2021年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数.docx
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1、2020-2021 学年人教版初一数学上学期高频考点学年人教版初一数学上学期高频考点 02 数轴与相反数数轴与相反数 知识框架知识框架 数轴的概念 数轴的读数与画法 基础知识点 数轴上的点与有理数之间的关系 数轴与数的大小 利用数轴求两点之间的距离 重点题型 数轴上点的运动 相反数的概念 基础知识点 相反数的意义 多重符号化简 相反数的意义及求法 重点题型 相反数与数轴结合 基础知识点基础知识点 知识点知识点 2.1 数轴的概念数轴的概念 1)数轴数轴:用一条直线上的点表示数,这条直线叫作数轴 2)三要素三要素: 原点参考点,正负数分界点; 方向一般选取向右为正方向; 单位长度同一条数轴上的单
2、位长度应当一致 知识点知识点 2.2 数轴的读数与画法数轴的读数与画法 1)数轴的读数数轴的读数:在原点的左边,则为正数,在数轴的右边,则为负数。 2)画数轴步骤画数轴步骤:a.直线 b.确定原点 c.选正方向(通常从原点向右或向上定位正方向) d.选取单位长度(选 取适当长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示 1,2,3,;从原点 向左,用类似方法依次表示1,2,3,) e.标数(用实心点标数). 例例 1 ( (2020 罗平县腊山一中初一月考)罗平县腊山一中初一月考)下列所画数轴对不对?如果不对,指出错在哪里? 【答案】【答案】画的数轴不对,和画的数轴正确,
3、原因见解析. 【分析】根据数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,即可解答 【解析】【解析】解:画的数轴不对,缺原点;画的数轴不对,缺正方向; 画的数轴不对,数轴不是射线而是直线;画的数轴不对,缺单位长度; 画的数轴不对,单位长度不统一和画的数轴正确 【点睛】 本题考查了数轴的识别 规定了原点、 正方向、 单位长度的直线叫做数轴 数轴的三要素: 原点, 单位长度,正方向 例例 2 ( (2020 广西壮族自治区初一期中)广西壮族自治区初一期中)下列说法错误的是( ) A数轴的三要素是原点,正方向、单位长度 B数轴上的每一个点都表示一个有理数 C数轴上右边的点总比左边的点所表示的数大 D表示负数的
4、点位于原点左侧 【答案】【答案】B 【分析】根据数轴的定义与性质进行判别. 【解析】【解析】解:数轴上的点与实数是一一对应的,所以数轴上的点也可以表示无理数. 故选:B. 【点睛】本题考查了数轴的基本概念,对数轴概念的掌握是解决此题的关键. 例例 3 ( (2020 绵绵阳阳市市初一初一期中期中)如图,小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上,墨迹盖住部分对应的整数共有 _个 【答案】【答案】7 【分析】根据图中的信息可知,墨迹盖住的有两个部分: (1)-5到 0之间(不包括-5和 0) ; (2)0到 4 之间 (不包括 0 和 4) ,由此即可得到被墨迹盖住的整数,从而得到答案. 【解析】【解析】
5、根据图中信息可知:墨迹盖住的有两个部分: (1)-5 到 0 之间(不包括-5 和 0) ; (2)0到 4之间(不 包括 0 和 4) , 在-5 到 0 之间(不包括-5 和 0)的整数有:-4、-3、-2、-1; 在 0到 4 之间(不包括 0和 4)的整数有:1、2、3,被墨迹盖住的整数共有 7个.故答案为:7. 【点睛】本题考查了数轴,熟知“在数轴上:-5 到 0 之间(不包括-5 和 0)有哪些整数和 0到 4 之间(不包 括 0和 4)有哪些整数”是解答本题的关键. 知识点知识点 2.3 数轴上的点与有理数之间的关系(数数轴上的点与有理数之间的关系(数形结合)形结合) 1)数轴上
6、的点并不是都是有理数 2) 正方向可以不按照常规方向选取 3)a0,与原点的距离是 a,在数轴上可以是a(存在多解的情况) 注:要确定在数轴上的具体位置,必须要距离+方向 例例 1. (2019 菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考)菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考)下列说法: 规定了原点、正方向的直线是数轴 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 有理数 1 100 数轴上无法表示出来 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是( ) A B C D 【答案】【答案】D 【分析】根据数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴所有的有理数都可以用数轴 上的点
7、表示,但数轴上的点不都表示有理数可得答案 【解析】【解析】规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴,故原说法错误; 数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数,故原说法错误; 有理数 1 100 在数轴上可以表示出来,故原说法错误; 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点,说法正确;故选:D 【点睛】此题主要考查了数轴,关键是掌握数轴的概念 例例 2 ( (2019 苏州苏州市吴江区青云中学初一月考)市吴江区青云中学初一月考)如图所示,圆的周长为 4个单位长度,在圆的 4 等分点处标 上数字 0,1,2,3,先让圆周上数字 0所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合,再让圆沿着数轴按顺
8、 时针方向滚动,那么数轴上的数2017将与圆周上的哪个数字重合( ) A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】B 【分析】根据圆在滚动的过程中,圆上的四个数,每滚动一周即循环一次,根据此规律即可解答 【解析】【解析】圆在滚动的过程中,圆上的四个数,每滚动一周即循环一次,则与圆周上的 0 重合的数是2, 6,10,即4n+2,同理与 3 重合的数是:4n+1,与 2 重合的数是4n,与 1重合的数是(1+4n) , 其中 n 是正整数而2017=(1+4504) ,数轴上的数2017将与圆周上的数字 1重合 故选 B 【点睛】 本题综合考查了数轴、 循环的有关知识, 关键是把数和点对应起来, 也
9、就是把数和形结合起来 例例 3.(2020 邹平双语学校初一月考)邹平双语学校初一月考)数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是 1 厘米,若在这 个数轴上随意画一条 15 厘米的线段 AB,则 AB 盖住的整数点的个数共有( )个 A13 或 14 个 B14 或 15 个 C15 或 16 个 D16 或 17 个 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 若在数轴上随意画线段 AB,其左侧端点 A 的位置存在两种可能性:一种可能是点 A与数轴上某一个整点重 合(如图中数轴所示;为清楚起见,图中用长方形代表线段 AB),另一种可能是点 A 落在数轴上某两个整 点之间的区域内(如图中数轴所
10、示). 因为线段 AB的长是一个定值,所以当线段左侧端点 A 的位置确定时 线段右侧端点 B的位置也随之确定. (1) 分析图中的数轴可知,由于数轴的单位长度为 1 厘米,线段 AB 的长为 15 厘米,且左侧端点 A与一个 整点重合,所以线段 AB的两个端点各自盖住 1 个整点,线段的其他部分盖住了 14 个整点,故线段 AB一共 盖住了 16 个整点. (2) 分析图中的数轴可知,由于数轴的单位长度为 1 厘米,线段 AB 的长为 15 厘米,且左侧端点 A落在两 个整点之间的区域内,所以线段 AB的两个端点均无法盖住任何整点,线段的其他部分盖住了 15 个整点, 故线段 AB一共盖住了
11、15个整点. 综上所述,线段 AB盖住的整点的个数共有 15 或 16个.故本题应选 C. 点睛:点睛:本题不仅考查了数轴的相关知识,还考查了利用简单的数形结合思想解决问题的能力. 解决本题的关 键在于结合图形针对可能出现的情况进行分类讨论. 在分析的过程中, 线段左侧端点在数轴上可能的位置是 分情况讨论问题的一个重要出发点,左侧端点是否与某一整点重合直接影响线段所能覆盖的整点数量. 知识点知识点 2.4 数轴与数的大小数轴与数的大小 1)正方向上,离原点越远,数越大 2)负方向上,离原点越近,数越大(负数数字越大,结果反而越小) 注:数轴从负方向向正方向,数值逐渐增大。 例例 1.(2020
12、 湖北省初三三模)湖北省初三三模)有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a、a、1的大小关系是( ) A1aa B1aa C1a a D1aa 【答案】【答案】C 【分析】根据相反数的定义在数轴上找到-a、-1 对应的点,根据数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大 解答即可 【解析】【解析】根据相反数的定义,-a 应在 1的右边,-1在 a的右边,0 的左边,所以1aa 故选:C 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较,掌握相反数的定义及数轴上的点表示的数,右边的总比左边的 大是关键 例例 2 ( (2019 天津河北初一期中)天津河北初一期中)下列叙述中,不正确的是( ) A任何一个有理数都可以
13、用数轴上的一个点表示 B在数轴上,表示互为相反数的两个点与原点距离相等 C在数轴上,到原点距离越远的点所表示的数一定越大 D在数轴上,右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 【答案】【答案】C 【分析】根据数轴的特点进行判断,结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可 【解析】【解析】实数与数轴上的点一一对应,故答案 A正确; 两个互为相反数的数绝对值相等,表示互为相反数的两个点与原点距离相等,故答案 B正确; 在数轴的负半轴上,到原点距离越远的点所表示的数一定越小,故答案 C错误; 通常以向右的方向表示数轴的正方向,右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大,故答案 D正 确故选:C
14、【点睛】本题考查了数轴的概念及数轴与实数的对应关系,把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键 例例 3 ( (2020 河北望都初一期末)河北望都初一期末)有理数 a,b,c 在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列关系正确的是 ( ) Aabc Bbac Ccba Dbca 【答案】【答案】A 【分析】根据数轴左边的点所表示的数小于右边的点所表示的数解答即可 【解析】【解析】由数轴得:abc,故选:A 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较,熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解题关键 例例 4. 下表是四个城市今年二月份某天的气温,请画出数轴,并依据数轴判断气温最低的城市是哪个。 城市
15、吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温 -8 -16 5 -25 【答案】将温度表示在数轴上得:来源:学+科+网 因为数轴上的数,从左到右依次增大,25 最小,即阿泰勒温度最低。 知识点知识点 2.5 相反数的概念相反数的概念 相反数相反数:像 2 和2、5 和5、3 和3 这样,只有符号不同的两个数互为相反数(注:0 的相反数是 0) 注:相反数是成对出现的 知识点知识点 2.6 相反数的意义相反数的意义 1)代数意义代数意义:只有符号不同的两个数,一个是另一个的相反数,0 的相反数是 0 2)几何意义:几何意义:在数轴上原点的两旁,离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。 例例 1 (
16、(2019 浙江省初一期末)浙江省初一期末)下列各组数中,互为相反数的是( ) A2 和-2 B-2 和 1 2 C2和 1 2 D 1 2 和 2 【答案】【答案】A 分析:根据相反数的定义,只有符号不同的两个数是互为相反数 【解析】【解析】A、2 和-2 只有符号不同,它们是互为相反数,选项正确; B、-2 和 1 2 除了符号不同以外,它们的绝对值也不相同,所以它们不是互为相反数,选项错误; C、-2 和- 1 2 符号相同,它们不是互为相反数,选项错误; D、 1 2 和 2 符号相同,它们不是互为相反数,选项错误故选 A 例例 2.(2020 辽宁省初三一模)辽宁省初三一模)中国人最
17、早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,2020的相反数是 ( ) A2020 B2020 C 1 2020 D 1 2020 【答案】【答案】A 【分析】根据相反数的定义求解即可 【解析】【解析】2020 的相反数是 2020故选:A 【点睛】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 例例 3.(2019 浙江省高照实验学校初一一模)浙江省高照实验学校初一一模)下面说法正确的有( ) 的相反数是-3.14 符号相反的数互为相反数 3.8 的相反数是 3.8 一个数和它的相反数不可能相等 正数与负数互为相反数 来源:学。科。网Z。X。X。K A0 个 B1 个 C2 个 D
18、3 个 【答案】【答案】A 【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可. 【解析】【解析】的相反数是,所以错误;只有符号不同的两个数互为相反数,所以错误;3.8 的 相反数是3.8,所以错误;0 的相反数是 0,等于它本身,所以错误; 综上,5个说法皆错,故选 A. 【点睛】本题考查了相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数,0 的相反数是 0,互为相反数的两 个数的绝对值相等,明确定义是解题的关键. 例例 4 ( (2020 山东省初一期末)山东省初一期末)已知a是有理数,有下列判断:a是正数;a是负数;a与a必有 一个是负数;a与a互为相反数,其中正确的序号是_
19、. 【答案】【答案】 【分析】a 可能是正数、也可能是 0,还可能是负数,同样-a 可能是正数、也可能是 0,还可能是负数,当 a=0 时,a 和-a 都是 0,不论 a 是正数、0 负数,a 与-a 都互为相反数,根据以上内容判断即可 【解析】【解析】解:a 可能是正数、也可能是 0,还可能是负数,同样-a 可能是正数、也可能是 0,还可能是负 数,错误;错误;当 a=0 时,a 和-a 都是 0,都不是负数,错误; 不论 a 是正数、0 负数,a 与-a 都互为相反数,正确.故答案为:. 【点睛】本题考查了对正数、0、负数,有理数,相反数等知识点的应用,主要考查学生的理解能力和辨析 能力,
20、题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目 例例 5.在数轴上描出表示 5、2、5、+2 这四个数的点。 观察上图并填空: 数轴上与原点的距离是 2 的点有 个,这些点表示的数是 ;与原点的距 离是 5 的点有 个,这些点表示的数是 。从上面问题可以看出,一般地,如果 a 是一个正 数,那么数轴上与原点的距离是 a 的点有两个,即一个表示 a,另一个是 ,它们分别在原点的左边和 右边,我们说,这两点关于原点对称。 【答案】【答案】2; 2;2; 5;a。 【解析】【解析】数轴如下 数轴上与原点距离是 2 的点有 2 个,这些点表示的数是: 2 与原点距离是 5 的点有 2 个,这些点表示的数是:
21、 5;另一个是a 【点睛】本题考查了相反数的概念,熟记概念是解题关键 知识点知识点 2.7 多重符号的化简多重符号的化简 1)表示否 +表示是 2)看的个数,奇数个为负,偶数个为正。+个数不影响结果。 3)a.负负得正;b.负正得负;c.正正得正 例例 1 ( (2019 天津市北仓第二中学初一月考)天津市北仓第二中学初一月考)下列各式中,化简正确的是( ) A(+7)=7 B(7)=7 C+(7)=7 D+(7)=7 【答案】【答案】A 【分析】根据相反数的定义逐个分析即可:-a 表示数 a的相反数. 【解析】【解析】(+7)=7,故选项 A正确; (7)=7,故选项 B错误; +(7)=-
22、7,故选项 C错误; +(7)=7,故选项 D错误.故选 A 【点睛】本题考核知识点:相反数;解题关键点:理解相反数的意义. 例例 2 ( (2019 全国初一课时练习)全国初一课时练习)阅读理解:因为 a 的相反数是-a,所以2 为+2的相反数,故-(+2) =-2;2 为-2 的相反数,故 22 .即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简. 化简: (1) 1 3 ; (2) 1 2 2 ; (3) 1 2 ; (4) ( 3) . 【答案】【答案】 (1) 1 3 ; (2) 1 2 2 ; (3) 1 2 ; (4)3. 【分析】根据相反数的意义,一个数的相反数,就是在这个数前面加上一
23、个-,然后对(1) (2) (3) (4) , 分别进行化简即可. 【解析】【解析】 (1) 11 33 . (2) 11 22 22 . (3) 111 222 (4) ( 3)( 3)3 . 【点睛】本题考查了相反数的意义,解题的关键是熟练掌握相反数的意义,注意不能漏掉一个符号. 例例 3 ( (2020 河南嵩县初一期末)河南嵩县初一期末)化简下列各数: (1)+(2) ; (2)(+5) ; (3)(3.4) ; (4)+(8); (5)(9) 化简过程中,你有何发现?化简结果的符号与原式中的“”号的个数有什么关系? 【答案】【答案】 (1)-2; (2)-5; (3)3.4; (4)
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