2021年北师大版高一数学上学期期中测试卷（二）.docx

1、2020-2021 学年北师大版高一数学上学期期中测试卷（二） 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 评卷人 得分 一、单选题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知集合 2 |23Ax yxx， 3 |log2Bxx，则AB （ ） A1,3 B1,3 C0 3 , D0,3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数定义域求出| 13Axx ， 根据定义域和对数运算求出|09Bxx， 再求AB即可. 【详解】 对于集合A， 2 230 xx，解得13x ， 所以集合| 13Axx ， 对于集合B， 3 log2x ，解得0 9x， 所以集合|09Bxx， 所以|03ABxx. 故

2、选：C 【点睛】 本题主要考查集合的交集运算和不等式运算，属于基础题. 2已知幂函数 2 23 22 nn f xnnx (nZ)在0,上是减函数，则 n 的值为（ ） A3 B1 C1 D1 和3 【答案】B 【解析】 【分析】 先由函数是幂函数， 让其系为 1， 即 2 22 1 nn， 得到3n或1n ， 再分别讨论， 是否符合在 0, 上是减函数的条件. 【详解】 因为函数是幂函数 所以 2 221nn 所以3n或1n 当3n时 18 f xx在0,上是增函数，不合题意. 当1n 时 2 f xx在0,上是减函数，成立 故选：B 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了运算

3、求解的能力，属于基础题. 3已知函数 f（x）=x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则 Af（m）f（1） Df（m）与 f（1）大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数的定义域关于原点对称，列方程求得m的两个值，再根据定义域包括原点，排除其中一个值， 由此得到m的值和函数的解析式，进而得出正确的选项. 【详解】 因为幂函数 f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称， 所以（3m）+（m2m）=0，解得 m=1 或 m=3 当 m=1 时，函数 f（x）=x3，2x2，所以 f（m）=f（1）f（1） ； 当 m=3 时，函数 f（x）= 1 x ，在 x=0 时无

4、意义，不满足题意，舍去,故选 A 【点睛】 本小题主要考查奇函数和偶函数定义域关于原点对称，考查奇函数的定义域，属于基础题. 4下列哪一组函数相等（ ） A() = 与() = 2 B() = 2与() = ()4 C() = |与() = ()2 D() = 2与() = 6 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否相同，从而可求得结果. 【详解】 选项：()定义域为；()定义域为：*| 0+ 两函数不相等 选项：()定义域为；()定义域为：*| 0+ 两函数不相等 选项：()定义域为；()定义域为：*| 0+ 两函数不相等 选项：()与()

5、定义域均为，且() = 6 3 = 2= () 两函数相等 本题正确选项： 【点睛】 本题考查相等函数的判断，关键是明确两函数相等要求定义域和解析式都相同，属于基础题. 5已知 2 1,0 2 ,0 xx f x f xx ，则 1ff 的值为（ ） A-1 B0 C1 D2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分段函数解析式，由内到外，代入求值即可. 【详解】 因为 2 1,0 2 ,0 xx f x f xx ， 所以 1 ( 1)(0)1fff ff ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了分段函数求值，属于容易题. 6方程 2 0.90 21 x x的实数解的个数是（ ） A0 B1 C

6、2 D3 【答案】B 【解析】 【分析】 将方程的解转化为函数的交点个数，画出函数图像得到答案. 【详解】 2 0.90 21 x x的实数解的个数即函数0.9xy 的图像和直线 2 21 yx的交点个数. 数形结合求得0.9xy 的图像和直 2 21 yx的交点个数为 1 故选：B 【点睛】 本题考查了方程的解的个数问题，转化为函数的交点是解题的关键. 7函数 21 ( ) 1 x x e f x x e 的部分图象大致为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 f x的奇偶性和在0 x时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为 21 ( )

7、1 x x e f x x e 是偶函数，所以排除 A，C，当0 x时，( )0f x 恒成立，所以排除 D. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 8设 3 log 7a ， 1.1 2b ， 3.1 0.8c ，则 （ ） Abac Bacb Ccba Dcab 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指、对数的单调性直接将, ,a b c的范围求出来，然后再比较大小. 【详解】 因为 333 log 7(log 3,log 9)a ，所以(1,2)a； 1.1 22b ； 3.10 0.80.81c ； 所以cab， 故选 D. 【点睛】

8、指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小） ，单调性分析法（根据单调性直接写出范 围）. 9已知0a，且1a ，若函数 2 log21 a f xaxx 在 1 ,3 3 上是增函数，则实数a的取值范围为 （ ） A 1 0, 3 B3, C 1 0,1,3 3 D 1 0,3, 3 U 【答案】B 【解析】 【分析】 令 2 ( )21g xaxx，首先 ( )0g x在 1 ,3 3 上恒成立，求出a的范围，再根据a的范围确定内层函数 和外层函数的单调性，列不等式求解即可 【详解】 解：令 2 ( )21tg xaxx（0a，且1a ） ，则 ( )0g x在 1 ,3

9、3 上恒成立 11 3 2 10 93 a a 或 1 3 96 10 a a 或 11 3 3 12 10 a aa 解得：1a ， 所以外层函数 ( ) logaf xt=在定义域内是单调增函数， 若函数 2 log21 a f xaxx在 1 ,3 3 上是增函数， 则内层函数 2 21taxx在 1 ,3 3 上是增函数 11 3a ，且1a ， 解得3a， 实数a的取值范围为3,， 故选：B 【点睛】 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属 中档题 10已知函数 3 2 log 2 x f x x ,若 10f af a,则实数a

10、的取值范围是( ) A 1 , 2 B 1 1, 2 C2,2 D1,2 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算函数的定义域,再根据 3 2 log 2 x f x x 的单调性与奇偶性求解 10f af a即可. 【详解】 由题 3 2 log 2 x f x x 的定义域满足 2 0220 2 x xx x ,解得22x . 又 33 22 loglo 2 10g 2 xx f xfx xx ,故 f x 为奇函数. 又 33 24 loglog1 22 x f x xx ,且 4 2 y x 在2,2为减函数,故 4 1 2 y x 在2,2为 减函数.故 f x为减函数. 故 10f

11、af a即 11f af afa.所以 22 212 1 a a aa ,解得 1 1, 2 a . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,需要根据题意判断函数的奇偶性与单调性, 并结合定义域进行求解,属于中档题. 11下列函数的定义域均为0,，对于任意不相等的正数 1 x， 2 x，均有 1212 0f xf xxx 成立的函数有（ ） 2 f xx， 2 43f xxx， 2,0,1 1 ,(1,) x f x xx x A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】 性质 1212 0f xf xxx 说明函数是增函数，判断各函数的单调性判断即可 【

12、详解】 对于任意不相等的正数 1 x， 2 x，均有 1212 0f xf xxx ，( )f x在(0,)上是增函数 2 f xx在(0,)上是增函数； 2 43f xxx 2 (2)1x在 2, )是递增，在(0,)上也递增； 2,0,1 1 ,(1,) x f x xx x ，由对勾函数知 ( )f x在(1,)上是增函数，但在(0,1上函数( )2f x 是 常数函数，不满足单调性定义因此 ( )f x在(0,)上不是增函数 只有满足 故选：A. 【点睛】 本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键注意单调性定义的变化形式，如 1212 0f xf xxx 或者 12 12 ()

13、() 0 f xf x xx 都揭示函数是增函数，同样 1212 0f xf xxx 或者 12 12 ()() 0 f xf x xx 都揭示函数是减函数 12已知函数 3 56,4, 2,4. x a xax f x ax ，且 f x是单调递增函数，则实数a的取值范围是（） A 14 ,5 5 B 14 ,5 5 C2,5 D1,5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数以及一次函数的图像与性质求出 a 的范围即可 【详解】 解：由 f x是单调递增函数，可知： 50 1 4 562 a a aaa ， 解得： 14 a5 5 故选：A 【点睛】 本题考查分段函数的图像与性质，考查

14、函数的单调性，注意分界点处函数值的关系. 评卷人 得分 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数( )ln1f xxx的定义域为_ 【答案】x0 x1 【解析】 【分析】 【详解】 【考点】函数的定义域及其求法. 0 01 10 x x x 由题意得不等式组解得 14若二次函数 2 f xmxxm在区间,l上是单调増函数，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 1 ,0 2 【解析】 【分析】 由单调性可知函数开口方向向下，对称轴大于等于1，求解得到结果. 【详解】 函数 f x为二次函数 0m 函数 2 f xmxxm 在区间,1上是单调増函数 0 1 1 2 m m

15、 ，解得 1 0 2 m 实数m的取值范围是 1 ,0 2 本题正确结果： 1 ,0 2 【点睛】 本题考查利用单调性求解参数范围问题，解题关键是明确二次函数单调性是由开口方向和对称轴决定的. 15已知 f x是奇函数，当0 x时， 2axf x ，若 2 log 39f ，则a_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意结合奇函数的性质可得 2 log 3 29 a ，再由对数的运算性质即可得解. 【详解】 因为 f x是奇函数，当0 x时， 2axf x ， 2 log 30， 所以 2 log 3 22 log 3log 329 a ff，即 2 log 3 29 a ， 所以 2 log

16、 3 239 a a ，解得2a. 故答案为：2. 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的应用，考查了对数运算性质的应用及运算求解能力，属于基础题. 16函数 2 2f xxxb的零点均是正数，则实数 b 的取值范围是_. 【答案】0,1 【解析】 【分析】 将问题转化为方程 2 20 xxb的根都是正根的问题，利用韦达定理即可处理. 【详解】 因为函数 2 2f xxxb的零点均是正数， 故方程 2 20 xxb的根都是正根， 故当4 40b 时，需满足0b 解得01b. 当4 40b 时，解得1b，此时方程为 2 10 x， 方程的根10 x 满足题意. 综上所述：0,1b. 故答案为：0,1.

17、 【点睛】 本题考查根据二次函数零点的情况求参数范围，涉及一元二次方程根的分布，属综合基础题. 评卷人 得分 三、解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分) 17已知集合 |2 3| 7Mxx， |121Nx axa . （1）若2a，求 R MNI； （2）若MNM，求实数 a 的取值范围. 【答案】 （1）| 23xx （2）2a 【解析】 【分析】 （1）2a时，求出集合,M N，进而可求得 R MNI； （2）MNM，得NM，分N ，N 讨论，列关于a的不等式解出来即可. 【详解】 （1）2a时， | 25Mxx ， |35Nxx， |35 RN

18、 x xx或. 所以()| 23 R MNxx ， （2）MNM，NM， 若N 时，1 21aa ，解得0a ，符合题意； 若N 时， 121 215 12 aa a a ，解得02a. 综合可得以2a. 【点睛】 本题考查集合的运算，注意不要遗漏当MNM时，N 的情况，是基础题. 18计算： （1） 12 23 02 13 2( 9.6)3(1.5) 48 ； （2） lg2 3 2 log 9lglg4 10 5 【答案】 （1） 1 2 （2）-1 【解析】 【分析】 （1）对指数幂化简整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数运算法则和对数恒等式，即可得出结论. 【详解】

19、解： （1） 12 23 02 13 2( 9.6)3(1.5) 48 21 32 2 32 322 ( )1 ( )( ) 233 3441 1 2992 . （2） lg2 3 2 log 9lglg4 10 5 2lg2lg52lg22 (lg2lg5)1 【点睛】 本题考查分数指数幂、对数的运算，熟记计算公式，属于基础题. 19已知函数 1 ( ) 41 x f xa 是R上的奇函数. （1）先求常数a的值再求 ( ) 1f.（2）判断并用定义证明函数 ( )f x单调性. 【答案】 （1） 1 2 a ， 3 ( 1 1) 0 f ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先由

20、(0)0f求出a的值，进而求出函数 ( )f x的解析式即可求出 ( ) 1f ； （2）利用单调性的定义证明 即可. 【详解】 （1） 因为 1 ( ) 41 x f xa 是R上的奇函数， 所以 1 (0)0 2 af， 即 1 2 a ， 此时 11 42 ( 1 ) x f x ， 则 3 ( 1 1) 0 f ； （2）函数( )f x在R上单调递减，任取 1 x、 2 xR，且 12 xx，则 21 12 12 12 1144 ( ) 414141 41 xx xx xx f xf x ，易知 21 12 44 0 41 41 xx xx ，所以 12 0f xf x，即 12 f

21、 xf x，所以函数( )f x在R上单调递减. 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数的值、函数的求值、利用定义证明函数 ( )f x单调性等问题，试题 综合性强，属常规考题. 20已知函数 1 11 ( ) 32 x f x . (1)作出函数 ( )f x的图象,并写出其单调区间； (2)若关于x的方程 ( )f xm 有一正一负两个实根,求实数m的取值范围. 【答案】 （1）递增区间, 1 ，递减区间1, （2） 11 (,) 26 . 【解析】 【分析】 （1）把函数的解析式，分类讨论去掉绝对值，得到分段函数，作出函数的图象，结合图象，即可求解函数 的单调区间； （2）转化成

22、关于x的方程 f xm有一正一负两个实根，即函数 yf x与直线y m 有 2 个交点，且 两个交点位于y轴的两侧，结合函数的图象，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数可化为 1 11 ( ) 32 x f x ， 可得，当1x 时， 1 11 ( )( ) 32 x f x ，当1x时 1 1 ( )3 2 x f x ， 其图象如图所示： 结合图象可得，函数 f x的递增区间为(, 1 ，递减区间为 1,) . （2）根据题意，函数 1 11 ( ) 32 x fx ，则 111 0 326 f ， 若关于x的方程 ( )f xm 有一正一负两个实根， 即函数 yf x与直线y m 有

23、 2 个交点，且两个交点位于y轴的两侧， 结合函数的图象可得 11 26 m ， 求实数m的取值范围 11 (,) 26 . 【点睛】 本题主要考查了分段函数的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的解析式，准确作出 函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 21设函数 ( )f x与( )g x的定义域都是 |x xR 且1x , ( )f x是奇函数, ( )g x是偶函数,且 1 ( )( ) 1 f xg x x . （1）求 ( )f x和( )g x的解析式； （2）求 1111 (2)(3)(4)(5) 5432

24、gggggggg 的值. 【答案】 （1） 2 1 x fx x ， 2 1 1 g x x ； （2）4 【解析】 【分析】 （1）将 x 代入 1 ( )( ) 1 f xg x x ，根据函数的奇偶性，化简求得 f x和 g x的解析式. （2）计算出 1 1gg x x ，由此求得所求表达式的值. 【详解】 （1）依题意 1 ( )( ) 1 f xg x x ，将 x 代入得 1 ()() 1 fxgx x ，由于 ( )f x是奇函数, ( )g x 是偶函数，所以 1 ( )( ) 1 f xg x x . +得 11 2 11 g x xx ，所以 2 1111 2111 g

25、x xxx .-得 11 2 11 f x xx ，所以 2 1 x fx x . （2）由（1）得 2 1 1 g x x ，所以 22 111 1 1 1 1 gg x xx x ，所以 1111 (2)(3)(4)(5)4 5432 gggggggg . 【点睛】 本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，考查函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基 础题. 22设 f x是定义在R上的奇函数，且当 0 x时， 2 f xx. （）求函数 f x的解析式； （）若对任意的,2xa a，不等式 2f xaf x恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （） 2 2 ,0 ,0 xx f

26、x xx （）2, 【解析】 【分析】 （）先由函数奇偶性得 00f；再设0 x，则0 x ，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质， 即可求出结果； （）先由题意，将不等式化为2f xafx，再由函数单调性，得到 2xax ，推出 21ax，求出 max 21 x ，即可得出结果. 【详解】 （）由题意知， 00f. 设0 x，则0 x ，故 2 2 fxxx ， 又因为 f x是奇函数，故 2 f xfxx， 所以 2 2 ,0 ,0 xx f x xx . （）由 2 2 22xx，不等式 2f xaf x，等价于 2f xafx， 因为 2 2 ,0 ,0 xx f x xx ，所以其在R上是增函数， 2xax ，即21ax， ,2xa a，当2xa时， max 21221xa ， 得 2a ，故实数a的取值范围是2, . 【点睛】 本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念 即可，属于常考题型.