2021年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版）（文）.docx

1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 03（人教 A 版） （文） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：人教 A 版必修 5 全册+选修 1-1 第一章 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的. 1已知命题p： 2 0, x xex ，则 p 为（ ） A 0 0 x， 0 2 0 x ex B 0 0 x， 0 2 0 x ex C0 x ， 2x ex D0 x ， 2x ex 【答案】A 【解析】因为命题p： 2 0, x xex ， 所以 p 为 0 0 x， 0 2

2、0 x ex， 故选 A 2关于 x的不等式 2 450 xx的解集为（ ） A( 5,1) B( 1,5) C( , 5)(1,) D(, 1)(5,) 【答案】B 【解析】不等式可化为 2 450 xx，有( 5)(1)0 xx ， 故不等式的解集为( 1,5). 故选 B 3设a b c d, ,是非零实数，则“a dbc”是“a b c d, ,成等差数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若a b c d, ,依次成等差数列，则adbc一定成立， 所以必要性成立， 若2,2,1,3adbc，满足adbc，但a

3、 b c d, ,不成等差数列， 即充分性不成立， 所以“ad bc”是“a b c d, ,成等差数列”的必要不充分条件， 故选 B 4在ABC中， 9,10,60abA，则此三角形解的情况是（ ） A一解 B两解 C一解或两解 D无解 【答案】B 【解析】因为sin5 3bAab，所以有两解. 故选 B. 5已知等比数列 n a， 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根，则 20 a等于（ ） A4 B4 C8 D8 【答案】A 【解析】因为 10 a， 30 a是方程 2 10160 xx的两实根， 由根与系数的关系可得 1030 10aa ， 1030 16aa，可知

4、 10 0a， 30 0a 因为 n a是等比数列，所以 2 201030 16aaa， 因为 10 2010 aaq ，所以 20 0a， 所以 20 4a， 故选A 6已知实数x，y满足不等式组 40, 0, 1, xy xy y ，则23zxy的最小值为（ ） A0 B2 C3 D5 【答案】D 【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 由23zxy，得 2 33 z yx ， 作出直线 2 3 yx ，即直线230 xy， 将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值， 由 1 0 y xy ，得 1 1 x y ，即 ( 1, 1)C ， 所以23zxy的最小值为

5、2 ( 1)3 ( 1)5 ， 故选 D 7在ABC中，三边上的高依次为 1 13 ， 1 5 ， 1 11 ，则ABC为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上均有可能 【答案】C 【解析】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 1 13 , 1 5 , 1 11 分别为边a,b,c上的高. 因为 111111 21325211 ABC Sabc , 所以可设13ak,5bk,110ck k. 由余弦定理,得 222 5111323 cos0 2 511110 kkk A kk , 则, 2 A , 所以ABC为钝角三角形, 故选 C. 8已知数列 n a满足 1

6、 2a ， * 1 1() 1 2 n n anN a ，则 2020 a（ ） A2 B 1 3 C 1 2 D3 【答案】D 【解析】由已知得 1 2a ， 2 21 1 123 a ， 3 21 1 1 2 1 3 a ， 4 2 13 1 1 2 a ， 5 2 12 1 3 a ， 可以判断出数列 n a是以 4为周期的数列，故 2020505 44 3aaa ， 故选 D. 9在ABC中，M为 BC 上一点， 60 ,2, |4ACBBMMCAM，则ABC的面积的最大值为 （ ） A12 3 B6 3 C12 D18 3 【答案】A 【解析】由题意，可得如下示意图 令|ACa，|B

7、Cb，又 2BMMC ，即有 1 | 33 b CMCB 由余弦定理知： 222 |2|cosAMCACMCA CMACB 22 212 16( ) 332333 aabababab b，当且仅当3ab时等号成立 有48ab 113 sin4812 3 222 ABC SabC 故选 A 10已知命题“xR ，使 2 1 2(1)0 2 xax”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A( , 1) B( 1,3) C( 3,) D( 3,1) 【答案】B 【解析】因为命题“xR ，使 2 1 2(1 )0 2 xax”是假命题，所以 2 1 2(1)0 2 xax恒成立， 所以 2 () 1

8、14 20 2 a ，解得13a ，故实数a的取值范围是( 1,3) 故选 B 11在锐角三角形ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 222 3acac b ， 则c o ss i nAC 的取值范围为（ ） A 3 3 , 22 B 2 ,2 2 C 1 3 , 2 2 D 3,2 【答案】A 【解析】由 222 3acacb 和余弦定理得 222 3 cos 22 acb B ac ，又 0,B， 6 B . 因为三角形ABC为锐角三角形，则 0 2 0 2 A C ，即 0 2 5 0 62 A A ，解得 32 A ， 13 cossincossincossincosco

9、ssin 6622 ACAAAAAAA 33 sincos3sin 223 AAA ， 32 A ，即 25 336 A ，所以， 13 sin 232 A ， 则 33 cossin 22 AC，因此，cos sinAC的取值范围是 3 3 , 22 . 故选 A. 12已知数列 n a满足 1 1a ， 1 (1)(1) nn nanan n ， * nN，且 2 cos 3 nn n ba ，记 n S为数 列 n b的前n项和，则 2020 S（ ） A1 B 1 2 C 1 2 D-1 【答案】C 【解析】 1 (1)(1) nn nanan n ， 1 1 1 nn aa nn ，

10、 数列 n a n 是等差数列，公差与首项都为 1， 2 1 (1) n n a nan n ， 2 cos 3 n n bn ， 32 41 (32)cos 2(32) 32 k bkkk ， 31 21 (31)cos 2(31) 32 k bkkk ， 3 3 cos23 k bkkk， 32313 3 2 kkk bbb ， 20203 674 2 12020 (3 6742)1010 22 bb ， 12345620172018201920202020 31 673 1010 22 bbbbbbbbbSb . 故选 C. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

11、13设ABC内角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c.已知(4 )coscosacBbC ，则cos B_ 【答案】 1 4 【解析】由(4)coscosacBbC及正弦定理， 得(4sinsin)cossincosACBBC， 即4sincossin()sinABBCA，因为(0, )A，sin0A， 所以 1 cos 4 B 故填 1 4 14已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 21 n S n n ，则 17 aa_. 【答案】29 【解析】由 1 21 n S n n ，得 2 21 n Snn， 令1n ，则 1 2 1 12S ，即 1 2a ， 22 776 2

12、77 1 (2 66 1)27aSS ， 所以 17 22729aa， 故填 29 15若正实数 , x y满足 39 loglog1xy，则 2 xy的最小值为_. 【答案】6； 【解析】因为 39 loglog1xy，所以 2 2 9 3 loglog1xy，即 2 9 log ()1x y ， 所以 2 9x y ， 所以 22 22 96xyx y，当且仅当 2 xy，即3,3xy时取等号， 所以 2 xy的最小值为 6 故填 6 16给出以下四个命题： 若coscos1，则sin()0； 已知直线x m 与函数( )sinf xx，( )sin() 2 g xx 的图像分别交于点,M

13、 N，则|MN的最大 值为 2； 若数列 2 () n ann nN 为单调递增数列，则取值范围是2； 已知数列 n a的通项 3 211 n a n ，前n项和为 n S，则使0 n S 的n的最小值为 12. 其中正确命题的序号为_. 【答案】 【解析】 由coscos1， 得c o sc o s1或coscos1 ， 1 2k， 2 2k， 或 1 2k， 2 2k， 12 ,k kZ， 12 2 kk， 或 12 22kk， sin()0. 把x m 带入( )sinf xx和( )sincos 2 g xxx ， 得| sincos2sin 4 MNmmm .则| |MN的最大值为

14、2； 若数列 2 n ann nN 为单调递增数列， 则 22 1 (1)(1) nn aannnn 210n 恒成立，(21)nnN 恒成立， 得3. 由 3 211 n a n 知： 1 3 9 a ， 2 3 7 a ， 3 3 5 a ， 4 3 3 a ， 5 3 1 a ， 6 3 1 a ， 7 3 3 a ， 8 3 5 a ， 9 3 7 a ， 10 3 9 a， 11 3 11 a ， 10 0S， 11 0S， 则使0 n S 的 n的最小值为 11. 故填 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知不等式 2 320

15、 xx的解集为 | xaxb. （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式：()()0 xc axb（c为常数，且2c ）. 【解析】 （1）不等式 2 320 xx的解集为 |12xx， 因为不等式 2 320 xx的解集为 | xaxb， 所以1a ，2b. （2）由（1）可知：不等式为()(2)0 xc x， c为常数，且 2c ， 当 2c时解集为 | x xc 或2x ； 当2c时解集为 |2x x 或xc. 18已知 :p 22a ，q：关于x的方程 2 0 xxa有实数根. （1）若q为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p q 为真命题， q 为真命题，求实数a的取值范

16、围. 【解析】 （1） 方程 2 0 xxa有实数根，得： :1 40qa 得 1 4 a ； （2） pq 为真命题， q 为真命题 p为真命题，q为假命题，即 22 1 4 a a 得 1 2 4 a. 19设 n a是等比数列，其前n项的和为 n S，且 2 2a ， 21 30Sa. （1）求 n a的通项公式； （2）若48 nn Sa，求n的最小值. 【解析】 （1）设 n a的公比为 q，因为 21 30Sa，所以 21 20aa，所以 2 1 2 a q a ， 又 2 2a ，所以 1 1a ，所以 11 1 2 nn n aa q . （2）因为 1 1 21 1 n n

17、n aq S q ，所以 11 2123 21 nnn nn Sa ， 由 1 3 2148 n ，得 1 3 249 n ，即 1 49 2 3 n ，解得6n， 所以 n 的最小值为 6. 20如图在ABC中，点 P 在边BC上， 3 C ，2AP ，4AC PC （1）求APB； （2）若ABC的面积为 5 3 2 ，求sinPAB 【解析】 （1）在APC中，设ACx， 因为4AC PC， 4 PC x ，又因为 3 C ，2AP ， 由余弦定理得： 222 2cos 3 APACPCAC PC 即： 2 22 44 22cos 3 xx xx ， 解得2x，所以ACPCAP， 此时A

18、PC为等边三角形， 所以 2 3 APB ； （2）由 15 3 sin 232 ABC SAC BC ， 解得5BC ，则3BP， 作ADBC交BC于 D，如图所示： 由（1）知，在等边APC中，3AD ，1PD ， 在RtABD中 22 3 1619ABADBD 在ABP中，由正弦定理得 sinsin ABPB APBPAB ， 所以 3 3 3 57 2 sin 3819 PAB 21已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项. （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）令 2

19、1 1 nn n cb a ， n c的前n项和记为 n T，若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的最大 值. 【解析】 （1）1n 时， 11 2aS， 当2n时 1 2 nnn aSSn 1 2a 也符合上式，所以 * 2 n an nN， 又 345 28bbb和 435 22bbb，得 4 8b ，2q =或 1 2 q . 1q 2q =. 1 2n n b ， * nN （2） 11 22 11111 22 1412 2121 nn nn n cb annn 1 2111111111 (1)2)2 1 22335212 1 1(1 2121422 n nn n T nnnn

20、 而 n T随着n的增大而增大，所以 1 8 22 3 n TT 故有m最大值为 8 3 . 22如图,某大型景区有两条直线型观光路线AE，AF,120EAF ,点D位于EAF的平分线上，且与 顶点A相距 1 公里.现准备过点D安装一直线型隔离网BC(,B C分别在AE和AF上)，围出三角形区域 ABC，且AB和AC都不超过 5 公里.设ABx，AC y(单位：公里). （1）求 , x y的关系式； （2）景区需要对两个三角形区域ABD，ACD进行绿化.经测算，ABD区城每平方公里的绿化费用是 ACD区域的两倍，试确定 , x y的值,使得所需的总费用最少. 【解析】 （1）解法一：由题意得

21、 ABCADCABD SSS ， 故 111 sinsinsin 222 AC ABBACAC ADDACAD ABBAD， 即 111 sin120sin60sin60 222 xyyx ， 所以xy yx (其中0 5,05xy). 解法二：在ACD中，由余弦定理得： 2222 12 cos601CDyyyy， 则 2 1CDyy，同理可得 2 1BDxx ， 在ACD中，由正弦定理得： 2 1 sinsin60 yyy ADC ， 在ABD中，由正弦定理得： 2 1 sinsin60 xxx ADB ， 因为sinsinADCADB，两式相除可得 22 11y xxxyy ， 化简得xy yx (其中05x，0 5y). （2）设ACD区域每平方公里的绿化费用为t (t为常数)，两区域总费用为P， 则有 113 sin602sin602 224 Pxtyttxy ， 记2uxy，由()可知xy yx ，即 11 1 xy ， 则 1122 223232 23 yxyx uxyxy xyxyx y ， 当且仅当 2y x x y ，即 2yx xy xyyx ， ， 解得 2 1, 2 12, x y 此时等号成立. 答：当 2 1 2 x ，12y (单位：公里)时,所需的总费用最少.