2025高考数学一轮复习-2.8-函数与方程（课件）.pptx

1、第二章 函数与基本初等函数第8节函数与方程ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实11.函数的零点函数的零点(1)概念：对于一般函数概念：对于一般函数yf(x)，我们把，我们把使使_的的实数实数x叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零点.(2)函数的零点、函数的图象与函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：轴的交点、对应方程的根的关系：f(x)0 x轴轴f(x)0(1)条件：条件：函数函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线；_0.(2)结论：函数结论：函数yf(x)在区间在区间(a，b)内至少有一个零

2、点，即存在内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使使得得_，这个这个c也就是方程也就是方程f(x)0的解的解.2.函数零点存在定理函数零点存在定理f(a)f(b)f(c)01.若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点至多有一个零点.函数的函数的零点不是一个零点不是一个“点点”，而是方程，而是方程f(x)0的实根的实根.2.由函数由函数yf(x)(图象是连续不断的图象是连续不断的)在闭区间在闭区间a，b上有零点不一定能推出上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以，如图所示，所以f(a)f(b)0是是yf(x)在闭

3、区间在闭区间a，b上有零点的充上有零点的充分不必要条件分不必要条件.3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)(1)函数函数f(x)2x的零点为的零点为0.()(2)图象连续的函数图象连续的函数yf(x)(xD)在区间在区间(a，b)D内有零点，则内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数二次函数yax2bxc(a0)在在b24ac0时没有零点时没有零点.()解析解析(2)f(a)f(b)0是连续函数是连续函数yf(x)在在(a，b)内有零点的充分不必要条件，内有零点的充分不必要条件，故

4、故(2)错误错误.BD解析解析根据函数零点的定义，可知根据函数零点的定义，可知f(x)x1的零点为的零点为1.函数函数yf(x)的零点，即函数的零点，即函数yf(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标，因此因此B，D正确，正确，A，C错误错误.2.(多选多选)下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.函数函数f(x)x1的零点为的零点为(1，0)B.函数函数f(x)x1的零点为的零点为1C.函数函数f(x)的零点，即函数的零点，即函数f(x)的图象与的图象与x轴的交点轴的交点D.函数函数f(x)的零点，即函数的零点，即函数f(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横

5、坐标A解析解析f(0)1，f(1)2，故，故f(0)f(1)0，由由零点存在定理可知零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是(0，1).3.函数函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(1，0)解析解析由由2sin xsin 2x0，得，得sin x0或或cos x1.又又x0，2，由，由sin x0，得，得x0，2.由由cos x1，得，得x0，2.f(x)0有三个实根有三个实根0，2，即，即f(x)在在0，2上有三个零点上有三个零点.4.函数函数f(x)2sin xsin 2x在在0，2的

6、零点个数为的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5B解析解析当当a0时，时，f(x)x1，令令f(x)0得得x1，故故f(x)只有一个零点为只有一个零点为1.当当a0，则，则14a0，5.(易错题易错题)函数函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数有且仅有一个零点，则实数a的值为的值为_.且且(1)0，(2)3.0k3.6.函数函数f(x)x2xkx2在区间在区间(1，2)内有零点，则实数内有零点，则实数k的取值范围是的取值范围是_.(0，3)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2因为因为f(2)f(1)0，f(1)f(2)0，所以所以f(x)在在(2，1

7、)和和(1，2)内存在零点内存在零点.1.(多选多选)函数函数f(x)exx2在下列哪个区间内必有零点在下列哪个区间内必有零点()A.(2，1)B.(1，0)C.(0，1)D.(1，2)ADA.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)所以所以(a)(41a)0，即，即a(a3)0，所以，所以0a3.CD解析解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点是二次函数，最多有两个零点，因此因此函数函数f(x)的两个零点分别位于区间的

8、两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内内.4.若若abc，则函数，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点的两个零点分别位于区间分别位于区间()A.(a，b)和和(b，c)内内B.(，a)和和(a，b)内内C.(b，c)和和(c，)内内D.(，a)和和(c，)内内A解析解析由函数由函数yf(x)的性质，画出函数的性质，画出函数yf(x)的图象的图象，如如图，再作出函数图，再作出函数y|lg x|的图象，的图象，例例1 (1)已知函数已知函数yf(x)是周期为是周期为2的周期函数，且当的周期函数，且当x1，1时，时，f(x)2|x|1，则函数，则函数F(x)

9、f(x)|lg x|的零点个数是的零点个数是()A.9 B.10 C.11 D.18B由图可知，由图可知，yf(x)与与y|lg x|共有共有10个交点，个交点，故原函数有故原函数有10个零点个零点.解析解析由题意，函数由题意，函数f(x)2x|ln(x1)|4的零点个数即为两个函数的零点个数即为两个函数y2x2与与y|ln(x1)|的交点个数，两个函数的图象如图的交点个数，两个函数的图象如图.(2)函数函数f(x)2x|ln(x1)|4的零点个数为的零点个数为_.2由图知，两个函数有由图知，两个函数有2个交点，个交点，故函数故函数f(x)2x|ln(x1)|4的零点个数是的零点个数是2.解得

10、解得x2或或xe.因此函数因此函数f(x)共有共有2个零点个零点.BA.3 B.2 C.7 D.0法二法二(图象法图象法)函数函数f(x)的图象如图所示，由的图象如图所示，由图象知函数图象知函数f(x)共有共有2个零点个零点.解析解析由由f(x1)f(x)，得，得f(x2)f(x)，知周期知周期T2，令令f(x)|x|0，得，得f(x)|x|.作出函数作出函数yf(x)与与g(x)|x|的图象如图所示的图象如图所示.由函数的图象知，由函数的图象知，yf(x)|x|有两个零点有两个零点.A角度1根据零点的个数求参数解析解析画出函数画出函数yf(x)的图象，如图的图象，如图.D当直线当直线l经过点

11、经过点A时，时，当直线当直线l经过点经过点B时，时，由题意得由题意得f(x)有有3个零点，等价于个零点，等价于g(x)的图象与直线的图象与直线ya有有3个交点个交点.g(x)的极大值的极大值g(2)4，极小值，极小值g(1)1，又又g(0)0，033011，故可作出此函数的图象，如图所示，故可作出此函数的图象，如图所示，a(1，0)1，4).(1，0)1，4)解析解析依题意，结合函数依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，的图象分析可知，例例3 若函数若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间的两个零点分别在区间(1，0)和区和区间间(1，2)内，则内，则m的取值范围是的取值

12、范围是_.角度2根据零点的范围求参数因此当因此当x0时，时，f(x)exa0只有一个实根，只有一个实根，aex(x0)，则，则1a0.Dg(x)的单增区间为的单增区间为(1，)，单减区间为单减区间为(，0)，(0，1)，g(x)的图象如图所示，故的图象如图所示，故a的取值范围为的取值范围为0，e).A若若a0时，显然时，显然yex与与yax有交点，有交点，因此若因此若f(x)无零点，必然有无零点，必然有a0.当当yax与与yex相切时，相切时，设切点设切点P(x0，ex0)，则则aex0且且ex0ax0，aax0，x01，则切线斜率则切线斜率kex0|x01e.因此，要使曲线因此，要使曲线ye

13、x与与yax不相交，不相交，则则0ae.所以所以0mn0且且a1)的两个零点是的两个零点是m，n，则，则()A.mn1 B.mn1C.0mn1 D.以上都不对以上都不对C嵌套函数的零点问题函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的对于嵌套函数的零点，通常先零点，通常先“换元解套换元解套”，设中间函数为，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.解析解析当当x0时，时，f(x)4x36x21的导数为的导数为

14、f(x)12x212x，当当0 x1时，时，f(x)0，f(x)单调递增，单调递增，可得可得f(x)在在x1处取得最小值，最小值为处取得最小值，最小值为1，且，且f(0)1，作出函数作出函数f(x)的图象，的图象，A一、嵌套函数零点的个数问题g(x)3f(x)210f(x)3，可令，可令g(x)0，tf(x)，可得可得3t210t30，当当t3时，可得时，可得f(x)3有一个实根，即有一个实根，即g(x)有一个零点，有一个零点，综上，综上，g(x)共有四个零点共有四个零点.解析解析设设tf(x)，令，令f(f(x)a0，则，则af(t).在同一坐标系内作在同一坐标系内作ya，yf(t)的图象的

15、图象(如图如图).当当a1时，时，ya与与yf(t)的图象有两个交点的图象有两个交点.设交点的横坐标为设交点的横坐标为t1，t2(不妨设不妨设t2t1)，则，则t11，t21.当当t11时，令时，令f(x)1log2x0，又因为又因为x1，所以此时方程无解，所以此时方程无解.综上，函数综上，函数f(x)的零点只有的零点只有0.DA.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)因为因为f(2)ln 220，f(3)ln 310，所以所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是所以函数的零点所在的区间是(2，3).B且且f(a)0，又，又0 x0a，f(x0)f(a)0，即，即f(x

16、0)0.C解析解析易知函数易知函数f(x)单调递增，且单调递增，且f(0)10，由由f(a)0知知0a1；函数函数g(x)在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，g(1)20，由由g(b)0知知2b1，所以所以g(a)g(1)f(1)0，故，故g(a)0f(b).4.设函数设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数若实数a，b满足满足f(a)0，g(b)0，则则()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0A解得解得x1t2(t0)，2(x21)t0，D解析解析f(x4)f(x)，函数函数f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数.

17、作出函数作出函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示.Cx10时，时，ylg|10|1，由数形结合可得函数由数形结合可得函数yf(x)的图象与的图象与函数函数ylg|x|的图象交点个数为的图象交点个数为8.解析解析定义在定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足的图象连续不断，且满足f(x2)f(x)，所以所以函数的周期为函数的周期为2，所以，所以A正确；正确；7.(多选多选)已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足的图象连续不断，且满足f(x2)f(x)，则，则以下结论成立的是以下结论成立的是()A.函数函数f(x)的周期的周期T2B.f(2

18、021)f(2 022)0C.点点(1，0)是函数是函数yf(x)图象的一个对称中心图象的一个对称中心D.f(x)在在2，2上有上有4个零点个零点ABCf(12)f(1)，即即f(1)f(1)f(1)，所以所以f(1)f(1)0，所以所以f(2 021)f(1)0，f(2 022)f(0)0，所以，所以B正确；正确；f(x2)f(x)f(x)，C正确；正确；f(x)在在2，2上有上有f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)0，有，有5个零点，所以个零点，所以D错错误误.解析解析由由g(x)0得得f(x)xa，作出函数，作出函数f(x)和和yxa的图象如图所示的图象如图所示.当直线当直线yxa的

19、截距的截距a1，即，即a1时时，两两个函数的图象都有个函数的图象都有2个交点个交点，即即函数函数g(x)存在存在2个零点，故实数个零点，故实数a的取值范围是的取值范围是1，).C解析解析在同一平面直角坐标系内作出直线在同一平面直角坐标系内作出直线y2a与函数与函数y|xa|1的大致图的大致图象，如图所示象，如图所示.9.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，若直线中，若直线y2a与函数与函数y|xa|1的图象只有一个的图象只有一个交点，则交点，则a的值为的值为_.解析解析f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数函数f(x)的零点个数可转化为函数的零点个数可转化为函数y1si

20、n 2x与与y2x2图象的交点个数图象的交点个数，在在同一坐标系中画出同一坐标系中画出y1sin 2x与与y2x2的图象如图所示的图象如图所示.由图可知两函数图象有由图可知两函数图象有2个交点，则个交点，则f(x)的零点个数为的零点个数为2.2解析解析函数函数f(x)2lg xx4在在(0，)上为增函数，上为增函数，又又f(3)2lg 3342lg 31lg 910，f(4)2lg 4442lg 40，即即f(3)f(4)0，则函数则函数f(x)2lg xx4的零点在区间的零点在区间(3，4)上，即上，即k3.11.已知函数已知函数f(x)2lg xx4的零点在区间的零点在区间(k，k1)(k

21、Z)上，则上，则k_.3解析解析x1，x2分别是函数分别是函数yex，12.若若x1是方程是方程xex1的解，的解，x2是方程是方程xln x1的解，则的解，则x1x2_.1因此因此x1x21.BCD由图可知，由图可知，x1x22，2x11；由由f(x3)f(x4)，有，有|log2x3|log2x4|，即即log2x3log2x40，所以所以x3x41，则则x1x2x3x4x1x2x1(2x1)(x11)21(0，1).故选故选BCD.解析解析因为因为f(x)m的两根为的两根为x1，x2(x1x2)，BC则则g(x)(x1)ex1x1，x(1，0.因为因为x(1，0，所以所以x10，ex1e

22、01，x10，所以所以g(x)0在在(1，0上恒成立，上恒成立，从而从而g(x)在在(1，0上单调递增上单调递增.解析解析(1)若若2，当，当x2时，令时，令x40，得，得2x4；当当x2时，令时，令x24x30，解得，解得1x2.综综上可知，上可知，1x4，所以不等式，所以不等式f(x)0的解集为的解集为(1，4).(2)令令f(x)0，当，当x时，时，x4，当当x时，时，x24x30，解得解得x1或或x3.因为函数因为函数f(x)恰有恰有2个零点，个零点，结合如图函数的图象知结合如图函数的图象知，14.(1，4)(1，3(4，)解析解析令令f(x)t(t1)，则原方程化为，则原方程化为g(t)a有有4个不同的实数根，个不同的实数根，易知方程易知方程f(x)t在在(，1)内有内有2个不同的实数根，个不同的实数根，则原方程有则原方程有4个不同的实数根等价于函数个不同的实数根等价于函数yg(t)(t1)与与ya的图象有的图象有2个不同个不同的交点，的交点，如图，画出函数如图，画出函数g(t)的图象，的图象，