2021年高二数学上学期期中考测试卷01（人教B版新教材）.docx

1、 20202020- -20212021 学年高二数学上学期期中考测试卷学年高二数学上学期期中考测试卷 0101（人教（人教 B B 版版 20192019） 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. . 1直线310 xy 的倾斜角( ) A30 B60 C120 D150 【答案】A 【解析】可得直线310 xy 的斜率为 3 3 A k B ， 由斜率和倾斜角的关系可得 3 tan 3 ， 又0 180 30 2

2、若向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ，则2a b（ ） A( 4,1,0) B( 4,1, 4) C(4, 1,0) D(4, 1, 4) 【答案】C 【解析】因为向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ， 则2(4,0, 2)a ， 则2(4,0, 2)(0,1, 2)(4, 1,0)ab rr . 3过两点2,0A ，0,3B的直线方程为（ ） A3 260 xy B3260 xy C3260 xy D3260 xy 【答案】C 【解析】解：直线经过两点2,0A ，0,3B，而这 2 个点恰是直线和坐标轴的交点， 过两点2,0A ，0,3B的直线方程为1 23 x

3、y ，即3260 xy 4抛物线 2 4yx的准线方程为（ ） A1x B 1y C 1x D 1y 【答案】A 【解析】 2 4 ,24,2yxpp， 抛物线 2 4yx的准线方程为 2 p x ， 即1x，故选 A . 5已知中心在原点的椭圆C的右焦点为1,0F，离心率等于 1 2 ，则C的方程是（ ） A 22 1 34 xy B 22 1 43 xy C 22 1 42 xy D 22 1 43 xy 【答案】D 【解析】由椭圆C的右焦点为1,0F知1c， 又 1 2 c e a ， 2a ， 222 3bac， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy . 6已知点3,8A 和2,2B，

4、在x轴上求一点M，使得AM BM最小，则点M的坐标为（ ） A1,0 B 22 0, 5 C 22 ,0 5 D1,0 【答案】D 【解析】解：找出点B关于x轴的对称点B，连接AB， 与x轴的交于M点，连接BM，此时|AMBM为最短， 由B与B关于x轴对称，(2,2)B， 所以(2, 2)B，又( 3,8)A ， 则直线AB的方程为 82 2(2) 32 yx 化简得：22yx ，令0y ，解得1x ，所以(1,0)M 故选：D 7圆 22 4xy与圆 22 68240 xyxy的位置关系是（ ） A相交 B相离 C内切 D外切 【答案】C 【解析】因为圆 22 4xy的圆心为 1 0C，0半

5、径为 1 2r ， 圆 22 68240 xyxy的圆心为 2 3C，-4半径为 2 7r ， 而 1221 5CCrr 所以两圆相内切. 8正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成 角的正弦为（ ） A 3 6 B 6 6 C 3 3 D 6 3 【答案】C 【解析】以点 P为原点，PA为 x轴，PB 为 y 轴，PC为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设2PAPBPC，则(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0),0,1,1ABCEF， (0,2,0),(1,1,0),0,1,1PBPEPF， 设平面 PE

6、F 的法向量, ,nx y z， 则 0 0 n PExy n PFyz ，取1x 得1, 1,1n ， 设平面PB与平面PEF所成角为，则 |23 sin. 3| |2 3 PB n PBn 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9 （多选）若两平行线分别经过点(5,0),(0,12)AB，则它们之

7、间的距离 d 可能等于（ ） A0 B5 C12 D13 【答案】BCD 【解析】易知当两平行线与 A，B 两点所在直线垂直时，两平行线间的距离 d最大， 即 max | 13dAB，所以013d ，故距离 d 可能等于 5，12，13 故选：BCD 10 （多选题）若直线 l的方向向量为m，平面 的法向量为n，则不可能使 l/ 的是（ ） Am=(1，0，0)，n=(-2，0，0) Bm=(1，3，5)，n=(1，0，1) Cm=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) Dm=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 【答案】ABC 【解析】若 l，则需m n ，即 0mn ，根据选择项验证可知：

8、 A 中， 2mn ； B 中， 6mn ； C中， 1mn ； D 中， 0mn ； 综上所述，选项 A，B，C符合题意 11如图，设E，F分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱DC上两点，且2AB ，1EF ，其中正确的 命题为（ ） A三棱锥 11 DB EF的体积为定值 B异面直线 11 DB与EF所成的角为60 C 11 DB 平面 1 B EF D直线 11 DB与平面 1 B EF所成的角为30 【答案】AD 【解析】解：对于 A， 11111 1 1 3 11112 1 2 2 32323 DB EFBD EFD EF VVSBC EFDD V 故三棱锥 11 DB E

9、F的体积为定值，故 A 正确 对于 B， 11 / /EFDC， 11 DB和 11 DC所成的角为45，异面直线 11 DB与EF所成的角为45，故 B错误 对于 C， 若 11 DB 平面 1 B EF，则 11 DB 直线EF，即异面直线 11 DB与EF所成的角为90，故 C 错误 对于 D， 以D为坐标原点， 分布以 1 ,DA DC DD为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 设0, ,0Ea， 则0,1+ ,0Fa， 1 2,2,2B， 1 0,0,2D 111 2,2,2 ,0,1,0 ,2,2,0EBaEFDB 设平面 1 B EF的法向量为 () , ,nx y z=则

10、 1 , ,2,2,20 , ,0,1,00 n EBx y za n EFx y z ，即 0 0 y xz 令1z ，则1,0, 1n 11 11 11 1,0, 12,2,01 cos, 22 2 2 n D B n D B nD B 11 ,60n DB 所以直线 11 DB与平面 1 B EF所成的角为30，正确 12已知双曲线C过点3, 2且渐近线为 3 3 yx ，则下列结论正确的是（ ） AC的方程为 2 2 1 3 x y BC的离心率为3 C曲线 2 1 x ye 经过C的一个焦点 D直线210 xy 与C有两个公共点 【答案】AC 【解析】对于选项 A：由已知 3 3 y

11、x ，可得 22 1 3 yx，从而设所求双曲线方程为 22 1 3 xy，又由 双曲线C过点3, 2，从而 22 1 3( 2) 3 ，即1，从而选项 A正确； 对于选项 B：由双曲线方程可知 3a ，1b，2c ，从而离心率为 22 3 33 c e a ，所以 B选项 错误； 对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为2,0，满足 2 1 x ye ，从而选项 C正确； 对于选项 D：联立 2 2 210 1 3 xy x y ，整理，得 2 2-2 20yy，由 2 (2 2)4 20 ，知直线与双 曲线C只有一个交点，选项 D 错误. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小

12、题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13若过点4,Aa，2, 3B的直线的倾斜角为 3 4 ，则a_. 【答案】5 【解析】由题意可得 33 tan1 442 a ，求得5a. 14已知2,3,am ， 2, 1,1b ，若a b，则实数 m的值为_ 【答案】7 【解析】因为ab，所以0223 ( 1)0a bm ，解得7m 15若直线3 40 xya 与圆 2 2 24xy有且仅有一个公共点，则实数a的值为_. 【答案】4或16 【解析】由题意，圆心2,0到直线340 xya的距离 22 2 4 6 3 d a ，解得4a或16a . 16已知 1 F， 2 F是双曲线 C

13、： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的左、右焦点，以 12 FF为直径的圆与 C的左 支交于点 A， 2 AF与 C 的右支交于点 B， 12 3 cos 5 FBF ，则 C 的离心率为_. 【答案】 13 【解析】由题意知 12 90FAF， 12 3 cos 5 FBF ， 所以 1 3 cos 5 ABF，即 1 3 5 AB BF ，易得 11 :3:4:5ABAFBF . 设3AB ， 11 45AFBF， 2 BFx， 由双曲线的定义得：345xx ，解得：3x ， 所以 22 12 464 13FF 13c， 因为2521axa ，所以离心率 13e . 四、四、解答

14、题：本小题共解答题：本小题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.（本小题 10 分） 已知ABC的顶点坐标分别是0,512()( 7, )4ABC， ，； （1）求BC边上的中线所在直线的方程（答案用斜截式方程） ； （2）求过点 C 且与直线AB垂直的直线方程（答案用斜截式方程）. 【解析】 （1）0,512()( 7, )4ABC， ，BC的中点坐标为()3,1， 中线的斜率为 5 14 0( 3)3 ， 中线所在直线的方程为 4 5 3 yx， （2）由已知可得AB的斜率为 5( 2) 7

15、 0 1 ， 所以与直线AB垂直的直线的斜率为 1 7 与直线AB垂直的直线为 1 5 7 yx 18 （本小题 12 分） 在直角坐标系xOy中，已知圆 22 :460C xyxym与直线:10l xy 相切， （1）求实数m的值； （2）过点3,1的直线与圆C交于MN两点，如果2 3MN ，求OM ON . 【解析】解:（1）圆C的方程可化为 22 2313xym， 圆心2,3C，半径 13rm ，其中13m， 因为圆C与直线l相切，故圆心2,3C到直线l的距离等于半径， 即 22 23 1 13 11 m ，解得5m； （2）当直线MN斜率不存在时，其方程为3x ， 此时圆心2,3C到直

16、线MN的距离1d ， 由垂径定理， 22 22 7MNrd，不合题意； 故直线MN斜率存在，设其方程为13yk x ， 即 310kxyk ， 圆心2,3C到直线MN的距离 222 23312 11 kkk d kk ， 由垂径定理， 22 2MNrd，即 2 2 2 83 1 k k ， 解得 1 2 k ， 故直线MN的方程为 11 22 yx， 代入圆C的方程，整理得 2 530330 xx， 解得 1 152 15 5 x ， 2 152 15 5 x ， 于是 11 11515 225 yx ， 22 11515 225 yx ，这里 11 ,M x y， 22 ,N x y)， 所

17、以 1 212 7OM ONx xy y. 19（本小题 12 分） 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，下顶点为,A O为坐标原点，点O到直线 2 AF 的距离为 12 2 , 2 AFF为等腰三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若倾斜角为45的直线经过椭圆C的右焦点 2 F，且与椭圆C交于,M N两点(M点在N点的上方)求 线段 2 MF与 2 NF的长度之比. 【解析】 （1）由题意知， 1 ,0Fc 、 2 ,0F c、0,Ab， 所以直线 2 AF的方程为1 xy cb ， 即0bxcybc， 则 22 2 2 bcbc a

18、bc ， 因为 12 AFF为等腰三角形，所以b c， 又 222, 2,1,1abcabc， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y； （2）由题意知过右焦点 2 F的倾斜角为45的直线为1yx， 11 ,M x y 、 22 ,N x y 联立 2 1 22 1 1 3210, 223 yx yyy xy 或 2 1y ， 所以 1 2 22 1 . 3 yMF NFy 20 （本小题 12 分） 平面直角坐标系 xoy 中，直线截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆 O 的方程； （2）若直线 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线 的方

19、程； （3）设 M，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交于轴于点（， ）和（，） ，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【解析】（1）因为 O到直线 xy10的距离为 1 2 ， 所以圆 O 的半径 r 2 2 16 + 22 2，故圆 O的方程为 x 2y22. （2）设直线 l的方程为 x a y b 1(a0，b0)，即 bxayab0， 由直线 l与圆 O相切，得 22 ab a +b 2，即 22 11 + ab 1 2 ， 所以 DE2a2b22(a2b2)（ 22 11 + ab ） 2 22 22 ab +2 ba

20、 2 22 22 ab 2?+2 ba 8(当且仅当 ab2 时等号成立)， 此时直线 l的方程为 xy20. （3）设 M(x1，y1)，P(x2，y2)， 则 N(x1，y1)，x 2 1 y 2 1 2，x 2 2y 2 22， 直线 MP与 x轴的交点为 1221 21 x y -x y ,0 y -y ，即 m 1221 21 x y -x y y -y . 直线 NP 与 x 轴的交点为 1221 21 x y +x y ,0 y +y ，即 n 1221 21 x y +x y y +y . 所以 mn 1221 21 x y -x y y -y 1221 21 x y +x y

21、 y +y 2222 1221 22 21 x y -x y y -y 2 222 1221 22 21 2-yy - 2-yy y -y （） 22 21 22 21 2 y -y y -y （） 2， 故 mn2 为定值 21 （本小题 12 分） 如图，在圆柱 12 OO中，AB为圆 1 O的直径，C，D 是弧AB上的两个三等分点，CF是圆柱 12 OO的母线. （1）求证： 1/ CO平面AFD； （2）设 3AC ，45FBC，求二面角BAFC的余弦值. 【解析】 （1）如图所示： 连接 1 ,DC OD， 因为 C，D是半圆AB上的两个三等分点， 所以 111 60AO DDOCC

22、O B ， 又 1111 O AOBOCOD， 所以 1 AO D， 1 CO D， 1 BOC均为等边三角形. 所以 11 O AADDCCO， 所以四边形 1 ADCO是平行四边形. 所以 1/ COAD， 又因为 1 CO 平面AFD，AD 平面AFD， 所以 1/ CO平面AFD. （2）因为FC是圆柱 12 OO的母线， 所以FC 平面ABC，BC 平面ABC，所以FCBC 因为AB为圆 1 O的直径，所以90ACB 在RtABC中，60ABC， 3AC ， 所以1 tan60 AC BC ， 所以在RtFBC中，tan451FCBC （方法一）因为BCAC，BCFC，ACFCC，

23、所以BC平面FAC， 又FA平面FAC， 所以BCFA，如图所示： 在FAC内，作CHFA于点 H，连接BH. 因为BCCHC，BC，CH 平面BCH， 所以FA 平面BCH， 又BH 平面BCH， 所以FABH， 所以BHC就是二面角BAFC的平面角. 在RtFCA中， 22 2FAFCAC ， 3 2 FC AC CH FA . 在RtBCH中，90BCH， 所以 22 7 2 BHBCCH ， 所以 21 cos 7 CH BHC BH . 所以，二面角BAFC的余弦值为 21 7 . （方法二）如图所示： 以 C 为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为 x，y，z轴，建立如图所示

24、的空间直角坐标系，则 3,0,0A，0,1,0B，0,0,1F， 所以3,1,0AB uu u r ，3,0,1AF . 设平面AFB的一个法向量为, ,nx y z， 则 ABn AFn ，即 30, 30, xy xz 令1x ，则3yz， 所以平面AFB的一个法向量为1, 3, 3n . 又因为平面AFC的一个法向量010,m . 所以 321 cos, 77 m n m n m n . 所以结合图形得，二面角BAFC的余弦值为 21 7 . 22 （本小题 12 分） 已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x 29y236 有相同的焦点 (1)求双曲线的标准方程； (2)若点 M 在双曲

25、线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6 3，试判别MF1F2的形状 【解析】(1)椭圆方程可化为 22 1 94 xy ，焦点在 x 轴上，且 c945， 故设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 则有 22 222 94 1 ab abc 解得 a 23，b22. 所以双曲线的标准方程为 22 1 32 xy . (2)不妨设 M 点在右支上， 则有|MF1|MF2|2 3 ， 又|MF1|MF2|6 3， 故解得|MF1|4 3，|MF2|23， 又|F1F2|2 5， 因此在MF1F2中，|MF1|边最长，而 cos MF2F1 222 2121 12 0 2 MFFFMF MF MF ， 所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形