2025年高考数学一轮复习-重难专攻（九）圆锥曲线中的定点、定值问题(导学案）.docx

1、重难专攻（九）圆锥曲线中的定点、定值问题处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxm，然后利用条件建立关于k，m的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.处理圆锥曲线中定值问题的方法：（1）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值；（2）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理法求定点【例1】已知椭圆x2a2y2b21（ab0）的一个顶点为D（0，1），离心率为22.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点且斜率为k（k0）的直线m与椭圆相交于两点A，B，与y轴交于点E

2、，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于直线OP（其中O为坐标原点），证明：直线l过定点.解：（1）依题意，ca22，a22c2，又b1，a2b2c2，c21，a22，椭圆的标准方程为x22y21.（2）证明：由（1）知右焦点坐标为（1，0），则直线m的方程为yk（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由x22y2=1，yk（x1),得（12k2）x24k2x2k220，（4k2）24（12k2）（2k22）8k280恒成立，x1x24k21+2k2，xP2k21+2k2，yPk（xP1）k1+2k2，直线OP的斜率kOPyP0xP012k，直线l的斜率kl2k.易知点E坐标为（0，

3、k），直线l的方程为y2kxk，即y2k（x12），直线l恒过定点（12，0）.解题技法直接推理法求定点的一般步骤已知抛物线C：x22py经过点（2，1）.（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解：（1）由抛物线C：x22py经过点（2，1），得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.（2）证明：抛物线C的焦点为F（0，1）.设直线l的方程为ykx1（k0）.由ykx1，x24y得x24kx40.16k2160恒成立，设

4、M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x24.直线OM的方程为yy1x1x.令y1，得点A的横坐标xAx1y1.同理得点B的横坐标xBx2y2.设点D（0，n），则DAx1y1,1n，DBx2y2,1n，DADBx1x2y1y2（n1）2x1x2x124x224（n1）216x1x2（n1）24（n1）2.令DADB0，即4（n1）20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点（0，1）和（0，3）.先找后证法求定点【例2】已知椭圆C：y2a2x2b21（ab1）的离心率为22，上焦点到直线bx2ay20的距离为23.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（13，0）的直线l交椭圆

5、C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.解：（1） 由题意，eca22，e2a2b2a212，所以a2b，cb.又2ac24a2b223，ab1，所以b1，a22，故椭圆C的方程为y22x21.（2）当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为（x13）2y2169，当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为x2y21.可得两圆交点为Q（1，0）.由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（1，0）.下证Q（1，0）符合题意.设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为yk（x13），代入y22x21，并整理得（k22）x223k2x19k220

6、，649k2160恒成立.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x22k23（k2+2）， x1x2k2189（k2+2），所以QAQB（x11）（x21）y1y2x1x2x1x21k2（x113）（x213）（1k2）x1x2（113k2）（x1x2）119k2（1k2）k2189（k2+2）（113k2）2k23（k2+2）119k20，故QAQB，即Q（1，0）在以AB为直径的圆上.综上，以AB为直径的圆恒过定点（1，0）.解题技法先找后证法求定点的一般思路（1）先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置，如直线的水平位置、竖直位置，即k0或k不存在时；（2）以曲线

7、上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）0上，即f（x1，y1）0消参.平面直角坐标系xOy中，点F1（3，0），F2（3，0），点M满足MF1MF22，点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足APAQ，求证：直线PQ过定点.解：（1）因为MF1MF22，所以MF1MF2223F1F2，由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中c3，a1，所以bc2a22，又焦点在x轴上，所以曲线C的方程为x2y221.（2）证明：若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为y（x1），联

8、立x2y221求解可得x3，直线PQ过点（3，0）.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxm，P（x1，y1），Q（x2，y2），代入x2y221，整理得（k22）x22kmxm220，易知0，则x1x22km2k2，x1x2m2+2k22，因为APAQ，所以APAQ（x11，y1）（x21，y2）（x11）（x21）y1y2（k21）x1x2（km1）（x1x2）m21（k2+1)(m2+2）k222k2m22km2k2m210，整理得3k22kmm2（3km）（km）0，解得m3k或mk，因为点P和Q都异于点A，所以mk不满足题意，故m3k，代入ykxm，得yk（x3），过定点（3

9、，0）.综上，直线PQ过定点（3，0）.参数法求定值【例3】已知O为坐标原点，过点M（1，0）的直线l与抛物线C：y22px（p0）交于A，B两点，且OAOB3.（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作直线ll交抛物线C于P，Q两点，记OAB，OPQ的面积分别为S1，S2，证明：1S121S22为定值.解：（1）设直线l：xmy1，联立方程xmy+1，y2=2px，消去x得，y22pmy2p0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y22pm，y1y22p，又因为OAOBx1x2y1y2（my11）（my21）y1y2（1m2）y1y2m（y1y2）1（1m2）（2p）2pm212p13.

10、解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.（2）证明：由（1）知M（1，0）是抛物线C的焦点，所以ABx1x2pmy1my22p4m24.原点到直线l的距离d11+m2，所以S11211+m24（m21）21+m2.因为直线l过点（1，0）且ll，所以S221+1m221+m2m2.所以1S121S2214（1+m2）m24（1+m2）14.即1S121S22为定值14.解题技法参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤已知椭圆C过点A（1，32），两个焦点为（1，0）和（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为

11、定值，并求出这个定值.解：（1）由题意，知c1，焦点在x轴上，可设椭圆方程为x21+b2y2b21.点A在椭圆上，11+b294b21，解得b23，b234（舍去），椭圆C的方程为x24y231.（2）设直线AE的方程为yk（x1）32，代入x24y231，得（34k2）x24k（32k）x4（32k）2120.设E（xE，yE），F（xF，yF），点A（1，32）在椭圆上，xE4（32k）2123+4k2，yEkxE32k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代替k，可得xF4（32k）2123+4k2，yFkxF32k，直线EF的斜率kEFyFyExFxEk（xFxE）+2

12、kxFxE12，即直线EF的斜率为定值，其值为12.从特殊到一般求定值【例4】设O为坐标原点，动点M在椭圆x29y241上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：1AB1CD为定值.解：（1）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0）.NP2 NM，（xx0，y）2（0，y0），x0x，y0y2.又点M在椭圆上，x29y2241，即x29y281.点P的轨迹E的方程为x29y281.（2）证明：由（1）知F为椭圆x29y2

13、81的右焦点，当直线l1与x轴重合时，AB6，CD2b2a163，1AB1CD1748.当直线l1与x轴垂直时，AB163，CD6，1AB1CD1748.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为yk（x1）（k0），则直线l2的方程为y1k（x1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立yk（x1),x29y28=1消去y，得（89k2）x218k2x9k2720，则（18k2）24（89k2）（9k272）2 304（k21）0，x1x218k28+9k2，x1x29k2728+9k2，AB 1+k2（x1x2）24x1x248（1+k2）8+9k2.同理可得CD48（1+

14、k2）9+8k2.1AB1CD8+9k248（k2+1）9+8k248（k2+1）1748.综上可得1AB1CD为定值.解题技法从特殊到一般求定值的常用处理技巧（1）研究特殊情形，如直线斜率不存在等，得到所要探求的定值；（2）探究一般情形；（3）综合上面两种情形下结论.已知双曲线C：x2a2y2b21（a0，b0）的离心率为2，右顶点D到一条渐近线的距离为32.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，且OAOB0，O为坐标原点，试证明点O到直线l的距离为定值.解：（1）由题意，得双曲线C的渐近线方程为ybax，右顶点为D（a，0）.又a2b2c2，且32b1+b2a2b

15、a2b2a2abc，eca2，所以ac12，故b3.又a234a2，解得a21，所以双曲线C的方程为x2y231.（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）.当直线l和轴线平行时，x1y1，x2y2，解得x1y1x2y262，所以点O到直线l的距离为62.当直线l和轴线不平行时，设直线l的方程为xmyt，由x2y23=1，xmyt得（3m21）y26mty3t230，（6mt）24（3m21）（3t23）12（3m2t21）0，所以y1y26mt3m21，y1y23t233m21.又x1my1t，x2my2t，所以OAOBx1x2y1y2（my1t）（my2t）y1y2（m21）y1y2

16、mt（y1y2）t20，得（m2+1)(3t23)6m2t2t2（3m21）3m210，解得2t23m23.又点O到直线l的距离为dtm2+1，则d2t2m2+132，故d62，综上，点O到直线l的距离为定值62. 1.已知A，B分别为椭圆E：x2a2y21（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解：（1）由题意得A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则AG（a，1），GB（a，1）.由AGGB8得a218，即a3.所以E的方程为x29y21.（2）证明：设C（x1

17、，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为yt9（x3），所以y1t9（x13）.直线PB的方程为yt3（x3），所以y2t3（x23）.可得3y1（x23）y2（x13）.由于x229y221，故y22（x2+3)(x23）9，可得27y1y2（x13）（x23），即（27m2）y1y2m（n3）（y1y2）（n3）20.将xmyn代入x29y21得（m29）y22mnyn290.所以y1y22mnm2+9，y1y2n29m2+9.代入式得（27m2）（n29）2m（n3）mn（n3）2（m29）0.解得n3（舍去）或

18、n32.故直线CD的方程为xmy32，即直线CD过定点32，0.若t0，则直线CD的方程为y0，过点32，0.综上，直线CD过定点32，0.2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24y21，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m（x12，y1），n（x22，y2），mn0.（1）求证：k1k214；（2）试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.解：（1）证明：k1，k2均存在，x1x20.又mn0，x1x24y1y20，即x1x24y1y2，k1k2y1y2x1x214.（2）当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，

19、由y1y2x1x214，得x124y120.又点P（x1，y1）在椭圆上，x124y121，x12，y122.SPOQ12x1y1y21.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb.联立得方程组ykxb，x24y2=1， 消去y并整理得（4k21）x28kbx4b240，其中（8kb）24（4k21）（4b24）16（14k2b2）0，即b214k2.x1x28kb4k2+1，x1x24b244k2+1.x1x24y1y20，x1x24（kx1b）（kx2b）0，得2b24k21（满足0）.SPOQ12b1+k2PQ12b（x1x2）24x1x22b4k2+1b24k2+11.综合知P

20、OQ的面积S为定值1.3.（2023新高考卷21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（25，0），离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.解：（1）设双曲线的标准方程为x2a2y2b21（a0，b0）.由题意可得eca5，c2a2b2，c=25，解得a=2，b=4.所以双曲线C的方程为x24y2161.（2）证明：设直线MN的方程为xmy4，M（x1，y1），N（x2，y2）.易知A1（2，0），A2（2，0）.联立直线MN与双曲线C的方程，得xmy

21、4，4x2y2=16.消去x并整理，得（4m21）y232my480，则y1y232m4m21，y1y2484m21，且4m210，（32m）2448（4m21）256m21920.直线MA1的方程为yy1x1+2（x2），直线NA2的方程为yy2x22（x2）.联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得x+2x2y2（x1+2）y1（x22）my1y22（y1y2）+2y1my1y26y1m484m21232m4m21+2y1m484m216y116m4m21+2y148m4m216y113，所以x1，即点P在定直线x1上.4.已知抛物线C：y22px（p0）与直线l：x2y0交于M，N两

22、点，且线段MN的中点为P（8，yP）.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，证明：以弦AB为直径的圆恒过点（4，4）.解：（1）由题知，yP1284.设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），显然x1x2，所以kMNy1y2x1x22py1y212.又y1y22yP8，所以kMN2p8p412，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.（2）证明：当直线m的斜率存在时，由题意知直线m的斜率不为0，设直线m：yk（x8）4（k0），A（x3，y3），B（x4，y4）.联立y2=4x，yk（x8)4，整理得ky24y32k160，0，y3y44k，y3y432

23、16k，所以x3x4y3y4+8k168k+4k216，x3x4（y3y4）21664k+16k264.令Q（4，4），则QAQB（x34）（x44）（y34）（y44）x3x44（x3x4）16y3y44（y3y4）1664k+16k26448k+4k2+16163216k16k160，所以QAQB，故以弦AB为直径的圆恒过点（4，4）.当直线m的斜率不存在时，直线m：x8，此时直线m与抛物线的两个交点分别为（8，42），（8，42），不妨令A（8，42），B（8，42），此时QA（4，424），QB（4，424），则QAQB16（424）（424）0，所以QAQB，故以弦AB为直径的圆过点（4，4）.综上所述，以弦AB为直径的圆恒过点（4，4）