2021年北师大版高一数学上学期期中测试卷（三）.docx

1、2020-2021 学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（三） 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 评卷人 得分 一、单选题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知集合 ln1Axx， 20By yx，则 AB=( ) A 0,e B 0,+ C0,+ D0,e20,+ 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件计算出AB、集合，再计算并集. 【详解】 集合 ln10Axxxxe ，200By yxy y，0ABx x，故选 C. 【点睛】 集合的描述法一定要辨别清楚集合所描述的对象，20By yx所描述的是函数值构成的集合，易 错. 2函数 1 ( )ln(1) 1 f xx x

2、的定义域是（ ） A( 1,1 B( 1,0)(0,1 C( 1,1) D( 1,0)(0,1) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函 数 f x的定义域. 【详解】 依题意 10 10 x x ，解得11x . 故选：C. 【点睛】 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3幂函数( ) a f xx=的图象经过点(2,4)，则 1 () 2 f ( ) A 1 2 B 1 4 C 1 4 D2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂函数的图象过点2,4即可求得2a，求出函数解析式，再计算 1 2

3、f 的值 【详解】 解：幂函数 a f xx的图象经过点2,4， 则2 4 a ，解得2a； 2 f xx， 2 111 224 f 故选 B 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 4今有一组实验数据如下表所示： 则体现这些数据关系的最佳函数模型是（ ） A 1 2 yt B 2 logyt C 1 2 3 t y D 2 1 2 yt 【答案】C 【解析】 【分析】 画出散点图，观察点的分布情况，即可判断. 【详解】 画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项 C, 1 2 3 t y 更能体 现这些的数据关系.故答案选 C. 【点睛】 本题主要考查函数模型的应用，掌握基

4、本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着 重考查数形结合的能力，属于基础题. 5某同学用二分法求方程3380 x x在 x（1，2）内近似解的过程中，设 ( )338 x f xx，且计算 f（1）0，f（1.5）0，则该同学在第二次应计算的函数值为 Af（0.5） Bf（1.125） Cf（1.25） Df（1.75） 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出 该同学在第二次应计算的函数值. 【详解】 f（1）0，f（1.5）0，在区间（1，1.5）内函数 f（x）3x+3x8 存在一个零点，该同学在 第二次应

5、计算的函数值 1 1.5 2 1.25，故选 C 【点睛】 本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力. 6函数 2 1 ( ) x f x x 的图象一定关于（ ） Ax 轴对称 By 轴对称 C原点对称 D直线 x=1 对称 【答案】C 【解析】 【分析】 由 2 1 ( ) x f x x 知 ()( )fxf x ，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】 2 1 ( ) x f x x ,定义域为 | 0 x x ， 22 11 ()( ) xx fxf x xx ， ( )f x是奇函数， 故图象一定关于原点对称， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，奇函数的

6、性质，属于容易题. 7已知函数 f（x）= 21,0 2 ,0 x x log xa x ，若 f（f（0） ）=3a，则 a=（ ） A 1 2 B 1 2 C1 D1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】 解：由题意，f（0）=2，f（f（0） ）=f（2）=1+a=3a， a= 1 2 故选：A 【点睛】 本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值 f(x0)时，一定要判断 x0属于定义域的哪个 子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求 f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则. 8函数 3

7、log 3 x y 的图象是( ) A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】 利用绝对值得几何意义，将函数 3 log 3 x y ，转化为 3 3 3 log log log 3,1 3 3,01 x x x x y x ，再由对数的性质求解. 【详解】 因为 3 3 3 log log log 3,1 3 3,01 x x x x y x ， 由对数的性质得： ,1 1 ,01 x x y x x ， 所以当1x 时，是直线y x 的一部分，当1x 时，是反比例函数 1 y x 的一部分. 故选：A 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式的求法及其图象，还考查了理解辨析的能力，属于中

8、档题. 9函数 3 3 ( )log 2 f xx x 在区间1,3内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ） A 3 1, 2 B 3 ,2 2 C 5 2, 2 D 5 ,3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求得 1f, 3 2 f , 2f, 5 2 f , 3f,进而根据零点存在性定理进行判断即可 【详解】 由题, 3 (1)0 2 f , 3333 3331 log1loglog 3log0 2222 f , 4 4 33333 34 3 3216 (2)log 2log 2log 3loglog0 427 3 f, 3333 3 5 33 55 5535555 logl

9、oglog 3logloglog0 225242 272 32 f , 11 (3)10 22 f , 因此, 5 20 2 ff ,则函数 ( )f x的零点在区间 5 2, 2 内, 故选：C 【点睛】 本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,考查对数的运算 10已知定义在 R 上的函数() = 2| 1(为实数)为偶函数,记 = (0.53), = (25), = (2),则,的大小关系为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 由()为偶函数得 = 0,所以 = 2|log0,53| 1 = 2log23 1 = 3 1 = 2, = 2log25 1 = 5 1 = 4, =

10、 20 1 = 0,所以 ,故选 B. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算. 11函数 2 log1f xax在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是（ ） A 1 0, 2 B0, C 1 , 2 D1, 【答案】D 【解析】 【分析】 令1tax，则 2 logf xt，利用复合函数的单调性的判断分别研究内层和外层函数的单调性即可. 【详解】 令1tax，则 2 logf xt， 因为 2 logf xt在定义域内是单调递增函数，故1tax也必为单调递增函数， 又1tax在1,2上要恒大于零， 则有 0 10 a a ，解得1a . 故选：D. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性问题，

11、注意内层函数的值域要符合外层函数的定义域，是基础题. 12若 f x满足对任意的实数 ,ab都有 f abf af b且 12f,则 (2)(4)(6)(2020) (1)(3)(5)(2019) ffff ffff ( ) A2019 B2020 C1009 D1010 【答案】B 【解析】 【分析】 因为()( ) ( )f abf a f b,可得 () ( ) ( ) f ab f b f a ,令 1b,故 (1) (12) ( ) f a f f a ,即可求得答案. 【详解】 函数 ( )f x对任意实数a,b满足()( ) ( )f abf a f b () ( ) ( ) f

12、 ab f b f a 令1b,故 (1) (12) ( ) f a f f a (2)(4)(6)(2020) 1010 22020 (1)(3)(5)(2019) ffff ffff 故选: B. 【点睛】 本题主要考查了根据函数关系式求函数值,解题关键是掌握由函数关系式求值的解法,考查了分析能力和计 算能力,属于中档题. 评卷人 得分 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13设函数 ln(2),1 ( ) 24,1 xx f x xx ，若( )1f a ，则a_ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 当1a时，解方程ln(2)1a ，求出a的值，判断a是否存在；

13、当1a时，解方程241a ，求出a的值，判断a是否存在，最后确定a的值. 【详解】 当1a时， 1f a 1 2 ln(2)1 e aa e ，而1 21 e e ，故舍去； 当1a时， 1f a 3 2411 2 aa ，所以 3 2 a . 【点睛】 本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力. 14已知函数 ( )f x的定义域是（-1，2） ，则(21)fx 的定义域是_ 【答案】 1 1, 2 【解析】 【分析】 根据函数定义域的概念列不等式，由此求得21fx的定义域. 【详解】 由于 f x的定义域是1,2，所以对于函数21fx有1212x ，解得 1 1 2 x .所以函数

14、21fx的定义域为 1 1, 2 . 故答案为： 1 1, 2 【点睛】 本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题. 15已知函数 3 ( )31f xxxa在 2,)x 上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为_; 【答案】 （-3，1） 【解析】 【分析】 取 3 ( )31=0f xxxa，参数分离，画出图像得到答案. 【详解】 33 ( )31=031+f xxxaaxx 32 ( )31( )3301+g xxxg xxx 画出图像： 实数 a 的取值范围为（-3，1） 故答案为（-3，1） 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键. 16设函数 f x

15、是定义域为R上的奇函数，当0 x 时， 1f xxx，求0 x时 f x的解析式为 _. 【答案】 10f xxxx 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可 【详解】 解：( )f x是定义域为R上的奇函数，当0 x时， 1f xxx 当 0 x时，0 x ， 则 ()(1)( )fxxxf x ， 则( )(1)f xxx， 故答案为： 10f xxxx 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的性质利用转化法是解决本题的关键，属于基础题 评卷人 得分 三、解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分) 17设全集U

16、 R，集合 lg()0Axxa， 2 340Bx xx. （1）当1a 时，求AB集合； （2）若ABA，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2,4)AB (2) 2a 【解析】 【分析】 （1） 当1a 时， 解对数不等式求得集合A， 解一元二次不等式求得集合B， 由此求得两个集合的交集. （2） 根据ABA得到B是A的子集，解对数不等式求得集合A，根据集合B是集合A的子集列不等式，解 不等式求得a的取值范围. 【详解】 （1）当1a 时，由于lg10lg1x，即1 1x ，所以2Ax x. 由于 2 340 xx，即 140 xx，所以1,4B . 所以2,4AB. （2）因为ABA，

17、所以BA. 由于1Ax xa，则11a 所以2a. 【点睛】 本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基础题. 18已知函数 2 1 ,0 2,03 6 ,3 x x f xxxx xx （1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象； （2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域. 【答案】 （1）作图见解析； （2）定义域为R，增区间为1,3，减区间为,0、0,1、3,，值域为,3. 【解析】 【分析】 （1）根据函数 yf x的解析式作出该函数的图象； （2）根据函数 yf x的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】 （1

18、）图象如图所示： （2）由函数 yf x的图象可知，该函数的定义域为R， 增区间为1,3，减区间为,0、0,1、3,，值域为,3. 【点睛】 本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属 于基础题. 19 （1）已知 ( )f x的定义域为 1,4，求 (23 )fx 的定义域. （2）已知 ( )f x是二次函数，且(0)1,(1)( )2ff xf xx ，求 ( )f x. 【答案】 （1） 2 1 , 3 3 （2） 2 1f xxx 【解析】 【分析】 （1）根据同一对应关系下变量的范围相同来求解函数的定义域. （2）设出二次函数 (

19、)f x的表达式,结合题中的条件运用待定系数法求出函数解析式. 【详解】 （1）已知 ( )f x的定义域为 1,4,所以对 (23 )fx 有12 34x,解得 21 33 x,所以函数(23 )fx 的定义域为 2 1 , 3 3 . （2）已知 ( )f x是二次函数,不妨设 2 ( )(0)f xaxbxc a, 因为(0)1f,则代入解析式中可得 (0)1fc , 又因为(1)( )2f xf xx,则有 22 (1)(1)2a xb xcaxbxcx , 化简得22axa bx ,有 22 0 a ab 即1a ,1b. 综上二次函数的解析式为: 2 ( )1f xxx 【点睛】

20、本题考查了求抽象函数的定义域,同一函数的对应关系的变量相同来求解,在求函数解析式的方法有:待定系 数法,方程组解法,配凑法,换元法等,需要掌握一些题型的固定解法,本题需要掌握解题方法. 20已知 1 ( )ln 1 mx f x x 是奇函数. （1）求实数m的值； （2）判定 f x在1,上的单调性，并加以证明. 【答案】 （1）1m； （2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由奇函数定义可求得m； （2）用单调性定义证明 【详解】 （1） 1111 ()lnln,( )lnln 1111 mxmxmxx fxf x xxxmx ( )f x是奇函数，()( )fxf x ， 即

21、 11 lnln,1 11 mxx m xmx . （2）由（1）知 12 ( )lnln 1 11 x f x xx . 任取 12 ,x x满足 12 1xx， 则 21 121212 22222 11 111111 xx xxxxxx . 由 12 1xx知， 2112 0,10,10 xxxx 1212 2222 110, 110 1111xxxx 12 22 ln 1ln 1 11xx ，即 12 ,( )f xf xf x在(1,)上是减函数 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数的这两个性质一般都是根据定义求解 21某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品

22、的利润与投资额成正比，设比例系数为 1 k， 其关系如图 1；B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为 2 k，其关系如图 2 （注：利润 与投资额单位是万元） （1）分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出 1, k 2 k的值，写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资额， 才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元 【答案】 （1） 1 1 4 k ， 2 5 4 k 1 ( ), 4 f xx(0)x ， 5 ( ), 4 g xx(0)x （2）A 产品投入 375

23、万元， B 产品投入 625 万元时，企业获得最大利润为 65 (4.0625) 16 万元 【解析】 【分析】 （1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得； （2）设 A 产品投入x万元，则 B 产品投入10 x万元，设企业的利润为y万元则有 ( )(10)yf xgx，(010)x，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题 【详解】 解析： （1）设投资额为x万元，A 产品的利润为 ( )f x万元，B 产品的利润为( )g x万元， 由题设 1 ( )f xk x， 2 ( )g xkx 由图知 1 (1) 4 f，所以 1 1 4 k ，又 5 (4) 2 g，所以 2

24、 5 4 k 所以 1 ( ), 4 f xx(0)x ， 5 ( ), 4 g xx(0)x （2）设 A 产品投入x万元，则 B 产品投入10 x万元，设企业的利润为y万元 15 ( )(10)10 44 yf xgxxx，(010)x， 令10 xt，则 2 2 1051565 , 444216 t ytt (010)t 所以当 5 2 t 时， max 65 16 y，此时 2515 103.75 44 x 当 A 产品投入 3.75 万元，B 产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润为 65 16 即 4.0625 万元 【点睛】 本题考查函数模型的应用已知函数模型，直接设出解析

25、式形式代入已知数据即可得函数解析式换元法 是求得最大值的关键 22已知函数 yf x，若在定义域内存在 0 x，使得 00 fxf x成立，则称 0 x为函数 f x的局 部对称点. （1）证明：函数 21 x f x 在区间1,2内必有局部对称点； （2）若函数 12 423 xx f xmm 在 R 上有局部对称点，求实数 m 的取值范围. 【答案】 （1）见解析； （2）1 32 2m 【解析】 【分析】 （1）设212 x tx ，可求出 1 2t t 的解为 1 1,4 2 t ，从而可知当 0 0 x 时， 00 1221 xx 成立，即可证明函数 21 x f x 在区间1,2内

26、必有局部对称点； （2）由题意知 0fxf x在 R 上有解，令22 xx t ，则 22 2280tmtm 在2,t上 有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在2,t上根的个数，得到关于m的不等式，从而可 求出实数 m 的取值范围. 【详解】 证明： （1）设212 x tx ，则 1 2 t 4，令 1 2t t ，则 2 210tt ， 解得 1 1,4 2 t ，即当 0 0 x 时， 00 1221 xx ，即 00 fxf x成立， 即函数 21 x f x 在区间1,2内必有局部对称点 解： （2） 12 423 xx fxmm ，则 0fxf x在 R 上有解. 即 121

27、2 4234230 xxxx mmmm 在 R 上有解， 于是 2 44222230 xxxx mm （*）在 R 上有解. 令22 xx t ，则 2 442 xx t ，所以方程（*）变为 22 2280tmtm ， 设 12 0 xx，则 1212 12 1122 1212 22 21 22 2121 2222 222 xxxx xx xxxx xxxx ， 由 12 0 xx，2xy 在R上单调递增知， 12 220 xx ， 12 21 xx ， 12 20 xx ， 即此时 1122 22220 xxxx ，所以函数22 xx y 在,0上单调递减； 设 12 0 xx，则 121

28、2 12 1122 1212 22 21 22 2121 2222 222 xxxx xx xxxx xxxx ， 由 12 0 xx，2xy 在R上单调递增知， 12 220 xx ， 12 21 xx ， 12 20 xx ， 即此时 1122 22220 xxxx ，所以函数22 xx y 在0,上单调递增； 故2,t，从而已知即 22 2280tmtm在 2,t上有解. 设 22 228g ttmtm（2t ） ，分为两种情况： 当方程有在2,t唯一解时： 则 2 244280gmm 或 2 244280 2 2 2 gmm m ， 解 20g得，3131m ；解 2 244280 2 2 2 gmm m 得，31m ， 则3131m ； 当方程在2,t有两个解时： 2 22 2442803113 44 2802 22 2312 2 2 2 2 2 gmmmm mmmm m m 或 . 综上得1 32 2m . 【点睛】 本题考查了换元法的应用，考查了由二次函数零点的分布求参数的取值范围.在第二问中，通过换元将函数 在 R 上有局部对称点问题，转化为 22 2280tmtm在 2,t上有解.已知二次函数的零点求参数 的取值范围时，常依据与 0 的大小关系，对称轴、区间端点的函数值列关于参数的不等式.