《信号与系统分析》课件第2章.ppt

1、第第2章连续时间信号与系统章连续时间信号与系统的时域分析的时域分析 2.1常用信号及信号的基本运算2.2单位阶跃信号和单位冲激信号2.3连续系统及其描述2.4连续系统的零输入响应2.5冲激响应和阶跃响应2.6连续系统的零状态响应卷积积分2.7连续系统的时域分析2.1常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算 2.1.1常用信号常用信号1.实指数信号实指数信号实指数信号的表示式为f(t)=Keat (2-1)式中，a、K为实数。2.正弦信号正弦信号正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差，通常统称为正弦信号，一般写做f(t)=K sin(t+)(2-2)式中，K为振幅，为角频率，为初相位。正弦

2、信号和余弦信号常借助复指数信号来表示。由欧拉公式可知 2ejt=cos(t)+jsin(t)e-jt=cos(t)-jsin(t)则有(2-3)(2-4)这是以后经常要用到的两对关系式。)e(ej21)sin(jjttt)e(e21)sin(jjttt3.复指数信号复指数信号如果指数信号的指数因子为一复数，则称之为复指数信号，其表示式为f(t)=Kest(2-5)其中s=+j式中，为复数s的实部，为其虚部。借助欧拉公式将式(2-5)展开，可得Kest=Ke(+j)t=Ketcos(t)+jKetsin(t)(2-6)4.Sa(t)信号信号(抽样信号抽样信号)Sa(t)函数即Sa(t)信号，是指

3、sint与t之比构成的函数，它的定义为(2-7)Sa(t)函数的波形如图2-1所示。我们注意到，它是一个偶函数，在t的正、负方向振幅都逐渐衰减，当t=，2，n时，函数值等于零。4.Sa(t)信号信号(抽样信号抽样信号)Sa(t)函数即Sa(t)信号，是指sint与t之比构成的函数，它的定义为(2-7)Sa(t)函数的波形如图2-1所示。我们注意到，它是一个偶函数，在t的正、负方向振幅都逐渐衰减，当t=，2，n时，函数值等于零。tttSasin)(图2-1 Sa(t)函数Sa(t)函数还具有以下性质：02d)(Satt0d)(Satt(2-8)(2-9)2.1.2信号的基本运算信号的基本运算1.

4、相加和相乘相加和相乘信号相加是指若干信号之和，表示为f(t)=f1(t)+f2(t)+fn(t)(2-10)其相加规则是：同一瞬时各信号的函数值相加构成和信号在这一时刻的瞬时值。信号相乘是指若干信号之积，表示为f(t)=f1(t)f2(t)fn(t)(2-11)其相乘规则是：同一瞬时各信号的函数值相乘构成积信号在这一时刻的瞬时值。【例2-1】已知两信号 和f2(t)=-sint求f1(t)+f2(t)和f1(t)f2(t)的表达式。解解当然，也可以通过波形来进行信号的相加和相乘。ttttf ,sin ,0)(1ttttftf,00,sin)()(21ttttftf,sin0,0)()(212.

5、微分和积分微分和积分信号f(t)的微分是指信号对时间的导数，表示为信号f(t)的积分是指信号在区间(-,t)上的积分，表示为(2-13)(d)(d)(tfttfty(2-12)tfxfd)()(13.平移平移信号的平移是指将信号f(t)变化为信号f(tt0)(t00)的运算。若为f(t+t0)，表示信号f(t)沿t轴负方向平移t0时间；若为f(t-t0)，表示信号f(t)沿t轴正方向平移t0时间。【例2-2】已知 ，波形如图2-2(a)所示，求f(t+1)，f(t-1)。10 ,1)(02 ),2(21)(tttttf解解用(t+1)代替t，有 110 ,)11(012 ),21(21)1(t

6、ttttf有 01 ,13 ),3(21)1(tttttf相应的波形如图2-2(b)所示(超前)。同理，f(t-1)如图2-2(c)所示(滞后)。4.反折反折信号的反折是指信号f(t)变化为f(-t)的运算。从几何意义上看，即是将f(t)以纵轴为对称轴作180翻转。【例2-3】已知 ，相应的波形如图2-3(a)所示，求f(-t)。其他 ,0012 ),2(31)(tttf解解其他 ,021 ),2(31)(tttf，相应的波形如图2-3(b)所示。图2-3【例2-3】图5.尺度变换尺度变换信号的尺度变换是指将信号f(t)变化为f(at)(a0)的运算。若0a1，则将f(t)沿横坐标轴压缩至 。

7、a1a1【例2-4】已知，相应的波形如图2-4(a)所示，求f(2t)和。其他 ,020 ,)(tttf)21(tf解解 其他 ,010 ,2)2(tttf，相应的波形如图2-4(b)所示。其他 ,010 ,2)2(tttf，相应的波形如图2-4(c)所示。可见，时移、反折、展缩都是用一个新的时间变量去代换原来的时间变量。图2-4【例2-4】图【例2-5】己知，相应的波形如图2-5(b)所示，求f(2t-1),。其他 ,010 ,2202 ,2)(tttttf)121(tf解解 其他 ,021 ),2(211 ,1)1(tttttf相应的波形如图2-5(b)所示。将f(t-1)压缩，用2t代替

8、t，有其他 ,0121 ),1(42121 ,12)12(tttttf相应的波形如图2-5(c)所示。将f(t-1)扩展，用代替t，有 t21其他 ,042 ,422 ,121)12(tttttf相应的波形如图2-5(d)所示。图2-5【例2-5】图【例例2-6】已知信号f(2-2t)的波形如图2-6所示，求f(t)。解解f(2-2t)是信号f(t)经时移、反折和展缩后所得的信号，可以用六种方法获得f(t)，其过程和波形如图2-6所示。我们知道，信号有数学表达式和波形两种描述形式。上面所介绍的平移、反折、尺度变换三种运算，既可以用新时间变量替换原变量t，直接写出数学表达式，又可以利用波形进行变

9、换。从上面例题可以看出，利用信号的波形进行运算，更加直观一些。图2-6【例2-6】图2.1.3常用信号及其运算的常用信号及其运算的MATLAB实现实现MATLAB提供了一系列用于表示基本信号的函数，包括square(周期方波)、sawtooth(周期锯齿波)、rectpuls(非周期矩形脉冲)、tripuls(非周期三角脉冲)、exp(指数信号)、sinc(抽样函数)和sin/cos(正、余弦信号)等。下面给出一些例子来说明它们的用法。1.周期方波周期方波周期方波信号在MATLAB中用square表示，其调用形式为y=square(t,duty)用以产生个幅度为1，周期为2的方波。参数duty

10、用于指定非负值的波形在一个周期中所占的百分比，如果调用时不含参数duty，则duty默认为50。下面的代码产生一个周期为1、幅度为0.5的方波，如图2-7所示。t=-3:0.01:3;y=0.5*square(2*pi*t);plot(t,y);axis(-3.5KG*23.5KG*2-0.8KG*20.8);2.抽样函数抽样函数Sa(t)抽样函数Sa(t)在MATLAB中用sinc函数表示，定义为 tttttc,)sin(0 ,1)(sin图2-7周期方波的波形其调用形式为y=sinc(t)下面的代码产生抽样函数Sa(t)，波形如图2-8所示。t=linspace(-4*pi,4*pi,50

11、0);y=sinc*(t/pi);plot(t,y);其他信号的产生可以参看以上的各个函数，各个函数的具体用法可以通过“help函数名”获得，产生这些信号的代码与上述两例相似。图2-8sinc(t)的波形 3.信号基本运算的信号基本运算的MATLAB实现实现利用MATLAB可以方便地实现对信号的尺度变换、翻转和平移运算，并可方便地用图形表示。【例2-7】对图2-9(a)所示的三角波f(t)，试用MATLAB画出f(2t)和的波形。解解实现f(2t)与的代码如下：)(1tf)(1tf%program ch2_7t=-3:0.01:3;y=tripuls(t,4,0.6);subplot(2,1,

12、1);plot(t,y);title(f(t);xlabel(a);y1=tripuls(2*t,4,0.6);subplot(2,2,3);plot(t,y1);title(f(2t);xlable(b);t1=2-2*t;y2=tripuls(1-0.5*t1),4,0.6);subplot(2,2,4);plot(t1,y2);title(f(1-0.5t);xlabel(c);所得波形如图2-9(b)、(c)所示。图2-9信号尺度变换的示例【例2-8】用MATLAB实现【例2-1】的运算。解解实现代码如下：%program ch2-8cleart=-100:0.01:100;u=(t=

13、0);f1=sin(t)*u;f2=-sin(t);f3=f1+f2;f4=f1*f2;figure;subplot(2,2,1);%f1(t)的波形plot(t,f1);ylabel(f1(t);subplot(2,2,2);%f2(t)的波形plot(t,f2);ylabel(f2(t);subplot(2,2,3);%f1(t)+f2(t)的波形plot(t,f3);ylabel(f1(t)+f2(t);subplot(2,2,4);%f1(t)*f2(t)的波形 plot(t,f4);ylabel(f1(t)*f2(t);运行结果如图2-10所示。图2-10【例2-8】运行结果【例2-

14、9】用MATLAB实现【例2-3】的波形变换。解解实现代码如下：%program ch2-9clear;t=-3:0.01:3;f=1/3*(t+2).*rectpuls(t+0.5,3);t1=-fliplr(t);f1=fliplr(f);figure;subplot(2,1,1);%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(f(t);axis(-3,3,0,2);subplot(2,1,2);%反折的波形plot(t1,f1);ylabel(f(-t);axis(-3,3,0,2);运行结果如图 2-11所示。图2-11【例2-9】运行结果【例2-10】用MATLAB实现【例2-4

15、】的波形变换。解解实现代码如下：%program ch2-10clear;t=-1:0.01:3;f=t.*rectpuls(t-1,2);t1=t/2;t2=2*t;figure;subplot(3,1,1);%f(t)的波形plot(t,f);ylabel(f(t);axis(-1,5,0,3);subplot(3,1,2);%压缩至原来的1/2倍的波形plot(t1,f);ylabel(f(2t);axis(-1,5,0,3);subplot(3,1,3);%展宽至原来的2倍的波形plot(t2,f);ylabel(f(t/2);axis(-1,5,0,3);运行结果如图2-12所示。图

16、2-12【例2-10】运行结果【例2-11】用MATLAB实现【例2-5】的波形变换。解解实现代码如下：%program ch2-11clear;t=-3:0.01:3;f1=(t+2).*rectpuls(t+1,2);f2=(-2*t+2).*rectpuls(t-0.5,1);f=f1+f2;t1=t+1;t2=t1/2;t3=2*t1;subplot(4,1,1);plot(t,f);ylabel(f(t);axis(-3,5,0,3);subplot(4,1,2);plot(t1,f);ylabel(f(t-1);axis(-3,5,0,3);subplot(4,1,3);plot(

17、t2,f);ylabel(f(2t-1);axis(-3,5,0,3);subplot(4,1,4);plot(t3,f);ylabel(f(t/2-1);axis(-3,5,0,3);运行结果如图 2-13所示。图2-13【例2-11】运行结果【例2-12】用MATLAB实现【例2-6】的波形变换。解实现代码如下：%program ch2-12clear;t=-3:0.01:3;f1=2*t.*rectpuls(t-0.5,1);f2=(-t+2).*rectpuls(t-1.5,1);f=f1+f2;t1=2*t;t2=-t1;t3=t2+2;subplot(4,1,1);%f(2-2t)

18、的波形plot(t,f);ylabel(f(2-2t);axis(-4,5,0,3);subplot(4,1,2);%展宽为原来的2倍，即f(2-t)plot(t1,f);ylabel(f(2-t);axis(-4,5,0,3);subplot(4,1,3);%反折，即f(t+2)plot(t2,f);ylabel(f(t+2);axis(-4,5,0,3);subplot(4,1,4);%时移2位，即f(t)plot(t3,f);ylabel(f(t);axis(-4,5,0,3);运行结果如图2-14所示。图2-14【例2-12】运行结果2.2单位阶跃信号和单位冲激信号单位阶跃信号和单位冲

19、激信号 2.2.1单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号(简称阶跃信号)用符号U(t)表示，其定义为(2-14)其波形如图2-15所示。在分析电路时，单位阶跃信号实际上就表示从t=0+开始作用的大小为一个单位的电压或电流。tttU,1,)(利用阶跃信号U(t)，我们很容易表示脉冲信号的存在时间，如图2-16中所示的矩形脉冲信号g(t)，可以用阶跃信号表示为)2()2()(tUtUtg图2-15阶跃信号图2-16矩形脉冲信号由于阶跃信号鲜明地表现出信号的“单边”特性，通常将t0之后才有非零函数值的信号称为因果信号，如f1(t)=sintU(t)f2(t)=e-tU(t)-U(t-t0)其波形如图2

20、-17所示。可见，阶跃信号也经常用来表示信号的时间取值范围。图2-17因果信号【例2-13】用阶跃信号表示信号f(t)。已知f(t)为 解为直观起见，画出f(t)的波形如图2-18所示。为了用阶跃信号表示信号f(t)，我们将每一段用阶跃信号表达，之后相加就得到信号f(t)。第段为-0.5tU(-t-2)第段为2U(t+2)-U(t-1)第段为U(t-1)-U(t-2)第段为(3-t)U(t-2)-U(t-3)所以f(t)=-0.5tU(-t-2)+2U(t+2)-U(t-1)+U(t-1)-U(t-2)+(3-t)U(t-2)-U(t-3)整理得f(t)=-0.5tU(-t-2)+2U(t+2

21、)-U(t-1)+(2-t)U(t-2)-(3-t)U(t-3)读者不妨用信号的加法和乘法运算检验上式信号f(t)的阶跃信号表达式是否与其波形一致。2.2.2单位冲激信号单位冲激信号单位冲激信号（简称冲激信号）(t)定义为(2-16)如图2-19所示，它是狄拉克(Dirac)最初提出并定义的，所以又称狄拉克函数(Dirac Delta Function)。式(2-16)表示集中在t=0、面积为1的冲激，这是工程上的定义，由于它不是普通函数，因此从严格的数学意义来说，它是一个颇为复杂的概念。然而为了应用，并不强调其数学上的严谨性，而只强调运算方便。实际上，在取极限时，在整个横坐标轴上曲线面积恒为

22、定值的函数，都可用来做冲激信号的定义。2.2.3冲激信号的性质冲激信号的性质1.冲激信号与阶跃信号的关系冲激信号与阶跃信号的关系由于故(2-17)即(2-18)(2-19)同样，由于 所以(2-20)(2-21)式中(t-t0)是集中在t0的面积为1的冲激。2.与普通信号相乘与普通信号相乘如果信号f(t)是一个连续的普通函数，则有f(t)(t-t0)=f(t0)(t-t0)(2-22)上式表明，连续信号f(t)与冲激信号相乘，只有t=t0时的样本值f(t0)才对冲激信号有影响，也即筛选出信号在t=t0处的函数值。所以，这个性质也叫筛选特性，如图2-20所示。图220冲激信号的筛选特性同样条件下

23、，还有取样特性，即(2-23)3.尺度变换特性尺度变换特性(2-24)由尺度变换特性可得出以下推论：(-t)=(t),a=-1 (2-25)上式说明，(t)是一个偶函数。(2-26)【例2-14】求下列积分。所以 另外，我们通常称(t)的一阶导数(t)为二次冲激（或叫冲激偶），对于(t)信号的各阶导数是不能用常规方法来求的，在此不进行深入讨论。2.2.4阶跃信号和冲激信号的阶跃信号和冲激信号的MATLAB表示表示1.阶跃信号阶跃信号阶跃信号的表达式为在数值计算中可以根据阶跃信号的定义来描述信号，在符号运算中则使用Heaviside函数定义阶跃信号的符号表达式。【例2-15】绘制阶跃信号u(t)

24、的波形。解如果只需要绘制阶跃信号的波形，可以用行向量写出信号对应点的数值，MATLAB程序如下：%program ch2-15t=-1:0.1:0;x1=zeros(1,length(t1);t2=0:0.1:3;x2=ones(1,length(t2);t=t1,t2;ut=x1,x2;plot(t,ut)xlabel(t);ylabel(u(t);axis(-1 3-0.2 1.2);画出的波形如图2-21所示。图2-21【例2-15】图根据阶跃信号的定义，用关系运算符“=”描述信号的MATLAB程序如下：t=-1:0.01:3;y=(t=0);plot(t,y)xlabcl(t);yla

25、bel(u(t);axis(-1KG*23KG*2-0.2KG*21.2);运行结果如图2-22所示。图2-22阶跃信号在这个程序中，语句“y=(t=0)”的返回值是由“0”和“1”组成的向量。当t0时，返回值为“1”；当t=0);如果用符号运算的方法，MATLAB程序如下：ut=sym(Heaviside(t);ezplot(ut,-1,3)这个程序画出的波形如图2-22所示。2.冲激信号冲激信号单位冲激信号的定义式为 在MATLAB中无法画出冲激信号的图形。在符号运算中用Dirac函数定义冲激信号。【例2-16】用MATLAB求解【例2-13】。解求解的代码如下：%program ch2-

26、16clear;t=-5:0.01:5;u=(tm时，h(t)可以表示为(2-30)式中待定系数Ci(i=1,2,，n)可以采用冲激平衡法确定，即将式（2-30）代入式（2-29）中，为保持系统对应的动态方程式恒等，方程式两边所具有的冲激信号及其高阶导数相等，根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)中的待定系数。在nm时，要使方程两边所具有的冲激信号及其高阶导数相等，则h(t)表示式中还应含有(t)及其各阶导数(m-n)(t),(m-n-1)(t),，(t)等项。下面举例说明冲激响应的求解。【例2-21】已知某系统的微分方程为y(t)+2y(t)=f(t)求该系统的冲激响应h(t)。解由冲激响

27、应的定义有h(t)+2h(t)=(t)和h(0-)=0当t0+时，h(t)+2h(t)=0所以h(t)=Ce-2tU(t)(U(t)表示取t0+)将式代入h(t)的微分方程中有-2Ce-2tU(t)+Ce-2t(t)+2Ce-2tU(t)=(t)为了保持方程恒等，利用冲激平衡法，则有C=1所以h(t)=e-2tU(t)【例2-22】某LTI系统如图2-29所示，求该系统的冲激响应。图2-29【例2-22】的系统框图解 由该系统框图可以求得该系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)对h(t)，微分方程为h(t)+3h(t)+2h(t)=-(t)+2(t)当t0+时

28、有h(t)+3h(t)+2h(t)=0所以h(t)为h(t)=(C1e-t+C2e-2t)U(t)将上式微分有h(t)=(-C1e-t-2C2e-2t)U(t)+(C1+C2)(t)再微分一次有h(t)=(C1e-t+4C2e-2t)U(t)+(-C1-2C2)(t)+(C1+C2)(t)将h(t),h(t)和h(t)代入h(t)的微分方程中得(C1e-t+4C2e-2t)U(t)+(-C1-2C2)(t)+(C1+C2)(t)+3(-C1e-t-2C2e-2t)U(t)+3(C1+C2)(t)+2(C1e-t+C2e-2t)U(t)=-(t)+2(t)为了使方程平衡，利用冲激平衡法，则有解之

29、得C1=3C2=-4所以h(t)=(3e-t-4e-2t)U(t)【例2-23】如图2-30所示RC电路，已知uC(0-)=0,以电流i(t)为响应，求系统的冲激响应。图2-30【例2-23】图解由KVL写出f(t)与i(t)之间关系的方程为 两边微分并整理得i(t)+i(t)=2f(t)对冲激响应h(t)有h(t)+h(t)=2(t)h(0-)=0 从式可知，要使方程两端恒等，h(t)中必然含有冲激信号(t)项，即设h(t)=C1e-tU(t)+C2(t),将之代入h(t)的方程中有-C1e-tU(t)+C1(t)+C2(t)+C1e-tU(t)+C2(t)=2(t)根据冲激平衡法有解之得C

30、1=-2C2=2所以系统的冲激响应为h(t)=-2e-tU(t)+2(t)20221CCC2.5.2冲激响应和阶跃响应的冲激响应和阶跃响应的MATLAB实现实现MATLAB用于求解连续时间系统冲激响应的函数是impulse，求阶跃响应的函数为step，它们的一般调用方式为h=impulse(sys,t)g=step(sys,t)式中，t表示计算系统响应的时间抽样点向量，sys是LTI系统的模型，由函数tf,zpk或ss产生，多数情况下，我们已知系统的微分方程或系统函数，此时sys由tf产生，调用方式为sys=tf(num,den)其中，num和den分别为微分方程右端和左端的系数向量，例如，一

31、个二阶微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+f(t),则num和den分别为num=2 0 1，den=1 3 2。如果已知系统函数，则num和den分别是其分子、分母多项式按降幂排列的系数向量。【例2-24】已知一个LIT系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t),用MATLAB求系统的冲激响应和阶跃响应，并利用绘图与理论计算相比较。解 容易求得这个系统的单位冲激响应和阶跃响应的表达式(理论值)分别为求h(t)和g(t)并进行比较的MATLAB代码如下&program ch2-24sys=tf(1,1 3 2);t=0:0.1:6;ht=impulse(sy

32、s,t);gt=step(sys,t);ha=exp(-t)-exp(-2*t);%理论值ga=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);subplot(1,2,1);legend(ht,ha,location,northeast)plot(t,ht,-,t,ha,-.);legend(h(t)by matlab,h(t)by theoretically,location,northeast);xlabel(a);title(impulse response);subplot(1,2,2);plot(t,gt,-,t,ga,-.);legend(g(t)by matlab,g(t)b

33、y theoretically,location,northwest);xlabel(b);title(step response);程序运行后的结果如图2-31(a)，(b)所示，由图可知，MATLAB计算结果与理论值一致。图2-31【例2-24】图【例2-25】用MATLAB求解【例2-21】，并利用绘图与理论计算相比较。解求解的代码如下：%program ch2-25clearsys=tf(1,1,2);t=0:0.01:10;ht=impulse(sys,t);u=(t=0);z=exp(-2*t).*u;figure;subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend(

34、h(t)by matlab);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;subplot(2,1,2);%理论值 plot(t,z);legend(h(t)by theoretically);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;运行结果如图2-32所示。图2-32【例2-25】运行结果【例2-26】用MATLAB求解【例2-22】，并利用绘图与理论计算相比较。解求解的代码如下：%program ch2-26clearsys=tf(-1,2,1,3,2);t=0:0.01:10;ht=impulse(sys,t);u=(t=0);z=(3*ex

35、p(-t)-4*exp(-2*t).*u;subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend(h(t)by matlab);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;subplot(2,1,2);%理论值 plot(t,z);legend(h(t)by theoretically);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;运行结果如图2-33所示。图2-33【例2-26】运行结果【例2-27】用MATLAB求解【例2-23】,并利用绘图与理论计算相比较。解求解的代码如下：%program ch2-27clearsys=tf(2,0

36、,1,1);t=0:0.01:10;ht=impulse(sys,t);u=(t=0);z=-2*(exp(-t).*u;subplot(2,1,1);plot(t,ht);legend(h(t)by matlab);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;subplot(2,1,2);%理论值 plot(t,z);legend(h(t)by theoretically);xlabel(t);ylabel(h(t);axis tight;运行结果如图2-34所示。图2-34【例2-27】运行结果2.6连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应卷积积分卷积积分 2.6.1

37、卷积积分卷积积分任意信号f(t)都可以根据不同需要进行不同的分解。如信号f(t)可分解为直流分量和交流分量，也可分解为奇分量和偶分量，或分解为实部分量和虚部分量。我们在此讨论的是将信号f(t)分解为冲激信号的线性组合。下面以图2-35说明这种分解方法。图2-35有始信号分解为冲激信号的叠加由图2-35(a)可见，任意信号f(t)都可分解为矩形窄脉冲信号的叠加，即f(t)f1(t)+f2(t)+fk(t)(2-31)其中 f1(t)=f(0)U(t)-U(t-)f2(t)=f()U(t-)-U(t-)fk(t)=f(k)U(t-k)-U(t-(k+1)用求和式表达为当0时，上式就可以完全表示信号

38、f(t)了。这时k,d，且有所以f(t)为(2-33)式(2-33)表明任意信号f(t)可以分解为一系列具有不同强度、不同时延的冲激信号的叠加，如图2-35(b)所示，这样的过程称为卷积积分，符号记为“*”。当式(2-33)中k可取-+时，即信号f(t)是双边信号时，f(t)可表示为(2-34)将信号f(t)分解为冲激信号的线性组合之后，我们就可以讨论当信号f(t)通过一LTI系统时产生的零状态响应了。设(t)h(t)，由式(2-33)及LTI系统的特性有f(k)(t-k)f(k)h(t-k)当0时有 即f(t)产生的零状态响应yf(t)为式（2-35）表明，一个连续系统的零状态响应是激励信号

39、与系统冲激响应的卷积积分。可见，有了卷积积分，就有了求解系统零状态响应的新方法。这种利用卷积积分求零状态响应的方法是系统时域分析中主要使用的方法。(2-35)【例2-28】已知某LTI系统的冲激响应h(t)=e-tU(t)。若输入为f(t)=U(t)，试求其输出。解这里的输出指零状态响应yf(t)。这里计算卷积积分时，考虑到U(t)的定义，所以U()中的必取0,U(t-)中的必取t，这样的取值范围就是00，故加写U(t)。【例2-29】已知f1(t)=e-3tU(t),f2(t)=e-5tU(t),计算f1(t)*f2(t)。解 根据卷积积分定义，有 2.6.2卷积积分的图解法卷积积分的图解法

40、卷积积分除了用定义直接计算之外，还可以用图解的方法计算。用图解法计算更能直观地理解卷积积分的计算过程。由卷积积分的定义知，要用图解法计算卷积积分f(t)*h(t)，一般按照下面的步骤进行：(1)将f(t)和h(t)的自变量t。(2)反折，将h()绕纵坐标反折得h(-)。(3)时移，将h(-)沿轴移动某一时刻t1得h(t1-)。(4)相乘，将时移后的h(t1-)乘以f()得f()h(t1-)。(5)积分，沿轴对上述乘积信号f()h(t1-)进行积分，即其值 yf(t1)正是t1时刻f()h(t1-)曲线下的面积。(6)以t为变量，将波形h(t-)连续地沿轴平移，从而得到在任意时刻t的卷积积分，即

41、,它是时间t的函数。【例2-30】已知f1(t)和f2(t)如图2-36所示，用图解法求f1(t)*f2(t)。图2-36f1(t)和f2(t)的波形解当t当-从+改变时，f2(t-)自左向右平移，对应不同的t值范围，f2(t-)与f1()相乘、积分的结果如下，相应的波形如图2-37所示。图2-37【例2-30】的波形图通过上例分析,可以得到如下结论:(1)积分上下限是两信号重叠部分的边界,下限为两信号左边界的最大者,上限为两信号右边界的最小者。(2)卷积后信号的时限等于两信号时限之和。2.6.3卷积积分的性质卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有一些重要的运算规则。灵活运用这些规则可以简

42、化计算过程。1.卷积积分的代数律卷积积分的代数律(1)交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2-36)若将f1(t)看成系统的激励，而将f2(t)看成是一个系统的单位冲激响应，则卷积的结果就是该系统对f1(t)的零状态响应。卷积的交换律说明，也可将f2(t)看成系统的激励，而将f1(t)看成是系统的单位冲激响应，即图2-38(a)、(b)所示两个系统的零状态响应是一样的。图2-38卷积交换律的图示从图2-38可见，信号可由系统来实现，系统也可用信号来模拟。(2)结合律f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)(2-37)卷积结合律的图示如图2-39。

43、图2-39卷积结合律的图示从系统的观点看，两个系统级联时，总系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积积分，即h(t)=f2(t)*f3(t)，且和级联次序无关。(3)分配律f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)(2-38)若将f1(t)看做某系统的单位冲激响应h(t)，而将f2(t)+f3(t)看成该系统的激励，则分配律是用数学方法表达线性系统的叠加特征，即系统的零状态响应f1(t)*f2(t)+f3(t)是系统对f2(t)的零状态响应f1(t)*f2(t)与系统对f3(t)的零状态响应f1(t)*f3(t)的叠加，如图2-40所示。图2-40卷积分配

44、律的图示另外若将f2(t),f3(t)看做两个系统的单位冲激响应，f1(t)看做同时作用于它们的激励，则分配律表明，并联LTI系统对输入f(t)的响应等于各子系统对f(t)的响应之和，如图2-41 所示。图2-41卷积分配律的另一种图示2.卷积的微分与积分卷积的微分与积分两个信号卷积后的导数等于其中一个信号之导数与另一个信号的卷积，其表示式为(2-39)由卷积定义可证明此关系式。同样可以证明(2-0)显然，f2(t)*f1(t)也即f1(t)*f2(t)，故式(2-39)成立。两信号卷积后的积分等于其中一个信号之积分与另一个信号的卷积。其表示式为 应用类似的推演可以导出卷积的高阶导数或多重积分

45、之运算规律。设f(t)=f1(t)*f2(t)，则有(2-42)(2-41)此处，当i、j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。读者可自行证明。特别有yf(t)=f(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t)(2-43)式(2-43)表明，通过对激励信号和冲激响应分别积分和求导，再求卷积，同样可以求得零状态响应，这为求零状态响应提供了一条新途径，当其中一个时间信号为时限信号时，用上述公式会很方便。3.含有奇异信号的卷积含有奇异信号的卷积两个时间信号做卷积运算时，若其中一个时间信号为奇异信号，它们在信号与系统分析中，有一定的物理意义，讨论如下。(1)信号f(t)与单位冲激信号的卷积在

46、信号的分解中，我们已经得到式(2-34)，即 这表明系统的冲激响应h(t)=(t)，如图2-42所示。冲激响应为(t)的系统等效为短路线。(2)信号f(t)与(t-t0)的卷积(2-44)这表明，信号f(t)与(t-t0)相卷积的结果，相当于把信号本身延时t0。若系统的冲激响应h(t)=(t-t0)，如图2-43所示，则冲激响应为(t-t0)的系统是延时为t0的延时器。图2-42(t)所描述的系统图2-43(t-t0)所描述的系统(3)信号f(t)与冲激偶(t)的卷积f(t)*(t)=f(t)(2-45)证明：由式(2-39)有f(t)*(t)=f(t)*(t)=f(t)若系统的冲激响应为(t

47、),如图2-44所示，该系统是一个微分器。推广到n阶微分系统有f(t)*(n)(t)=f(n)(t)(2-46)(4)信号f(t)与单位阶跃信号的卷积(2-47)图2-44(t)所描述的系统同理，若系统的冲激响应为U(t)，如图2-45所示，该系统是一个积分器。图2-45U(t)所描述的系统【例2-31】已知f1(t)，f2(t)如图2-46所示，求y(t)=f1(t)*f2(t)。图2-46f1(t)，f2(t)的波形解根据f(t)与(t)和(t-t0)相卷积的性质，可画出y(t)的波形如图2-47(c)所示。图2-47【例2-31】y(t)的波形【例2-32】已知T(t)=+(t+kT)+

48、(t)+(t-kT)+,f(t)=g(t),波形如图2-48(a)、(b)所示，求y(t)=f(t)*T(t)。图2-48【例2-32】的波形解根据卷积运算的分配律和式(2-44)，有 在g(t)的宽度T则在f(t)*T(t)的波形中，各相邻脉冲将相互重叠。这是用周期冲激信号来表示周期信号的方法。2.6.4卷积积分的卷积积分的MATLAB实现实现利用MATLAB计算卷积和的函数conv可以近似计算连续信号之间的卷积。conv的调用方式为y=conv(f,h)【例2-33】利用MATLAB计算图2-49(a)、(b)所示的两个不等宽的矩形脉冲信号的卷积，并绘图表示结果。图2-49【例2-33】图

49、解求解过程的代码如下：%program ch2-33clear;dt=0.01;t1=0:dt:2;L=length(t1);ft=rectpuls(t1-1,2);t2=0:dt:4;M=length(t2);ht=rectpuls(t2-2,4);subplot(2,2,1);plot(t1,ft);title(f(t);xlabel(a);axis(t1(1)t1(end)+0.5 0 max(ft)+0.5);subplot(2,2,2);plot(t2,ht);title(h(t);xlabel(b);axis(t2(1)t2(end)+0.5 0 max(ht)+0.5);y=co

50、nv(ft,ht)*dt;N=L+M-1;t=(0:N-1)*dt;subplot(2,1,2);plot(t,y);axis(t(1)-0.5 t(end)+0.5 0 max(y)+0.5);title(y(t)=f(t)*h(t);xlabel(c);所有卷积结果如图2-49(c)所示。由理论计算可知，f(t)与h(t)的卷积的波形是一个等腰梯形。用MATLAB求得的结果与此一致。【例2-34】用MATLAB求解【例2-28】。解求解的代码如下：%program ch2-34clear;T=0.001;t=-2:T:20;u=(t=0);f=u;h=exp(-t).*u;y=conv(f