《应用数值分析》课件数值分析1.1-1.2绪论、误差.ppt

1、数值分析是数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算的基础，它研究在计算，它研究在计算机上解决数学问题的理论和机上解决数学问题的理论和可行的数值方法可行的数值方法。数值分析数值分析又叫计算方法、数值计算方法，又叫计算方法、数值计算方法，什么是数值分析什么是数值分析?（Numerical Analysis）2024-11-23数学理论和计算机应用的紧密结合数学理论和计算机应用的紧密结合1.1 绪论绪论2024-11-231.1.可行的数值方法可行的数值方法u有可计算性：面向计算机，根据计算机的有可计算性：面向计算机，根据计算机的 特点提供有效的特点提供有效的算法算法u有低的计算复杂性：时间和空

2、间的复杂性有低的计算复杂性：时间和空间的复杂性u有可靠的理论分析：算法的稳定性、有可靠的理论分析：算法的稳定性、收敛收敛性和误差分析性和误差分析只有满足这三个条件的算法，才是只有满足这三个条件的算法，才是可行的可行的！2024-11-231()baIfx dx例计 算 定 积 分-()()()bafx dxF bF a公 式 一：牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式1 1）可计算性）可计算性()()()bafx dxfba公 式 二：积 分 中 值 定 理()()()2()()()()2babaabfx dxfbafafbfx dxba中 矩 形 公 式：梯 形 公 式：符号计算符号计算超出了数值计

3、算的范畴超出了数值计算的范畴不具有可计算性不具有可计算性2024-11-23AXb例 2求 解det()0A2 2）低的计算复杂性）低的计算复杂性2020,2120209.7110n 计 算个阶 的 行 列 式，乘 法 计 算 量 是：2119！916103652436003.1510亿 次/秒，1年 完 成 的 乘 法 运 算 量：10201649.71103.15103.0810总 乘 法 运 算 量：（）年det(),1det()iiAXinA公 式 一：克 莱 默 法 则33nGaussO公 式 二：消 去 法，（）2024-11-233 3）可靠的理论分析）可靠的理论分析u稳定性稳定

4、性u收敛性收敛性u误差分析误差分析理论可靠理论可靠 精度可达精度可达 算法收敛算法收敛 数值稳定数值稳定 误差可误差可析析有的方法虽理论上不够严格有的方法虽理论上不够严格,但实际计算、对比分但实际计算、对比分析证实行之有效，也采用。析证实行之有效，也采用。-110nnII例例3 计算计算2024-11-23造成这种情况的原因是：造成这种情况的原因是：算法不稳定算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)232020191817010=10=10=10IIIII232020191817010=10=10=10-1520510=1=

5、100u在我们今后的讨论中，在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避，将不可回避，算法的算法的稳定性稳定性会是一个非常重要的话题。会是一个非常重要的话题。2024-11-23对给定的数学问题，构造一个可行的数对给定的数学问题，构造一个可行的数值方法。要求具有三个特点：值方法。要求具有三个特点：u可计算性可计算性u低的计算复杂性低的计算复杂性u可靠的理论分析可靠的理论分析数值分析的核心问题数值分析的核心问题2024-11-232.2.本课程研究的范围本课程研究的范围数值分析是数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算的基础，它研究在计算，它研究在计算机上解决数学问题的理论和机上解决数学问题的理论

6、和可行的数值方法可行的数值方法。数值分析要解决的数学问题：数值分析要解决的数学问题：“高等数学高等数学”中的微积分计算中的微积分计算“线性代数线性代数”中的矩阵计算，例如：线性方程组的求中的矩阵计算，例如：线性方程组的求解，矩阵特征值计算，等等解，矩阵特征值计算，等等数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算机计算机近似解近似解数值分析解决的问题？数值分析解决的问题？2024-11-232024-11-23数值分析数值分析数值逼近数值逼近数值代数数值代数插值法插值法最佳逼近最佳逼近数值积分和数值微分数值积分和数值微分求解

7、线性方程组求解线性方程组非线性方程的求根法非线性方程的求根法代数特征值问题的数值解法代数特征值问题的数值解法微分方程数值解微分方程数值解常（偏）微分方程数值解常（偏）微分方程数值解 泛函分析：泛函分析：在集合的基础上，把客观世界中研究对在集合的基础上，把客观世界中研究对 象抽象为元素和空间象抽象为元素和空间，建立空间到空间的映射。建立空间到空间的映射。泛函分析将表面上彼此不相关的学科统一在它的普泛函分析将表面上彼此不相关的学科统一在它的普遍规律和共同框架之下。遍规律和共同框架之下。空间到空间的映射空间到空间的映射：算子算子 空间到数集的映射空间到数集的映射：泛函泛函 特别地，数集到数集的映射特

8、别地，数集到数集的映射函数函数，函数空间到数集的映射函数空间到数集的映射函数的函数函数的函数什么是泛函分析？什么是泛函分析？（Functional AnalysisFunctional Analysis）2024-11-23 泛函分析是进行数值算法研究的理论基础，属于分泛函分析是进行数值算法研究的理论基础，属于分析数学。对数值算法而言，运用泛函分析的观点与语析数学。对数值算法而言，运用泛函分析的观点与语言可使数值算法中很多定理与方法的推导变得简洁、言可使数值算法中很多定理与方法的推导变得简洁、直观。直观。本课程只介绍与数值算法有密切关系的泛函分析的本课程只介绍与数值算法有密切关系的泛函分析的基

9、本概念和理论。（基本概念和理论。（范数范数、内积内积、不动点理论等等）、不动点理论等等）泛函分析与数值算法的关系泛函分析与数值算法的关系2024-11-2313构造数值算法的构造数值算法的基本思想基本思想近似替近似替代代离散化离散化递推化递推化Chapter 0 Introduction14近似替代：用有限代替无限近似替代：用有限代替无限例例415离散化：连续变量转化为离散变量离散化：连续变量转化为离散变量例例516递推化：复杂计算归结为简单过程的多次重复递推化：复杂计算归结为简单过程的多次重复 （循环结构，迭代法）（循环结构，迭代法）例例62024-11-234.4.学习本课程的重要性学习本

10、课程的重要性数值分析是数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算的基础，它研究在计算机，它研究在计算机上解决数学问题的理论和上解决数学问题的理论和可行的数值方法可行的数值方法。u数值分析是数值分析是科学与工程计算的基础科学与工程计算的基础u科学与工程计算是继理论分析和实验后的第三种科科学与工程计算是继理论分析和实验后的第三种科学研究手段学研究手段u科学与工程计算正在突飞猛进的发展科学与工程计算正在突飞猛进的发展学学习习“计算方法计算方法”需需注意如下几点注意如下几点1.1.掌握算法的原理和思想。掌握算法的原理和思想。2.2.注意算法的处理技巧及与计算机结合注意算法的处理技巧及与计算机结合,掌

11、握步骤掌握步骤和计算公式。和计算公式。3.3.重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。4.4.做一定的理论分析证明与计算练习做一定的理论分析证明与计算练习5.5.上机实践上机实践2024-11-232 误差理论误差理论2024-11-232024-11-231.误差的来源与分类误差的来源与分类 从实际问题中抽象从实际问题中抽象(简化简化)出数学模型出数学模型,模型与实际问题之模型与实际问题之间存在误差间存在误差 模型误差模型误差通常假定模型合理，误差可忽略不计通常假定模型合理，误差可忽略不计2024-11-23 模型中有许多物理量，如温度、长度、电压、电

12、流等，模型中有许多物理量，如温度、长度、电压、电流等，通过测量得到模型中参数的值，观测产生误差通过测量得到模型中参数的值，观测产生误差 观测误差观测误差观测误差是不可避免的，可根据测量工具的精度估计误差。观测误差是不可避免的，可根据测量工具的精度估计误差。2024-11-23 采用数值方法求模型的近似解，近似解与精确解之间有采用数值方法求模型的近似解，近似解与精确解之间有误差误差 方法误差方法误差(或截断误差或截断误差)这是数值分析中要研究的对象这是数值分析中要研究的对象2024-11-23 机器字长有限机器字长有限,数据在计算机中表示和计算过程产数据在计算机中表示和计算过程产生误差生误差 舍

13、入误差舍入误差2024-11-232107 xedx计例例近近似似算算大家一起猜？大家一起猜？dxe2x1011/e 解解：将将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4,104 Sdxe2x取取则则 111!5191!414R称为称为截断误差截断误差005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S 0010200050.|舍入误差舍入误差|006000100050102.dxe-x 的的总总体体误误差差计计算算=0.747 由截去部分由截去部分引

14、起引起由留下部分由留下部分引起引起2024-11-23例例7记注记注：本课程：本课程“计算方法计算方法(数值分析数值分析)”主要研主要研究究截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差在计算过程中的传播在计算过程中的传播和对计算结果的影响，以提高计算的精度。和对计算结果的影响，以提高计算的精度。2024-11-232.传播与积累传播与积累 “蝴蝶效应蝴蝶效应”一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几偶尔扇动几下翅膀下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.其原因在于：蝴蝶翅膀的运动其原因在于：蝴蝶翅膀的运动

15、,导致其身边的空气系统发导致其身边的空气系统发生变化生变化,并引起微弱气流的产生并引起微弱气流的产生,而微弱气流的产生又会引起它而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化四周空气或其他系统产生相应的变化,由此引起连锁反映由此引起连锁反映,最终最终导致其他系统的极大变化导致其他系统的极大变化.此效应说明此效应说明,事物发展的结果事物发展的结果,对初始条件具有极为敏感的对初始条件具有极为敏感的依赖性依赖性,初始条件的极小偏差初始条件的极小偏差,将会引起结果的极大差异将会引起结果的极大差异。2024-11-23.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11 nnInI

16、公式一：公式一：632120560111100.edxeeIx 记为记为*0I80001050 .IIE则初始误差则初始误差2024-11-23|)1()1(|*11*nnnnnnInIIIE|!01En|Enn 迅速积累迅速积累,误差呈递增走势。误差呈递增走势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050|.E造成这种情况的原因是：造成这种情况的原因是：算法不稳定算法不稳定(初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快！)2024-11-23)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论

17、上等价等价。NNINNeI 11)1(121*可取可取0*NNNIIEN,时时当当|1)1(1)1(1|*1NNNNENININE|)1(.)1(1|NnEnNNE 误差逐步递减误差逐步递减,这样的算法称为这样的算法称为稳定的算法稳定的算法1.2.2 绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差1、绝对误差、绝对误差限、绝对误差、绝对误差限2024-11-23用一把有毫米的刻度的米尺用一把有毫米的刻度的米尺,来测量桌子的长度来测量桌子的长度,读读出的长度出的长度x*=1235mm2024-11-232024-11-23有两根卷尺，有两根卷尺，X卷尺测量一根卷尺测量一根10长的圆钢时发生了长的圆钢时发生

18、了0.5cm的误差，卷尺测量的误差，卷尺测量10cm长的圆钢时发生了长的圆钢时发生了0.5cm的误差，绝对误差都是的误差，绝对误差都是0.5cm，哪一个更精确？，哪一个更精确？10000.5100.5xy()()0.5e xe y*()0.5()0.50.05%,5%100010e xe yxy卷尺更精确！卷尺更精确！u 决定一个量近似值的优劣，除了要考虑绝对误差的大决定一个量近似值的优劣，除了要考虑绝对误差的大小外，还应考虑准确值本身的大小！小外，还应考虑准确值本身的大小！2024-11-23定义定义1.2.22、相对误差、相对误差限、相对误差、相对误差限2024-11-23相对误差比绝对误

19、差更能反映准确数与近似数的差异。相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异。绝对误差限和相对误差限均无穷多，自然越小越好。绝对误差限和相对误差限均无穷多，自然越小越好。误差估计的任务是提供好的误差限，误差限越小，数据越误差估计的任务是提供好的误差限，误差限越小，数据越准确可靠。准确可靠。某一数据的准确值为某一数据的准确值为 x*,其近似值为其近似值为 x，*()(),(0)re xxxe xxxxx 的的相对误差相对误差:x 的的绝对误差绝对误差:e(x)=)=x*-x如果存在一个适当小的正数如果存在一个适当小的正数 ,，使得使得 xxxe)(分别称 ,为为绝对误差限绝对误差限和和相对误差

20、限相对误差限。()()rrexxxexxxrrmnaaax10021 .数的浮点表示数的浮点表示一台微机价格一台微机价格:￥4999.00,浮点数表示浮点数表示:0.4999104地球半径地球半径:6378137m,(6.378137e+006)浮点数表示浮点数表示:0.6378137107光速光速:2.99792458e+008 浮点数表示浮点数表示:0.299792458109尾数部尾数部阶码部阶码部取取 的有限位数如下的有限位数如下(3.1415926)取取 x1 1=3=3，误差限不超过误差限不超过0.5;0.5;取取 x2 2=3.14,=3.14,误差限不超过误差限不超过0.005

21、0.005;若近似值若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值位，则称近似值 x 有有 n 位有效数字位有效数字.取取 x3 3=3.1416,=3.1416,误差限不超过误差限不超过0.000050.00005;有效数字的概念有效数字的概念38 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字 有效数字位数越多，有效数字位数越多，相对误差限也就越小！相对误差限也就越小！定理定理 1.2.2mnaaax10021 .1|()|()102m ne xxxx15()10nrre xa一个

22、有一个有n 位有效数字的数位有效数字的数绝对误差限满足绝对误差限满足：相对误差限满足相对误差限满足：解解:a1=5,利用不等式利用不等式 15|()|1010nnrxa所以所以,浮点数的有效数字位数至少应取浮点数的有效数字位数至少应取3位。位。例例 已知已知 的十进制浮点数第一位是的十进制浮点数第一位是5，要要使近似值的相对误差限不大于使近似值的相对误差限不大于0.1%，问浮点问浮点数的有效数字的位数至少应该为多少数的有效数字的位数至少应该为多少？30取取n3,有有|er(x)|10-3其中其中,正负号占正负号占1 1位位,尾数占尾数占5252位位,阶码占阶码占1111位位.mnbbbx2.0

23、21 尾数尾数阶码阶码双精度机器数占用双精度机器数占用64个二进制位个二进制位单精度机器数占用单精度机器数占用32位二进制位位二进制位其中其中,正负号占正负号占1 1位位,尾数占尾数占2323位位,阶码占阶码占8 8位位.例例.圆面积计算的误差估计圆面积计算的误差估计2RS 圆面积计算公式圆面积计算公式:全微分近似全微分近似:RRS 2)(2)(RRS )(2)(RSrr 取取 R=50 cm,如果如果 cm5.0)(R 21%=2%)(Sr)(S 157 cm2,1.一元函数一元函数 y=f(x)误差分析误差分析(准确值准确值 y*=f(x*)由由Taylor 公式公式)(2)*()()*(

24、)(*)(2 fxxxfxxxfxf )(|)(|)(|*|*|)(|xxfxfxxyyye )(|)()(|)(xxfxfxyrr 同理同理:)(|)(|)(xxfy 所以所以误差对函数计算的影响误差对函数计算的影响2.多元函数多元函数 z=f(x1,x2,xn)误差分析误差分析 nkkkxxfz1)(|)()()()(2121xxxx(1)22122121)(|)(|)/(xxxxxxx(3)(|)(|)(122121xxxxxx(2)数据误差对算术运算影响数据误差对算术运算影响例例.二次方程二次方程 x2 16 x+1=0,取取求求 使具有使具有4 4位有效数位有效数937.763 63

25、81 x解解:直接计算直接计算 x18 7.937=0.063修改算法修改算法062747093715163811.x122(15.937)0.0005()0.000005(15.937)(15.937)x4 4位有效数位有效数0005.0)937.7()8()(1 x计算出的计算出的x1 具有两位有效数具有两位有效数条件数很大的矩阵求逆求多项式值的秦九韶求多项式值的秦九韶(Horner)(Horner)算法算法 输入输入 x；a0，a1，an S a0；u1k 从从 1 到到 n 循循环环uxuSS+ak u输出数据输出数据S；结束；结束输入输入 x；a0，a1，an S ank 从从 n

26、到到 1 循循环环Sak1+xS输出数据输出数据S；结束；结束秦九韶算法秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2 x2+an xn 数值分析的特点：构造性 近似性 数值化结果泛函分析集合算子：空间数空间空间泛函：赋范线性空间函数：数空间数空间映射：集合空间集合赋范线性空间数空间小结：l数值分析的产生、特点l误差的产生、相关概念l避免误差的若干原则l泛函实际问题实际问题数学模型数学模型数值问题数值问题数值方法数值方法数值结果数值结果（解的存在性、唯一性、稳定性）（解的存在性、唯一性、稳定性）高效高效可靠可靠理论分析理论分析程序设计程序设计（泛函分析）（泛函分析）（计算机）（计算机）收敛性收敛性相容性相容性稳定性稳定性计算时间计算时间存存 储储 量量逻辑复杂度逻辑复杂度模型误差模型误差测量误差测量误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差2024-11-23作业作业1：课堂内容小结课堂内容小结课后习题课后习题110