2021年北师大版高一数学上学期期中测试卷（一）.docx

1、2020-2021 学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（一） 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 评卷人 得分 一、单选题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1设全集为 R，集合A|10 x x ，B| | 2x x，则集合 RA B( ) A | 1x x B |2x x 或1x C |1 2xx D |1x x 或2x 【答案】D 【解析】 【分析】 先分别求出集合A和集合集合B，再求出 R C A,与集合B求并集即可. 【详解】 因为A|1x x，Bx | x2 或x2； RA x|x1； RA Bx|x1或x2 故选 D 【点睛】 本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可

2、，属于基础题型. 2已知 ( )f x满足 () x f ex，则 (1)f（ ） A0 B1 Ce Dln2 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ( )f x满足 () x f ex，利用f（1） 0 ()f e，能求出结果 【详解】 ( )f x满足() x f ex， f （1） 0 ()0f e 故选A 【点睛】 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 3函数 1 ( ) 2 x f x x 的定义域为（ ） A(1, ) B1,) C1,2) D1,2)(2,) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组

3、，解不等式组求得函数 f x的定义域. 【详解】 依题意 10 20 x x ，解得1,2)(2,)x. 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 4下列函数 f x中，满足对任意 12 ,0,x x ，当 x1x2时，都有 12 f xf x 的是( ) A 2 f xx B 1 f x x C f x x D 21f xx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，选取在0,上为减函数的函数. 【详解】 由 12 xx 时， 12 f xf x，所以函数 f x在0,上为减函数的函数.A 选项， 2 yx=在0,上为增函数，不符合题意.B 选项， 1 y x

4、在0,上为减函数，符 合题意.C 选项，yx在0,上为增函数，不符合题意.D 选项， 21f xx在 0,上为增函数，不符合题意.故选 B. 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性定义，考查基本初等函数单调性，属于基础题. 5若 ( )f x的定义域为R且在(0,)上是减函数，则下列不等式成立的是（ ） A 2 3 ( )(1) 4 ff aa B 2 3 ( )(1) 4 ff aa C 2 3 ( )(1) 4 ff aa D 2 3 ( )(1) 4 ff aa 【答案】B 【解析】 【分析】 判断 3 4 与 2 1aa的大小，利用函数的单调性，即可推出结果 【详解】 解： 2 2 13

5、3 1 244 aaa ， 函 ( )f x的定义域为R且在(0,)上是减函数， 可得 2 3 ( )(1) 4 ff aa 故选：B 【点睛】 本题考查函数的单调性的应用，基本知识的考查 6已知函数 2 45yxx在闭区间0, m上有最大值 5，最小值 1，则m得取值范围 是（ ） A0,1 B1,2 C0,2 D2,4 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的解析式可得函数 22 ( )45(2)1f xxxx的对称轴为2x， 此时， 函 数取得最小值为 1，当0 x或4x时，函数值等于 5，结合题意求得m的范围 【详解】 函数 22 ( )45(2)1f xxxx的对称轴为2x， 此时，

6、 函数取得最小值为 1， 当0 x或4x时，函数值等于 5 又 2 ( )45f xxx在区间0， m上的最大值为 5，最小值为 1， 实数m的取值范围是2，4，故选 D 【点睛】 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解二次函数在特 定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性是解决该类问题的关键 7下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A 2 1yx B 1yx C 1 2 yx D 3 yx 【答案】D 【解析】 【分析】 选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件， 要从这两个方面进行判 断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函

7、数单调性的判定方 法进行求解. 【详解】 选项 A 中，设函数( )yf x，()( )fxf x，函数 2 1yx是偶函数，不符合题 意； 选项 B 中，设函数( )yf x，()( )fxf x ，则函数 1yx 为非奇非偶函数， 选项 B 不符合题意； 选项 C 中，函数 1 2 yx 的定义域为0,)，则 1 2 yx 为非奇非偶函数，选项 C 不符 合题意； 选项 D 中， 3 yx是单调递增且满足 ()( )fxf x ，则 3 yx是奇函数，符合条件. 故选 D. 【点睛】 本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题. 8函数 f(x)axb的图象如图，其

8、中 a，b 为常数，则下列结论正确的是（ ） Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D0a1，b0 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的单调性得到 0a1，再根据函数 f(x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左 平移得到的，分析出b的范围. 【详解】 由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减， 所以 0a1. 函数 f(x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的， 所以 b0. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平. 9已知关于x的不等式 4 2 1 3 3

9、 x x ，则该不等式的解集为（ ） A 4，+) B(-4，+) C(-,-4 ) D4,1 【答案】B 【解析】 【分析】 先将不等式两边化为同底，然后利用指数函数单调性列一元一次不等式，由此求得不等 式的解集. 【详解】 依题意可知，原不等式可转化为 42 33 xx ，由于指数函数3xy 为增函数，故 42 ,4xx x ，故选 B. 【点睛】 本小题主要考查指数运算， 考查指数函数的单调性以及指数不等式的解法， 属于基础题. 10已知 1 3 1 log 3,2 ,ln 3 abc ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） Aab c Bacb C cab Dbac 【答案】D 【解

10、析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【详解】 解：0131logaloglog ， 1 0 3 221b ， 1 10 3 clnln， a，b，c的大小关系为：b ac 故选：D 【点睛】 本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 11函数 f（x）=lnx+3x-4 的零点所在的区间为（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D2,4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数零点的判定定理可得函数 ( )f x的零点所在的区间 【详解】 解：函数( )34f xlnxx在其定义域上单调递增， f （2

11、）2 2 3 42 20lnln ，f（1）3 41 0 ， f （2）f（1）0 根据函数零点的判定定理可得函数 ( )f x的零点所在的区间是(1,2)， 故选：B 【点睛】 本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题 12若函数 2 0 20 x log xx f x ax ， ， 有且只有一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，1）（0，+） B （，1）0，+） C1，0） D0，+） 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 f x在,0没有零点列不等式，解不等式求得a的取值范围. 【详解】 当 x0 时， 因为 log210， 所以有一个零点， 所以要使函数 2 0 2

12、0 x log xx f x ax ， ， 有 且只有一个零点， 则当 x0 时，函数 f（x）没有零点即可，当 x0 时，02x1，12x0，1 a2xaa， 所以a0 或1a0，即 a0 或 a1. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查分段函数零点，属于基础题. 评卷人 得分 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)2x(1x)，则 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 利用函数的周期为2， 将 5 2 f 转化为 1 2 f ， 然后将 1 2 x 代入题目所给解析式， 由此求得函数值. 【详解】 依题意，

13、得 fff f2 . 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的周期性.将不属于给定区间内的自变量，通 过周期性转化为给定区间内的自变量，由此求得函数值，属于基础题. 14若 10 x=3,10y=4,则 10 x-y=_ 【答案】 3 4 【解析】 因为103,104 xy ，所以 103 10 104 x x y y ，应填答案 3 4 15(本题 0 分)函数 2 1 2 log23f xxx 的值域是_. 【答案】2, 【解析】 【分析】 设 2 230txx ，求出t的范围，再根据 1 2 logyt 的单调性可求得结果. 【详解】 设t 22 23(1)4xxx ，则 (0,

14、4t， 因为 1 2 logyt 在(0,4上单调递减， 所以 1 2 log 42y ， 所以函数 ( )f x的值域为 2,). 故答案为：2,. 【点睛】 本题考查了利用对数函数的单调性求函数的值域，属于基础题. 16设 ab 23x，且 11 1 ab ，则 x 的值为_ 【答案】6 【解析】 【分析】 由 2a=3b=x，根据对数的定义，分别表示出 a 与 b，代入1 1 1 ab 中，利用对数的运算 法则即可求出 x 的值 【详解】 由 ab 23x，得到 x 2 alog， x 3 blog， 代入 11 1 ab 中得： xx 23 11 1 loglog ，即 lg2lg3l

15、g6 1 lgxlgxlgx ， 得到lgxlg6，即x6 故答案为 6 【点睛】 此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题 评卷人 得分 三、解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分) 17已知全集U R，若集合 24Axx ，0Bx xm. （1）若3m，求 U AC B； （2）若ABA, 求实数m的取值范围. 【答案】 （1）3,4)（2）4m 【解析】 【分析】 （1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可； （2）由ABA可得AB，利用集合的包含关系求解即可. 【详解】 （1）当时，所以， 因为，所以； （2）由得， 所以 【点睛】

16、 本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题. 18已知函数() = 2+2 (1)判断并证明()在0,1上的单调性； (2)若 1,2，求()的值域 【答案】(1)见解析，(2) 1 3, 2 4 . 【解析】 【分析】 (1)根据函数的单调性的定义证明即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的值域即可 【详解】 解：(1)()在0,1上单调递增函数，证明如下： 任取0 1 2 1， 则(1) (2) = 1 1 2+2 2 2 2+2= 1(2 2+2)2(12+2) (1 2+2)(22+2) = (212)(12) (1 2+2)(22+2) 因为0 1 2 1，所以1 2 0，

17、1 2 + 2 0,2 2 + 2 0， (1) (2) 0， ()在0,1上是增函数因为1 2， 所以， (1) (2) 0， ()在0,1上是增函数 (2) 1,2， 又()在1,2上递增，在2,2上递减， ()= (1) = 1 3,() = (2) = 2 4 ， ()的值域为 1 3, 2 4 . 【点睛】 本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的最值，是一道中档题 19已知函数 2 210f xxx. （1）若 1,3x ，求 f x的单调区间和值域； （2）设函数 f x在 ,1t t 的最小值为 g t，求 g t的表达式. 【答案】（1）( ) f x的单调递减区间为-1，

18、2 5 )， 单调递增区间为 5 ,3 2 ， 值域为 min 525 ( )( ) 22 f xf=-,12； （2） 2 2 3 268, 2 25 35 ( ), 222 5 210 , 2 ttt g tt tt t . 【解析】 【分析】 （1）求出函数 ( )f x的对称轴，根据二次函数的开口方向和对称轴即可判断； （2）讨论对称轴在区间的不同位置，即可根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】 （1）可知函数 2 210f xxx的对称轴为 5 2 x ，开口向上， ( )f x在区间-1, 5 2 x 上单调递减；( )f x在区间 5 ,3 2 上单调递增， min 525 (

19、 )( ) 22 f xf=-， max ( )( 1)12f xf=-=， 综上， ( )f x的单调递减区间为-1, 5 2 x ，单调递增区间为 5 ,3 2 ，值域为 min 525 ( )( ) 22 f xf=-,12； （2）( )f x对称轴为 5 2 x ，开口向上， 当 5 2 t 时，( )f x在 ,1t t 单调递增， 2 min ( )( )210f xf ttt=-， 当 5 1 2 tt ，即 35 22 t 时， min 525 ( )( ) 22 f xf=-， 当 5 1 2 t ， 即 3 2 t 时，( )f x在 ,1t t 单调递减， 2 min

20、( )(1)268f xf ttt=+=-， 综上， 2 2 3 268, 2 25 35 ( ), 222 5 210 , 2 ttt g tt tt t . 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，遇到含参数的最值问题时，注意讨论对称轴与区间的位 置关系. 20已知函数 21 0 1 x x f xm m ，且 3 2 5 f. （1）求m的值，并指出函数 yf x在R上的单调性（只需写出结论即可） ； （2）证明：函数 f x是奇函数； （3）若 2 230f mfm ，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）2， f x在R上为增函数； （2）证明见解析； （3） （3，1）. 【解析】

21、【分析】 （1）由 3 2 5 f，代入解析式，解方程求出m的值，利用指数函数的单调性即可求 解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断. （3）利用函数为奇函数，将不等式转化为 2 32f mfm，再利用函数为增函数 可得 2 32mm，解不等式即可求解. 【详解】 （1）因为 3 2 5 f，所以 2 2 213 15m ，即 2 4m ， 因为0m，所以2m. 函数 212 1 2121 x xx f x 在R上为增函数. （2）由（1）知 21 21 x x f x 定义域为, . 对任意,x ，都有 211 221 211 221 xxx xxx fxf x . 所以函数 f x是奇函

22、数， （3）不等式 2 230f mfm等价于 2 23f mfm ， 因为函数 f x是奇函数， 所以 2 32f mfm， 又因为函数 f x在R上为增函数， 所以 2 32mm，即 2 230mm . 解得 2 31m . 所以实数m的取值范围为（3，1）. 【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算 求解能力，属于基础题. 21已知二次函数 f x满足 1 21f xf xx且 00f， （1）求二次函数 f x的解析式 （2）求函数 ( ) 1 ( )( ) 2 f x g x 的单调增区间和值域 【答案】 （1） 2 2f xxx； （2

23、）单调递增区间是,1， g x的值域为0,2. 【解析】 【分析】 （1）依题意设 2 ( ),0f xaxbx a，代入已知等式，建立, a b方程关系，求解即可； （2）令( )tf x根据（1）求出 ( )f x单调区间，再由 1 2 t y 在R上单调递减，结合 复合函数的单调性，得出( )g x的单调区间，即可求出( )g x的值域. 【详解】 （1）由 00f，设 2 ( )f xaxbx 1221f xf xaxabx 221 12 aa abb 2 2f xxx （2）由（1）知 2 2 11 22 f xxx g x ， 令 2 2txx，则 1 2 t y ； 2 2txx

24、在 ,1递减，在1,递增； 1 2 t y 在R上是减函数， g x的单调递增区间是,1，单调递减区间是1,. 12g xg，由 0g x 所以 02g x，即 g x的值域为0,2 【点睛】 本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质 是解题的关键，属于中档题. 22已知函数 f（x）ax2+bx+c（a0） ，且 f（1） 2 a （1）求证：函数 f（x）有两个不同的零点； （2）设 x1，x2是函数 f（x）的两个不同的零点，求|x1x2|的取值范围； （3）求证：函数 f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点 【答案】 （1）证明见解析（2）2 ，

25、（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）通过计算一元二次方程的判别式可以证明出结论； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，可以得到|x1x2|的表达式，再利用配方法求 出取值范围； （3）根据零点存在原理，分类讨论证明出结论. 【详解】 （1） 1 2 a fabc ， 3 2 cab ， 2 3 2 f xaxbxab， 22222 3 464(2)2 2 baabbaababa ， a0， 0 恒成立， 故函数 f（x）有两个不同的零点 （2）由 x1，x2是函数 f（x）的两个不同的零点， 则 x1，x2是方程 f（x）0 的两个根 12 b xx a ， 12 3 2 b x x

26、 a ， |x1x2| 2 22 1212 2 3 ()44(2)22 2 bbb xxx x aaa |x1x2|的取值范围是 2 ， （3）证明：f（0）c，f（2）4a+2b+c， 由（1）知：3a+2b+2c0， f（2）ac （）当 c0 时，有 f（0）0，又a0， 1 10 2 f ， 函数 f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 （）当 c0 时，f（2）ac0，f（1）0， 函数 f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点 综上所述，函数 f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点 【点睛】 本题考查了一元二次方程的判别式、根与系数的关系的应用，考查了零点存在原理，考 查了数学运算能力.