2025年高考数学一轮知识点复习-第8课时-抛物线(一)-专项训练(含答案）.docx

1、抛物线(一)一、单项选择题1抛物线y12x2的焦点坐标为()A(1，0)B12，0C(0，1) D0，122已知抛物线y22px(p0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28x3“米”是象形字数学探究课上，某同学用拋物线C1：y22px(p0)和C2：y22px(p0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在拋物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|2|PQ|4，则p()A2B3 C4D64过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两

2、点，若|FA|3|FB|，则直线l的倾斜角等于()A30或150 B45或135C60或120 D与p值有关5已知点P为抛物线x24y上任意一点，点A是圆x2(y6)25上任意一点，则|PA|的最小值为()A5 B25C35 D656如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是()A(6，10) B(8，12)C6，8 D8，127设抛物线E：y28x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|3，则BCF与ACF的面积之比S

3、BCFSACF()A14B15 C16D178已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14 C12D10二、多项选择题9已知抛物线y2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为18，0B若直线MN过点F，则x1x2116C若MFNF，则|MN|的最小值为12D若|MF|NF|32，则线段MN的中点P到x轴的距离为5810(2024广东揭阳模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l绕点P(2，1)旋转，点Q为C

4、上的动点(O为坐标原点)，则()A以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x1相切B若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条C线段PF的垂直平分线方程为3xy20D过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线有2条11已知抛物线C：x22py(p0)的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点2，12在抛物线上，则()Ap1B当ABy轴时，|AB|4C1AF+1BF为定值1D若AF2FB，则直线AB的斜率为2412已知F为抛物线y24x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是

5、()AOMB的最大值为4B若点A(4，2)，则|PA|PF|的最小值为6C无论过点F的直线l在什么位置，总有OMBOMCD若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线三、填空题13在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40 m，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80 m，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为_m.14已知点P在抛物线C：y22px(p0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点

6、F为C的焦点若HPF60，点P的横坐标为1，则p_15设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|FA|FB|FC|_16已知M(1，2)为抛物线C：y22px(p0)上一点，过点T(0，1)的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，则|TA|TB|_四、解答题17已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若AP3PB，求|AB|参考答案1D抛物线的标准方程为x22y，所以焦点坐标为0，12，故选D.2C根据题意，抛物线y22px(p0)的准线方程为

7、xp2，与y轴平行，若抛物线y22px(p0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则该抛物线上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，故p21，解得p2，故抛物线的标准方程为y24x.故选C.3D因为2|PQ|4，即|PQ|2，由抛物线的对称性知xP1，由抛物线定义可知，|PF1|p2xP，即4p2(1)，解得p6.故选D.4C如图所示，抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线方程为xp2，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A，B，直线l交准线于点C，作BMAA，垂足为M，则AAAF，BBBF，又|FA|3|FB|，所以AM2BF，AB4BF，所以ABM30，即直线l的倾斜角等于AFx6

8、0，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120，故选C.5A圆x2(y6)25的圆心为C(0，6)，半径r5.设Px0，x024，则|PC|2x02+x02462116 x042x023614x024220，当x0216时，|PC|2有最小值20，数形结合可知PAmin |PC|min52555.6B抛物线y28x的准线方程l：x2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心(2，0)，半径R4，所以FAB的周长为|AF|AB|BF|xA2(xBxA)46xB，联立y2=8x，x2+y24x12=0，消去y得x24x120，解得x2(x6舍去)，即交点的横坐标

9、为2，所以xB(2，6)，所以6xB(8，12)，所以FAB的周长的取值范围是(8，12)故选B.7C如图，过点B作BD垂直准线x2于点D，则由抛物线定义可知：|BF|BD|3，设直线AB的方程为xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(2，yC)，不妨设m0，则y10，y20，所以x223，解得x21，则y228x28，解得y222，则B(1，22)，所以22m41，解得m324，则直线AB的方程为x324y4，所以当x2时，即324y42，解得yC42，则C(2，42)，联立x=324y+4，y2=8x，消去x得y262y320，则y1y232，所以y182，其中SBCFSACFB

10、CACy2yCy1yC2212216.故选C.8A由题意知，抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为1k，故l1：yk(x1), l2：y1k(x1)由y2=4x，y=kx1，消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22k2+4k224k2，由抛物线定义可知，|AB|x1x2244k2.同理得|DE|44k2，所以|AB|DE|84k24k2821616.当且仅当1k2k2，即k1时取等号故|AB|DE|的最小值为169BCD抛物线y2x2，即x212y，由抛物线方程知其焦点在

11、y轴上，焦点为F0，18，A错误；依题意，直线MN斜率存在，设其方程为ykx18，由x2=12 y，y=kx+18，消去y整理得x212kx1160，所以x1x2116，x1x212k，B正确；若MFNF，则直线MN过焦点，所以|MN|MF|NF|y118y218kx118kx218+1412k212，所以当k0时|MN|min12，所以|MN|的最小值为抛物线的通径长12，C正确；因为|MF|NF|y118y21832，所以y1y254，即P点纵坐标为y1+y2258，所以P到x轴的距离为58，D正确故选BCD.10AC由抛物线C：y24x可知，C的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.由抛物

12、线的定义可知以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x1相切，A正确；当过点P(2，1)的直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线无公共点；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点P(2，1)的直线方程为l：yk(x2)1，当k0时，直线l：y1与抛物线有且只有一个公共点，当k0时，联立y=kx+2+1，y2=4x，整理可得k2x2(4k22k4)x4k24k10，所以(4k22k4)24k2(4k24k1)0，化简得2k2k10，解得k1或k12，所以此时直线l与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，B错误；线段PF的中点为12，12，又kPF102113，所以线段PF的中垂线方程为y123x+12

13、，即3xy20，C正确；因为|AB|42p，此时线段AB为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，D错误故选AC.11BCD将点2，12代入抛物线方程，可得p2，A错误；焦点F(0，1)，当ABy轴时，点(2，1)，点(2，1)在抛物线上，可得|AB|4，B正确；由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x2=4y，y=kx+1，消去y后整理得x24kx40，可得x1x24k，x1x24，y1y2k(x1x2)24k22，y1y2x12x22161，|AF|y11，|BF|y21，有1AF+1BF1y1+1+1y2+1y1+y2+2y1

14、y2+y1+y2+1y1+y2+2y1+y2+21，C正确；由(x1，1y1)2(x2，y21)，可得2x2x1，由x1+x2=4k，x1x2=4，2x2=x1，得x2=4k，2x22=4，解得k24，D正确故选BCD.12ACD设直线MB的方程为x1my，与抛物线的方程y24x联立，可得y24my40，当且仅当MB与抛物线相切时，OMB取得最大值由16m2160，即m1，直线MB的斜率为1，此时OMB取得最大值4，A正确；设点A在准线x1上的射影为A(1，2)，设P到准线的距离为d，则|PA|PF|PA|d|AA|5，当且仅当A，P，A三点共线时等号成立，B错误；M(1，0)，设直线BC的方

15、程为xny1，代入抛物线的方程y24x，可得y24ny40，设By124，y1，Cy224，y2，可得y1y24n，y1y24，则kMBkMCy1y124+1+y2y224+1y1+y2y1y24+1y124+1y224+10，故MB，MC的倾斜角互补，所以OMBOMC.C正确；由C的分析可知D(1，y2)，kOBy1y1244y1，kODy2，由于y1y24，则kOBkOD，可得三点B，O，D在同一条直线上D正确故选ACD.1380以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，由题意得A(80，40)，将其代入抛物线方程得6 40080p，

16、解得p80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80 m.1423如图所示，不妨设点P在第一象限，联立y2=2px，x=1，可得x=1，y=2p，即点P(1，2p)易知PHy轴，则PHx轴，则xFPHPF60，所以直线PF的倾斜角为60，易知点Fp2，0，所以kPF2p1p23，整理可得22p3(2p)，且有2p0，故0p2，等式22p3(2p)两边平方可得3p220p120，即(3p2)(p6)0，解得p23(p6舍去)153由题意可知，点F的坐标为12，0，又F为ABC的重心，故xA+x+xC312，即xAxBxC32.又由抛物线的定义可知|FA|FB|FC|xAxBxC3232+32316

17、2由点M(1，2)在抛物线C：y22px上得：222p，即p2，所以抛物线C的方程为y24x，由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB的方程为ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线MA与MB的倾斜角互补得kMAkMB0，即y12x11+y22x21y12y1241+y22y22414y1+y2+4y1+2y2+20，所以y1y24，联立y=kx+1，y2=4x，得ky24y40，所以y1y24k，y1y24k，所以4k4，即k1，所以y1y24，所以|TA|TB|x12+y112x22+y212x12+kx12x22+kx22(1k2)x1x2(1k2)y1y242217解：设直线l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F34，0，故|AF|BF|x1x2324，所以x1x252.由y=32x+t，y2=3x， 可得9x212(t1)x4t20，则x1x212t19.从而12t1952，得t78.所以l的方程为y32x78.(2)由AP3PB得y13y2.由y=32x+t，y2=3x，得y22y2t0.所以y1y22.从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x213.故|AB|4133