《信号与系统分析》课件第3章.ppt

1、第第3章连续时间信号与系统的章连续时间信号与系统的频域分析频域分析 3.1周期信号的傅里叶级数分析3.2非周期信号的傅里叶变换分析3.3傅里叶变换的性质3.4连续系统的频域分析3.5连续系统频域分析应用举例3.6抽样及抽样定理3.1周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析3.1.1三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数由数学分析课程中傅里叶级数的定义得到，周期信号f(t)可由三角函数的线性组合来表示。若周期信号f(t)的周期为T，角频率为 ,则f(t)可分解为(3-1)式中，n为正整数，各项三角函数的振幅a0,a1,a2,b1,b2,称为傅里叶级数的系数，式(3-1)称为三角

2、形式的傅里叶级数。各傅里叶级数的系数有以下定义：直流分量 余弦分量 正弦分量(3-3)(3-2)(3-4)为方便起见，一般积分区间都取为0T或。三角函数集1，cos0t,cos20t,sin0t,sin20t，在区间(t0,t0+T)中组成正交函数集，而且是完备的正交函数集。周期信号f(t)就可以由n个正交函数的线性组合来近似表达。这种正交函数集可以是三角函数集，也可以是复指数集等。关于完备正交函数集及其性质在此不作详细讨论，可以参考相关书籍。必须指出，并非任意周期信号都可以分解为式(3-1)的傅里叶级数。能分解为式(3-1)的周期信号要满足狄里赫利(Dirichlet)条件，即(1)在一周期

3、内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。(2)在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。(3)在一周期内，信号是绝对可积的，即等于有限值。通常遇到的周期信号都满足该条件，以后不再特别说明。由式(3-1)可知，将周期信号f(t)展开成傅里叶级数，就可以知道信号f(t)中直流分量的大小，频率为0的信号分量的振幅和相位，以及频率为20的信号分量的振幅和相位，等等。通常称频率为0的信号为基波分量，频率为20的信号为二次谐波分量，依次类推为三次谐波、四次谐波等。这些分量就表明了信号f(t)的频率特性。这种频率特性(频谱)在稍后介绍。但式(3-1)中的各次谐波的振幅和相位直观上看还不是很清楚，进

4、一步将式(3-1)中的同频率信号相合并，可以写出另一种形式的三角型傅里叶级数表达式为(3-5)其中(3-6)这里，若将周期信号分解为式(3-5)的傅里叶级数，则该信号中所含的频率分量的情况便一清二楚了。从式(3-3)和式(3-4)可知，an与bn都是n0的函数，所以An和n也都n0的函数。若n取负值，可知an和An是n的偶函数，bn与n是n的奇函数。如果将An对n0的关系绘成图形，n0用表示，即=n0，n=0,1,2，以为横轴，所对应的An为纵轴，就可以画成一种线图，直观地表明信号f(t)的各频率分量的振幅。这种表示 之间关系的图称为信号的幅度频率(幅度谱)，每一条线表示某一频率分量的振幅，称

5、为谱线。连接各谱线顶点的曲线称为包络，反映了各分量幅度变化的情况。类似地，还可以画出 之间的线图，称为信号的相位频谱(相位谱)，反映了各分量相位关系。周期信号的幅度谱和相位谱组成信号的频率谱(频谱)，如图3-1所示。相应地，若已知某个信号的频谱，也可以重构此信号。所以频谱提供了另一种描述信号的方法，即不同的信号，频谱不同。时域周期信号f(t)可以用其相应的频谱来描述，这种信号的描述方法就叫信号的频域分析。时域和频域描述从不同角度给出了信号的特征，是分析系统的基础。)(0nnA)(0nn图3-1周期信号的频谱【例3-1】将图3-2(a)所示的周期矩形脉冲信号展开成三角型傅里叶级数，并画出其频谱。

6、图3-2【例3-1】图解周期矩形脉冲信号在一个周期 区间可表示为2,2TT由式(3-2)式(3-4)可求出各傅里叶系数为所以f(t)可展开为为了画出频谱，求出振幅和相位，有画出频度谱An和相位谱n如图3-2(b)、(c)所示。【例3-2】已知某信号的频谱如图3-3所示，求该信号的表达式。解由信号的频谱可以清楚地得出该信号各频率分量的振幅和相位，即 直流分量A0=1基波分量 二次谐波分量 其他频率分量均为零。故可写出f(t)的表达式为 可见，周期信号的频谱有共同的特性，即所有周期信号的频谱都是由间隔为0的谱线组成的，为离散谱。图3-3【例3-2】信号的频谱 3.1.2复指数形式的傅里叶级数复指数

7、形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数也可以表示为复指数形式。由式(3-1)知将欧拉公式代入上式得令 并考虑到得 所以有令Fn(0)=a0并考虑到(3-7)可见，周期信号f(t)可以表示为若干个复指数信号的组合。其中Fn(jn0)为复指数信号的系数。式(3-7)称为指数型傅里叶级数。因为(3-8)所以Fn(jn0)一般为复函数，所以称之为傅里叶级数的复系数(复振幅)，通常将Fn(jn0)简写为Fn。将an,bn的定义代入式(3-8)得到(3-9)我们就可以利用式(3-9)计算一个周期信号的复系数，从而将之表达为指数型傅里叶系数。其实，复系数Fn与傅里叶级数的其他系数有密切关系，即(3-10)(3

8、-11)可见，Fn也应该是n0的函数，且|Fn|为n的偶函数，n为n的奇函数。将n0用代替，也可以得到|Fn|的关系和n的关系，以为横轴，|Fn|与n为纵横，画出|Fn|的谱线，称为(复数)幅度谱。画出n的谱线，称为(复数)相位谱。二者共同组成信号的复数频谱(复频谱)。值得注意的是，Fn中的n可取负整数，故有正有负，即复频谱中不仅包括正频率项，而且含有负频率项，所以经常称复频谱为双边谱，如图3-4所示；而称图3-1所示的频谱为单边谱。图3-4周期信号的双边谱对同一个周期信号，它的频谱只能有一个，我们既可以用三角型傅里叶级数展开，从而画出它的单边谱，又可以用指数型傅里叶级数展开，从而画出它的双边

9、谱。那么双边谱和单边谱如何统一呢？其实这两种频谱表示方法实质上是一样的，其不同之处仅是单边谱中的每条谱线代表一个分量的振幅，而双边谱中每个分量的幅度一分为二，在正、负频率处各为一半，即(3-12)所以，只有两正、负频率上对应的两条谱线相加才代表一个频率分量的振幅；而相位谱是一致的，只要将单边谱中的相位谱进行奇对称，画成双边相位谱即可。在双边谱中出现的负频率其实没有任何物理含义，完全是由于数学运算的结果，只有将负频率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱。【例3-3】将【例3-1】中的周期矩形脉冲信号展开为指数型傅里叶级数，并画出其复频谱。解根据Fn的定义有 所以相应的复频谱如图3-5所

10、示。将周期信号的幅度谱和相位谱分开画，如图3-5(a)所示。只有当Fn为实数时，可以将频谱图画在一张图中，如图3-5(b)所示。一般情况下，Fn为复函数，幅度谱和相位谱就不能画在一张图中，必须分为幅度谱与相位谱两张图。图3-5【例3-3】矩形脉冲信号的双边谱【例3-4】求信号 的频谱。解因为 所以相应的信号波形及其频谱图如图3-6所示。图3-6【例3-4】图【例3-5】已知连续周期信号，将其表示成复指数信号形式，并画出其频谱。解从f(t)的已知表达形式可知，它是f(t)的三角型傅里叶级数形式，故知f(t)中含直流分量、基波分量、三次谐波分量，即从傅里叶系数与复振幅之间的关系，或单边谱与双边谱之

11、间的关系可以得出 所以将f(t)表示成指数型傅里叶级数为画出相应的频谱如图3-7所示。图3-7【例3-5】的单边谱和双边谱3.1.3周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点在实际应用中，周期矩形脉冲信号具有很重要的地位。下面就以周期矩形脉冲信号为例，揭示周期信号的频谱特点。由前面讨论知道，周期矩形脉冲信号的波形及其频谱如图3-8所示。通过对周期矩形脉冲信号的频谱分析，可以归纳出有关周期信号频谱结构的一般特点如下：(1)周期信号的频谱都是离散谱，谱线间隔为0，谱线(谐波分量)只存在于基波频率0的整数倍上。图3-8周期矩形脉冲信号及其频谱(2)在理论上周期信号的谐波分量是无限多的。在整个频率范围内高次

12、谐波幅度虽然时有起伏，但总的趋势是按照一定规律递减的。这表明，信号能量主要集中在低频范围内。对周期矩形脉冲而言，其能量主要集中在第一个过零点以内，而且谐波分量的振幅An随着T增大而减小。(3)信号的频带宽度。基于上述理由，我们把从零频开始的能量主要集中的频率范围称为信号的有效频带宽度，简称带宽。如周期矩形脉冲信号的带宽为(3-13)(4)信号的时间特性与频率特性之间的关系。从式(3-13)可知，时域中脉冲持续时间愈短，在频域中信号占有的频带愈宽。(5)谱线密度与周期T的关系。因为谱线间隔 ，所以周期愈大，谱线间隔愈小，谱线愈加密集。当周期信号的周期T趋近于无穷大，即T时，周期信号就变成非周期信

13、号，离散谱将趋近于边续谱。T203.1.4周期信号频谱分析的周期信号频谱分析的MATLAB实现实现利用MATLAB提供的计算定积分的函数quad和quadv，可以比较方便地计算给定周期信号的傅里叶级数。quad和quadv的调用格式为y=quad(FUN,A,B)其中FUN是被积函数，是字符串或函数句柄；A，B分别是积分下限和上限。利用该函数、傅里叶级数的系数可由下式求出Fn=quad(FUN,-T/2,T/2)/T其中T是信号的周期。【例3-6】利用MATLAB求图3-9所示周期方波的傅里叶函数，给出幅度谱和相位谱；然后将求得的系数代入公式,求出f(t)的近似值，画出N=6时的合成波形。图3

14、-9【例3-6】图解用于求解的MATLAB代码如下，运行结果如图3-9所示。%program ch3-6clear;T=4;width=2;A=0.5;t1=-T/2:0.01:T/2;ft1=0.5*abs(t1)width/2;t2=t1-T t1 t1+T;ft=repmat(ft1,1,3);subplot(3,1,1);plot(t2,ft);xlabel(t);title(original square waveform);w0=2*pi/T;N=6;K=0:N;for k=0:N factor=exp(-j*t*,num2str(w0),*,num2str(k),);f_t=nu

15、m2str(A),*rectpuls(t,2);Fn(k+1)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2)/T;endsubplot(3,2,3);stem(K*w0,abs(Fn);xlabel(nw0);title(magnitude spectrum);ph=angle(Fn);subplot(3,2,4);stem(K*w0,ph);xlabel(nw0);title(phase spectrum);t=-2*T:0.01:2*T;K=0:N;ft=Fn*exp(j*w0*K*t);subplot(3,1,3);plot(f,ft);title(sythesized sq

16、uare waveform);【例3-7】用MATLAB求解【例3-1】的频谱，设T=4，=2。解求解的代码如下：%program ch3-7clear;T=4;width=2;A=0.5;t1=-T/2:0.01:T/2;ft1=0.5*abs(t1)width/2;t2=t1-T t1 t1+T;ft=repmat(ft1,1,3);subplot(2,1,1);plot(t2,ft);xlabel(t);title(original square waveform);axis(-6 6-0.5 1);w0=2*pi/T;N=5;K=0:N;for k=0:N factor=exp(-j*

17、t*,num2str(w0),*,num2str(k),);f_t=num2str(A),*rectpuls(t,2);Fn(k+1)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2)/T;endsubplot(2,2,3);stem(K*w0,abs(Fn);xlabel(nw0);title(magnitude spectrum);hold on;%phaseph=angle(Fn);subplot(2,2,4);stem(K*w0,ph);xlabel(nw0);title(phase spectrum);运行结果如图3-10所示。图3-10【例3-7】图【例3-8】用MATLA

18、B求解【例3-3】。解求解的代码如下：%program ch3-8T=4;width=2;A=0.5;t1=-T/2:0.01:T/2;ft1=0.5*abs(t1)0)即(3-23)式中|F(j)|和()分别为单边指数信号的幅度谱和相位谱。相应的信号波形及频谱如图3-14所示。图3-14单边指数信号的波形及频谱3.双边指数信号e-|a|t(a0)相应的信号波形及频谱如图3-15所示。(3-24)图3-15双边指数信号的波形及频谱4.符号函数sgn(t)其波形和频谱如图3-16所示。图3-16符号函数的波形和频谱5.冲激信号和冲激偶 由于 所以可知(t)的频谱函数F(j)=j 即 同理可得(3

19、-26)6.单位直流信号如图3-17(a)所示，直流信号可看成双边指数信号a0的极限情况，可根据双边指数信号的频谱取极限的情况来求其频谱。F(j)显然是一个冲激函数，其强度为图3-17直流信号的波形及频谱7.阶跃信号U(t)把阶跃信号作偶分量、奇分量分解，有即 信号波形和频谱如图3-18所示。图3-18阶跃信号的波形及频谱常用信号的傅里叶变换及其频谱请参看附录。3.2.4非周期信号频谱的非周期信号频谱的MATLAB求解求解虽然MATLAB提供了函数Fourier用于计算符号函数的傅里叶变换，但多数情况下用Fourier计算得到的结果往往非常繁琐，并不令人满意。因此，更多情况下，利用MATLAB

20、提供的函数求信号频谱的数值解更为方便。MATLAB提供的计算数值积分的函数，可以用来求信号频谱的数值解。其中两个常用的函数quad和quadl，它们的一般调用格式如下：y=quad(FUN,a,b)y=quadl(FUN,a,b)其中，FUN是一个表示函数名称的字符串或函数句柄。a，b分别表示积分的下限和上限【例3-10】用MATLAB计算sinc(t)的频谱，绘出-2，2之间的频谱图。解用于求解MATLAB代码如下：%program ch3-10w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for

21、k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);F(k)=quad(sinc(t).*,factor,t1,t2);end%drawingsubplot(2,1,1);h=plot(wk/pi,abs(F);h1=get(h,parent);set(h1,xtick,-2*pi-pi 0 pi 2*pi,xticklabel,-2-1 0 1 2);xlabel(unit inpi);title(magnitude spectrum of sinc(t);subplot(2,1,2);h=plot(wk/pi,angle(F);h1=get(n,parent);s

22、et(h1,xtick,-2*pi-pi 0 pi 2*pi,xticklabel,-2-1 0 1 2;xlabel(unit inpi);title(phase spectrum of sinc(t);结果如图3-19所示。图3-19【例3-10】图【例3-11】用MATLAB求解【例3-9】，设=2,E=1。解求解的代码如下：%program ch3-11clear;T=2;A=1;t1=-T:0.01:T;ft=A*rectpuls(t1,T);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);axis(-2 2

23、-0.2 1.2);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);f_t=num2str(A),*rectpuls(t,2);F(k)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum of f(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum of f(t)

24、;运行结果如图3-20所示。3.3傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 在3.2节中我们研究了信号的频谱函数，并通过傅氏变换对建立了信号的时域和频域之间的对应关系。在信号分析时，经常还需要对时域信号进行某种运算。那么这种运算之后的时域信号在频域发生了何种变化，与原信号的频谱又有何关系；反过来，若在频域发生了某种变化，在时域又有何变动。研究这些问题当然可以使用式(3-17)求积分得到，但这种方法计算过程比较复杂。使用下面所介绍的傅里叶变换的性质，就方便得多，而且物理概念也很清楚。3.3.1线性特性线性特性若 则(3-29)其中，a1和a2为任意常数。【例3-12】求图3-21(a)所示信号的频谱F(

25、j)。解因为 f(t)=f1(t)+f2(t)故 所以图3-21【例3-12】图3.3.2对称特性对称特性 若 则(3-30)该性质说明，若偶函数f(t)的频谱函数为F(j)，另一与F(j)形式完全相同的时域信号F(jt)的频谱函数就与信号f(t)的形式相同，只相差系数2。图3-22所示就是一个例子。图3-22冲激信号的傅氏变换和对称性【例3-13】求信号Sa(0t)的频谱函数。解由前面典型信号的傅里叶变换知 则 令 所以相应的频谱图如图3-23(b)所示。图3-23【例3-13】图3.3.3时移特性时移特性若则 (3-32)【例3-14】求 的相位谱。解由门信号g(t)的频谱知道它的相位谱如

26、图3-24(c)所示，则根据时移特性知 的相位谱如图3-24(d)所示。2tg图3-24【例3-14】图图3-24中只画出0的频谱。读者可以自行补充完整。3.3.4频移特性频移特性 若 则 结合欧拉公式和线性特性得(3-33)(3-34)【例3-15】已知矩形调幅信号f(t)=g(t)cos(0t)，试求其频谱函数。解因为 根据频移特性，可得其波形及频谱如图3-25所示。图3-25【例3-15】图可见，调幅信号的频谱等于将g(t)的频谱一分为二，各向左、右移载频0，进行了频谱搬移。3.3.5时域展缩特性时域展缩特性 若 则(3-35)其中a为非零实常数。如果对时间信号f(t)既有平移又有展缩，

27、即f(t)变为f(at+b)时，它的频谱函数为(3-36)【例3-16】已知如图3-26(a)的函数是宽度为2的门信号，即f1(t)=g2(t)，其傅里叶变换 ,求图3-26(b)、(c)中函数f2(t)、f3(t)的傅里叶变换。图3-26【例3-16】图 解(1)图3-26(b)中函数f2(t)可写为时移信号f1(t+1)与f1(t-1)之差，即f2(t)=f1(t+1)-f1(t-1)由傅里叶变换的线性和时移特性可得f2(t)的傅里叶变换(2)图3-26(c)中的函数f3(t)是f2(t)的压缩，可写为f3(t)=f2(2t)由时域展缩特性可得3.3.6时域微分特性时域微分特性若 则(3-

28、37)【例3-17】已知图3-27(a)所示信号的频谱函数为 ,求图(b)所示信号的频谱函数。解因为 而 根据时域微分性质可得图3-27【例3-17】图3.3.7频域微分特性频域微分特性 若 则(3-38)【例3-18】求f(t)=t和f(t)=tU(t)的频谱。解因为 则(3-39)又因则(3-40)3.3.8时域积分特性时域积分特性 若 则(3-41)【例3-19】求图3-28(a)所示信号f(t)的频谱F(j)。解因为f(t)=g1(t)，如图3-28(b)所示。有 又因又因图3-28【例3-19】图 3.3.9卷积特性卷积特性(卷积定理卷积定理)卷积定理在信号与系统分析中占有重要地位，

29、是应用最广的性质之一，在以后章节的频域分析当中，我们将会认识到这一点。1.时域卷积定理时域卷积定理若 则 式(3-42)称为时域卷积定理，它说明两个时间信号卷积的频谱等于各个时间信号频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘，即把时域的卷积运算简化为频域的代数运算，这也是频域分析的目的所在。【例3-20】求图3-29所示信号f(t)的频谱F(j)。解因为 f(t)=g(t)*g(t)所以图3-29【例3-20】图【例3-21】求图3-30所示信号f(t)的频谱F(j)。解因为f(t)=g2(t)*(t+2)+g2(t)*(t-2)所以图3-30【例3-21】图2.频域卷积定理频域

30、卷积定理若则(3-43)【例3-22】求图3-31(a)所示信号f(t)的频谱F(j)，其中f(t)=f1(t)f2(t)=f1(t)cos(10t)。图3-31【例3-22】图解由可知 因为所以相应的频谱如图3-31(b)所示。3.4连续系统的频域分析连续系统的频域分析 前面已经提到，在时域分析法中，我们采用了一种思想将复杂问题分解为许多简单问题的组合，即将普通信号分解成很多单位冲激信号(基本信号)的线性组合。在频域分析法中我们将采用相同的思想，把普通信号利用傅里叶变换这个工具分解成一系列复指数信号(基本信号)的线性组合。通过前几节内容的学习我们已经掌握了傅里叶变换这个基本工具，在介绍频域分

31、析法之前我们先来看看复指数信号作为分解过程的基本信号具有什么样的特点。图3-32复指数信号经过LTI系统复指数信号有一个非常重要的特性，即：一个LTI系统对复指数信号的响应也是同样(同频率)一个复指数信号，不同的只是在幅度上有个增益，如图3-32所示。这里H(j0)是常数，是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换在0处的值。我们可以用时域分析法证明该结论。根据时域分析法，系统的单位冲激响应为h(t)，输入信号，则输出为 tetf0j)(对是常数，可以拿到积分号外面，则 证毕。对于更一般的情况，如果输入信号f(t)是由若干个不同频率的复指数信号线性组合而成，即 ，根据复指数信号的性质，系统对输入信

32、号每一个复指数分量的响应为 根据叠加性质，系统最后的输出信号为 根据前面介绍的傅里叶级数和傅里叶变换，普通信号可以分解为一系列复指数信号的线性组合，即积分号内F(j)ejt即是分解出的信号分量，每一分量经过系统后产生的响应应为H(j)F(j)ejt，根据叠加定理，可以求出系统的响应：根据傅里叶逆变换式可知上式可写为 y(t)=F-1H(j)F(j)即 Y(j)=H(j)F(j)在时域分析法中，系统的激励和响应关系为y(t)=f(t)*h(t)用时域分析求系统的激励需要计算繁琐的卷积。如果将系统激励和响应的关系变换到频域考察，可知Y(j)=H(j)F(j)利用频域中系统的激励和响应的关系，只需简

33、单的代数相乘运算，即可求出频域中系统的激励，再利用傅里叶逆变换可求出系统的时域响应y(t)，这就是频域分析法。频域分析法中的基本关系式Y(j)=H(j)F(j)也可由卷积定理推出。下面将从系统的角度通过图3-33说明系统的频域分析法，并介绍频域分析法中的一个重要概念频率响应。图3-33时域和频域分析示意图3.4.1系统频域分析法系统频域分析法由第2章连续系统的时域分析已知，在零状态下输入信号f(t),系统的冲激响应h(t)和零状态响应满足yf(t)=f(t)*h(t)将上式两端取傅里叶变换有(设)Y(j)=F(j)H(j)(3-44)式(3-44)便是系统输入和输出在频域中的关系，式中H(j)

34、将输入输出联系起来，是频域分析中的重要概念。将式(3-44)变形为(3-45)这里，H(j)称为系统的系统函数(也叫系统的频率响应)，它等于输出的频谱函数与输入的频谱函数之比。随着输入信号(电压源或电流源)与待求响应(电压或电流)的不同，系统函数将具有不同的含义，即它可以是阻抗函数、导纳函数、电压比或电流比。一般而言，系统函数H(j)是一个复函数，可写为 H(j)=|H(j)|ej()=H()ej()(3-46)其中H()与()都是的函数。将H()的关系称为幅频特性，()的关系称为相频特性，而且H()是的偶函数，()是的奇函数。前面已经表明，系统函数H(j)就是冲激响应h(t)的频谱函数，即有

35、下面的关系(3-47)即(3-48)由于冲激响应h(t)取决于系统本身，它描述的是系统的时域特性，因此H(j)也同样仅仅取决于系统的结构，系统一旦给定，H(j)也随之确定。系统不同，H(j)也不同，所以H(j)是在频域中表征系统的重要方式。系统的频域分析法，就是利用系统函数对输入信号的频谱进行处理，求得输出信号的频域函数，如式(3-44)所示，以揭示系统对输入信号的处理功能。频域分析法是信号分析和处理的有效工具。3.4.2系统频域分析法举例系统频域分析法举例【例3-23】已知某系统的系统函数为 当激励为f(t)=2e-tU(t)时，求系统的响应。解所求响应指零状态响应。设响应，根据频域分析法有

36、 所以当然，若系统给出初始储能，则应考虑零输入响应和零状态响应。零输入响应只能采用第2章介绍的时域法来求解。【例3-24】已知某系统的微分方程为若激励f(t)=12e-tU(t)，求系统的响应。解 令 对微分方程两边取傅里叶变换，得，可得系统的系统函数为由于,所以有 所以响应y(t)为可见，系统的微分方程与频域中的系统函数是一一对应的，已知系统函数，也能确定系统的微分方程。【例3-25】试分析图3-34所示RC电路的阶跃响应。解将RC电路中的C用代替，设，根据系统函数的定义有 若设,则有现在求阶跃响应，则激励信号f(t)=U(t),所以所以阶跃响应y(t)为从此例可以知道，若系统为电路图系统，

37、可以将电路中的元件用阻抗表示，然后用相量法求得系统函数H(j)，从而用频域分析法求得响应。【例3-26】如图3-35(a)所示系统，已知乘法器的输入，f2(t)=cos(3t)，系统的系统函数H(j)为 求输出y(t)。图3-35【例3-26】图解设乘法器的输出为f(t)=f1(t)f2(t)，并设，则有 由于令=4,根据对称性可得所以有F(j)如图3-35(c)所示。系统函数H(j)=g6()，如图3-35(b)所示。则有 Y(j)如图3-35(d)所示，所以响应y(t)为可见，若系统以框图形式给出，必须一步一步求出各个信号的频谱函数，最终求出响应的频谱函数。3.4.3连续信号频域分析的连续

38、信号频域分析的MATLAB实现实现【例3-27】用MATLAB求解【例3-12】。解求解的代码如下：%program ch3-27clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1,4)+rectpuls(t1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);f_t=rectpuls(t,4)

39、+rectpuls(t,2);F(k)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum f(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum of f(t);运行结果如图3-36所示。图3-36【例3-27】图【例3-28】用MATLAB求解【例3-13】，设w0=2。解求解的代码如下：%program ch3-28clear;T=8;w0=2;t1=-T/2:0.01:T/2;ft=sinc(w0*t1/p

40、i);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);F(k)=quad(sinc(2*t/pi).*,factor,t1,t2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum);subplot(3,1,3);plot(wk,a

41、ngle(F);title(phase spectrum);运行结果如图3-37所示。图3-37【例3-28】图【例3-29】用MATLAB求解【例3-14】，设=4。解求解的代码如下：%program ch3-29clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1+1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original square waveform);axis(-4 4-0.2 1.2);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=ze

42、ros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);F(k)=quad(rectpuls(t-1,2).*,factor,t1,t2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum of f(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum of f(t);运行结果如图3-38所示。图3-38【例3-29】图【例3-30】用MATLAB求解【例3-15】，设=10,w0=5。解求解的代码如下：%program c

43、h3-30clear;T=10;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1,10).*cos(5*t1);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=100;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);F(k)=quad(rectpuls(t,10).*cos(5*t).*,factor,t1,t2);endsubplot(3,1,

44、2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum of f(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum)图3-39【例3-30】图图3-39【例3-30】图【例3-31】用MATLAB求解【例3-16】图(b)的频谱。解 求解的代码如下：%program ch3-31clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1+1,2)-rectpuls(t1-1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original wa

45、veform);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);f_t=rectpuls(t+1,2)-rectpuls(t-1,2);F(k)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum of f1(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum of

46、 f1(t);运行结果如图3-40所示。图3-40【例3-31】图【例3-32】用MATLAB实现【例3-18】。解求解的代码如下：%program ch3-32clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft1=t1;figure(1);subplot(3,1,1);plot(t1,ft1);xlabel(t);title(original waveform of t);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F1=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);f_t=t;F1(k

47、)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F1);title(magnitude spectrum of t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F1);title(phase spectrum of t);ft2=t1.*(t1=0);figure(2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft2);xlabel(t);title(original waveform of tu(t);F2=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str

48、(wk(k),);f_t=t.*(t=0);F2(k)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endKH*2Dsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F2);title(magnitude spectrum of tu(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F2);title(phase spectrum of tu(t);运行结果如图3-41所示。运行结果如图3-41所示【例3-33】用MATLAB求解【例3-19】。解 求解的代码如下：%program ch3-33clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=tripuls

49、(t1,1,1)+(t1(1/2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);for k=1:N;factor=exp(-j*t*,num2str(wk(k),);f_t=tripuls(t,1,1)+(t=(1/2);F(k)=quad(f_t,.*,factor,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F);title(magnitude spectrum

50、of f(t);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F);title(phase spectrum of f(t);运行结果如图3-42所示。图3-42【例3-33】图【例3-34】用MATLAB求解【例3-20】。解求解的代码如下：%program ch3-34clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=tripuls(t1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(t);title(original waveform);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N