUtCti(4.3-18)90uimmCUI式中(4.3-19)由式(5.3-17)可写出电压相量为 ujmmeUUiIIjmme(4.3-20)由式(5.3-18)得电流相量为(4.3-21)再将式(4.3-19)代入上式并考虑，得电容元件的电流、电压相量关系为

30、je2jmmUCjI(4.3-22)也常写为 mmmj1jIXICUC(4.3-23a)或 IXICUCj1j(4.3-23b)式(4.3-23)中 CXC1(4.3-24)称为电容的容抗。当C的单位为F，的单位为rad/s时，XC的单位为。容抗的大小，即容抗的模值为 CCXC11|(4.3-25)由式(4.3-22)可以看出，电容元件的电流相量超前电压相量90。它们的振幅(或有效值)之间的关系为 CmmXCIUIU1(4.3-26)电容元件的相量模型如图4.3-6(b)所示。由(4.3-25)式可见：容抗的模值XC与C和成反比。对于一定的电容，频率越低，XC的值越大，反之越小。换句话说，当电

31、容C一定时，它对低频电流呈现的阻力大，对高频电流呈现的阻力小。所以，在实际电路中常用大容量的电容作高频旁路电容。在直流情况下(看做f0)，容抗模值XC，电容相当于开路。容抗模XC的频率特性曲线如图4.3-7所示。电容元件的正弦电压和电流的波形图及它们的相量图如图4.3-8(a)和(b)所示。图 4.3-7 XC的频率特性曲线图 4.3-8 电容元件的电压、电流波形图和相量图0)(ti4.3.2 KCL、KVL的相量形式的相量形式基尔霍夫定律是分析一切集总参数电路的根本依据之一。对于正弦稳态这类特殊问题的分析，引入了电压、电流的相量后，相应的描述节点电流关系的KCL和描述回路电压关系的KVL也应

32、有相应的相量形式。对于任意瞬间，KCL的时域表达式为 例如，对于图4.3-9中的节点A，有 i1(t)-i2(t)+i3(t)=0 若与节点A相连的三个正弦电流的频率都相同(设为)，只是振幅和初相不同，而正弦电流i1(t)、i2(t)、i3(t)分别为)cos()()cos()()cos()(3m332m221m11tItitItitIti(4.3-27)则相应的相量分别为 321jm3m3jm2m2jm1m1eeeIIIIII(4.3-28)图 4.3-9 流向节点A的电流分布 用相量表示正弦电流并代入KCL方程，可得 0eReeReeRej3j2j1tmtmtmIII即 0e)Re(jm3

33、m2m1tIII上式对任意时间t都等于零，所以必有 0m3m2m1III上式表明，若图4.3-9中的各正弦电流用相量表示，那么流出(或流入)节点A的各支路电流相量的代数和恒等于零。0mI对于任意节点，则有 0I或(4.3-29b)式(4.3-29)就是KCL的相量形式，它表明：对于正弦稳态电路中的任意节点，流出(或流入)该节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。(4.3-29a)同理，可得KVL的相量形式为 0mU(4.3-30a)或 0U(4.3-30b)式(4.3-30)表明：对于正弦稳态电路中的任意回路，沿该回路按顺时针(或逆时针)绕行一周，各段电路电压相量的代数和恒等于零。例例 4.3-

34、1图4.3-10(a)所示为RL串联正弦稳态电路，已知R=50,L=50H,us(t)=10cos(106t)V。求电流i(t)，并画出相量图。图 4.3-10 例4.3-1用图 解解 设us(t)、uR(t)、uL(t)及i(t)的相量分别为及Im。激励源us(t)的相量为 mmsm,LRUUU.Ve100 j smU由KVL,得 010jLmRmsmeUUU电阻、电感元件的相量关系为 mmmm,ILjUIRULR代入上式，得 smmmUILjIRmA4521004521.0105010j5001066AjXRUILsmm所以 故得电流 mA)4510(2100)(6tti相量图如图4.3-

35、10(b)所示。例例 4.3-2 图4.3-11(a)所示为RLC并联正弦稳态电路，图中各电流表视为理想电流表(内阻为零)。已知电流表 的读数分别为6A、3A、11A。试求电流表 A的读数应为多少?1A2A3A图 5.3-11 例5.3-2用图 图 4.3-11 例4.3-2用图解解 首先明确：正弦稳态交流电路中，电流表(或电压表)的读数一般是有效值。求解这类问题时，选一个参考相量较为方便。所谓参考相量,即假定该相量的初相位为0。对于并联电路，各元件承受的是同一电压，所以常选电压相量作为参考相量。对于串联电路，因流经各元件的电流是同一电流，故常选电流相量作为参考相量。本问题选U作为参考相量，即

36、.V0UU设电流的参考方向如图4.311(a)中所标。根据R、L、C元件相量关系并代入已知电流数值，得 321,IIIIA901190A90390A060321CUUCjILULjUIRURUI由KCL得 A1.5310)11j3 j6(321IIII4.4 阻阻 抗抗 与与 导导 纳纳 4.4.1 4.4.1 阻抗与导纳的概念阻抗与导纳的概念图4.4-1(a)所示为无源二端正弦稳态网络，设端口电压相量和电流相量参考方向关联。图 4.4-1 无源二端网络及其阻抗 端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示mmdefdefIUZIUZIZU或(4.4-1a)(4.4-1b)其模型如图5.

37、4-1(b)所示。式(5.4-1)也可改写成 或(4.4-2a)(4.4-2b)mmIZU上式与电阻电路中的欧姆定律在形式上相似，只是电流和电压都用相量表示，称为欧姆定律的相量形式。由式(4.4-1)容易看出，阻抗的单位为欧姆，并且它一般是复数。这可将 代入式(4.4-1a)，得 iuIIUU,ZiuiuZIUUZ|)(1(4.4-3)式中 iuZIUZ(4.4-4)(4.4-5)|Z|称为阻抗Z的模值，Z称为阻抗角。式(4.4-3)是阻抗Z的极坐标表示形式，将式(4.4-3)化为代数形式，有 Z=|Z|Z=|Z|cosZ+j|Z|sinZ=R+jX(4.4-6)式中 R=|Z|cosZ(4.

38、4-7)X=|Z|sinZ(4.4-8)R称为阻抗Z中的电阻部分，X称为阻抗Z中的电抗部分。当X0时，为感抗;当X0时，为容抗。电抗为感抗的阻抗Z，称为感性阻抗；电抗为容抗的阻抗Z，称为容性阻抗。如果无源二端网络分别为单个元件R、L、C，设它们相应的阻抗分别为ZR、ZL、ZC，由这些元件的相量关系式(4.3-6)、(4.3-15)和(4.3-23)，对照阻抗定义式(4.4-1a)或(4.4-b)，容易求得 CZLZRZCLR1jj(4.4-9)(4.4-10)(4.4-11)定义无源二端网络端口的电流相量与电压相量之比为该二端网络的导纳，用符号Y表示，即 UIYdefmmdefUIY(4.4-

39、12a)(4.4-12b)或 由导纳、阻抗的定义式，显然二者有互为倒数关系，即 ZY1(4.4-13)YuiuiYUIUIUIY|)(4.4-14)导纳Y的单位是西门子(S),Y一般也是复数。将 代入式(5.4-12),得 uiUUII,式中 uiYUY1|(4.4-15)(4.4-16)|Y|称为导纳Y的模值，Y称为导纳Y的导纳角。当无源二端网络分别为单个元件R、L和C时，设相应的导纳分别为YR、YL、YC，由式(4.4-13)并考虑式(4.4-9)、(4.4-10)和(4.4-11)，求得 CCLBCYBLYGRYjjj1j1L(4.4-17)(4.4-18)(4.4-19)由上述各式可知

40、：电阻元件的导纳只有电导部分，无电纳部分。式中,BL=-1/L，BC=C，分别称为感纳和容纳，单位均为西门子(S)。有些场合不分感纳和容纳，统称电纳。式(4.4-14)是导纳Y的极坐标表示形式，若化为代数形式，有 BGYYYYYYYjsin|jcos|(4.4-20)式中 YYYBYGsin|cos|(4.4-21)(4.4-22)G称为导纳Y中的电导部分，B称为导纳Y中的电纳部分。B0时，为容纳;B0时，为感纳。电纳为容纳的导纳Y，称为容性导纳；电纳为感纳的导纳Y，称为感性导纳。UYIUYImm式(4.4-12)也可改写为(4.4-23a)(4.4-23b)或 上式为正弦稳态电路中欧姆定律相

41、量形式的另一种表示式。4.4.2 4.4.2 阻抗和导纳的串联与并联等效阻抗和导纳的串联与并联等效在引入了相量、阻抗和导纳概念以后，正弦稳态电路的分析方法与电阻电路完全相同。因此，对于正弦稳态电路中阻抗、导纳的串、并联，只列出了重要的结论，其证明的方法与电阻电路相似，这里不再重复。设有n个阻抗串联，各电压、电流参考方向如图4.4-2中所标，则它的等效阻抗为 nkknkknkkXRZZ111eqj(4.4-24)分压公式为 UZZUnkkkk1(4.4-25)式中，U为n个阻抗串联的总电压相量；Uk为第k个阻抗的电压相量。.图 4.4-2 阻抗的串联 如图4.4-3所示n个导纳并联，各电流、电压

42、参考方向如图中所标，则它的等效导纳为 nkknkknkkBjGYY111eq(4.4-26)分流公式为 IYYInkkkk1(4.4-27)式(4.4-26)表明，导纳并联的等效导纳等于相并联各导纳的代数和。式(4.427)表明，导纳并联分流与复导纳成正比。图 4.4-3 导纳的并联 对于经常使用的两个阻抗Z1和Z2相并联的情况，考虑到阻抗与导纳的互为倒数的关系，由式(4.4-26)容易推导得等效阻抗为 2121ZZZZZeq(4.4-28)由式(4.4-27)可推导得分流公式为 IZZZIIZZZI21122121(4.4-29)4.4.3 4.4.3 阻抗串联模型和并联模型的等效互换阻抗串

43、联模型和并联模型的等效互换在正弦稳态电路中，一个不含独立源的二端网络两个端子间的等效阻抗可表示为 Z=R+jX 它的最简形式相当于一个电阻和一个电抗元件相串联，如图4.4-4(a)所示，而用导纳表示为 BGXRXjXRRjXRZYj112222式中 2222XRXBXRRG(4.4-30)(4.4-31)通过式(4.4-30)和(4.4-31)就可以由已知阻抗中的电阻R、电抗X分别求得电导G、电纳B，画出与串联模型电路等效的并联模型电路的最简形式，即电导G和电纳jB相并联，如图4.4-4(b)所示。这里需要注意：等效并联模型电路中的电导G、电纳B并不分别是串联模型电路中电阻R、电抗X的倒数，它

44、们的数值与R、X均有关，当然也与频率有关。若已知某无源一端口网络的导纳为 Y=G+jB 它的并联模型电路形式如图4.4-5(a)所示，而该一端口网络的阻抗为 XRBGBjBGGBGYZjj112222式中 22BGGR(4.4-32)22BGBX(4.4-33)图 4.4-5 导纳并联模型等效互换为阻抗串联模型 例例4.4-1 图4.4-6(a)为RLC串联正弦稳态电路，角频率为，求ab端的等效阻抗Z。图 4.4-6 RLC串联电路及其相量模型电路 解解 用相量法分析正弦稳态电路时，常常需要画出电路的相量模型。所谓电路的相量模型，就是将时域模型电路中各元件用它们的相量模型表示，标注阻抗值或导纳

45、值，各已知的或未知的电压、电流均用其相量标注，电路结构及各电压、电流参考方向均与时域模型电路相同。图4.4-6(a)的相量模型电路如图4.4-6(b)所示。由式(4.4-24)得ab端的等效阻抗 XRLLRCLRZj1-j1jj(4.4-34)式中，称为电抗，它等于相串联的感抗与容抗的代数和。将阻抗Z写为指数形式或极坐标形式：CLXXCLX1ZZZjXRZZ|e|j(4.435)式中 RXXRZZarctan22(4.4-36)例例 4.4-2 图4.4-6电路中，已知R=990,L=100mH,C=10 F。(1)分别求当角频率=102rad/s,103rad/s,104rad/s时，ab端

46、的等效阻抗Z,并说明各种情况的阻抗性质。(2)若，试分别求电压uR(t)、uL(t)、uC(t)。解解(1)参见图4.4-6(a)、(b)，等效阻抗为 V)75100cos(2140)(ttuCLRZ1jj当=102 rad/s时，452990)990j990(1010101j1010010j9906-232Z9901010101j1010010j9906-333Z此时阻抗Z呈阻性。当=103 rad/s时，当=104 rad/s时，452990)990j990(1010101j1010010j9906-434Z此时阻抗Z呈阻性。(2)由给出u(t)的函数表达式写出相量为 V75140U当=1

47、00rad/s时，已经求得 ，由相量形式的欧姆定律求得电流相量为 452990ZA1201.045299075140ZUI故 V301001201.01010101j1jV15012101V1201.010100100jjV120991201.0990623ICUILUIRUCLR由求得的相量直接写出对应的各时间函数为 V)30100cos(2100)(V)150100cos(2)(V)120100cos(299)(ttuttuttuCLR 例例 4.4-34.4-3 图4.4-7(a)为GCL并联正弦稳态电路，角频率为，求ab端的等效导纳Y。图 4.4-7 GCL并联电路及其相量模型 解解

48、GCL并联电路的相量模型如图4.4-7(b)所示。图中：CBLBCL,1由式(5.4-26)得ab端的等效导纳为 BGGBBGYLCjCjjj(4.4-37)式中，,称为电纳，它等于相并联的容纳与感纳的代数和。将导纳Y写为指数形式或极坐标形式：BBBLCC式中 GBQBGYYarctan|22(4.4-39)GCL并联电路对ab端来说亦可用图4.4-7(c)简洁的模型表示。YQYYBGYY|e|jj(4.438)例例 4.4-4 已知图4.4-8(a)所示正弦稳态电路的角频率=100rad/s,求ab端等效阻抗Z。图 4.4-8 例 4.4-4 用图 解法一解法一 对于多个元件并联形式的正弦稳

49、态电路，一般应用导纳计算比较方便。S01.0110011S02.010200100S01.0100116LBCBRGLC画导纳形式的相量模型电路如图4.4-8(b)所示。由式(4.4-26)得ab端等效导纳为 S)01.0 j01.0()01.002.0(j01.0)(jLCBBGY所以 45250)j5050(01.0 j01.011YZ解法二解法二 对于多个元件相并联的正弦稳态电路，亦可画出阻抗形式的相量模型，按两个阻抗并联求等效阻抗的方法，最后求得整个电路的等效阻抗。如本例：50102001001110011006CXLXCL画相量模型电路如图5.4-8(c)所示，按两个阻抗并联公式计算

50、 100j50j100j)50j(100jlZ所以 45250)50j50(100j100)100j(100100100cdcdZZZ该电路在=100rad/s时，可以等效为一个50 的电阻与一个200 F的电容相串联的形式，也可以等效为一个100的电阻与一个100 F的电容相并联的形式。例例.4-5 RL串联电路如图4.4-9(a)所示，若要求在=106rad/s时，把它等效成R与L之并联电路，求R和L的大小。解解 已知串联电路形式，要等效为并联电路形式，一般先对已知的串联电路在一定频率下求得阻抗Z，再由Y=1/Z求得Y，由Y中的G与B再换算出R与L(或C)。由图4.4-9(a)得)60j8