2025年高考数学一轮知识点复习-余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练(含解析）.docx

1、余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练（原卷版）【基础落实练】1.如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18角的方向继续飞行到终点B.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多了(sin 120.21,sin 180.31)()A.10 km B.20 km C.30 km D.40 km【加练备选】一船以每小时152 km 的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距

2、离为()A.60 km B.602 kmC.302 km D.30 km2.墨经经说下中有这样一段记载:“光之人,煦若射.下者之人也高,高者之人也下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光,故成景于下.在远近有端,与于光,故景库内也.”这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验,已知物距像距=61,OA=OB=12,cosAOB=2332,则像高为()A.1 B.32 C.212 D.4123.宝塔山是延安的标志,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为73(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得CAD=15,从A处沿山

3、坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得CBD=30,则宝塔CD的高为()A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m4.如图是国家博物馆.欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部),现从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30,45,且ABO=60,AB=602 m,则OP=()A.40 m B.30 mC.302 m D.303 m5.(多选题)如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,若测得CD=32 km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,则下列计算结果正确的有()A.A

4、C=22 km B.BC=34 kmC.DBC=45 D.AB=64 km6.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75,距离126 n mile;在A处看灯塔C在货轮北偏西30,距离83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60,则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24 n mileB.灯塔C与D处之间的距离是16 n mileC.灯塔C在D处的西偏南60D.D在灯塔B的北偏西307.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方

5、向是北偏东65,则B,C两点间的距离是海里.8.甲船在A处发现乙船在其北偏东60方向上的B处,乙船正在以a n mile/h的速度向北行驶,已知甲船的速度是3a n mile/h,则甲船应沿着方向前进,才能最快与乙船相遇.9.为了测出图中草坪边缘A,B两点间的距离,找到草坪边缘的另外两个点C与D(A,B,C,D四点共面),测得AC=1.6 m,CD=2 m,BD=1.8 m,已知cosBDC=-74,tanACD=37.(1)求ACD的面积;(2)求A,B两点间的距离.【能力提升练】10.(多选题)如图,某校测绘兴趣小组为测量千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度AB,选取与点B在同一水平面内的两点C

6、与D(B,C,D不在同一直线上),画一条基线,测得CD=s,测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有:ACB,ACD,BCD,ADB,ADC,BDC,则根据下列各组中的测量数据可计算出AB的高度的是()A.s,ACB,BCD,BDCB.s,ACB,BCD,ACDC.s,ACB,ACD,ADCD.s,ACB,BCD,ADC【加练备选】小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图中阴影部分所示),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得两个角P1P2D=,P2P1D=,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数

7、据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是()DP1C和DCP1;P1P2C和P1CP2;P1DC和DCP1.A.和 B.和C.和 D.和和11.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600 kmA处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A.14 h B.15 h C.16 h D.17 h12.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作,最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,AB=2 km,BC=1 km,BAD=45,B=6

8、0,BCD=105,则该绿化区域的面积是km2.13.如图,曲柄连杆结构中,曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200 mm,曲柄CB长70 mm,则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时,活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为mm.(结果保留整数)(参考数据:sin 53.20.8)14.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14n m

9、ile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.15.某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30,求塔高.【创新思维练】16.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即ABC)约为

10、32.5,夏至正午太阳高度角(即ADC)约为79.5,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14米,则表高(即AC的长)约为()(其中tan 32.535,tan 79.5275)A.9.27米 B.9.33米 C.9.45米 D.9.51米余弦定理、正弦定理应用举例-专项训练（解析版）【基础落实练】1.如图,一架飞机从A地飞往B地,两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从A点起飞以后,就沿与原来的飞行方向AB成12角的方向飞行,飞行到中途C点,再沿与原来的飞行方向AB成18角的方向继续飞行到终点B.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多了(sin 120.

11、21,sin 180.31)()A.10 km B.20 km C.30 km D.40 km【解析】选B.在ABC中,由A=12,B=18,得C=150,由正弦定理得500sin150=BCsin12=ACsin18,所以50012BC0.21AC0.31,所以AC310 km,BC210 km,所以AC+BC-AB20 km.【加练备选】一船以每小时152 km 的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60 km B.602 kmC.302 km D.30 km【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC

12、中,BAC=30,AC=4152=602,B=45,由正弦定理得ACsinB=BCsinBAC,所以BC=ACsinBACsinB=602sin30sin45=60,所以船与灯塔的距离为60 km.2.墨经经说下中有这样一段记载:“光之人,煦若射.下者之人也高,高者之人也下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光,故成景于下.在远近有端,与于光,故景库内也.”这对小孔成像有了第一次的描述.如图为一次小孔成像实验,已知物距像距=61,OA=OB=12,cosAOB=2332,则像高为()A.1 B.32 C.212 D.412【解析】选B.由cosAOB=2332,则cosAOB=2332,又OA=OB

13、=12,则AB2=OA2+OB2-2OAOB2332=81,即AB=9,又物距像距=61,即AB=16AB=32,即像高为32.3.宝塔山是延安的标志,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为73(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得CAD=15,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得CBD=30,则宝塔CD的高为()A.44 m B.42 m C.48 m D.46 m【解析】选A.由题可知CAD=15,CBD=30,则ACB=15,所以BC=AB=66,设坡角为,则由题可得tan =73,则可求得cos

14、 =34,在BCD中,BDC=+2,由正弦定理可得CDsin30=BCsin(+2),即CD12=66cos=6634,解得CD=44,故宝塔CD的高为44 m.4.如图是国家博物馆.欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部),现从地面上的两点A,B测得点P的仰角分别为30,45,且ABO=60,AB=602 m,则OP=()A.40 m B.30 mC.302 m D.303 m【解析】选C.设OP=h,由题意知,OAP=30,OBP=45.在RtAOP中,OA=OPtan30=3h,在RtBOP中,OB=OP=h.在ABO中,由余弦定理得AO2=BA2+OB2-2BA

15、OBcos 60,即h2+302h-3 600=0,解得h=302(m).5.(多选题)如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,若测得CD=32 km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,则下列计算结果正确的有()A.AC=22 km B.BC=34 kmC.DBC=45 D.AB=64 km【解析】选CD.在BCD中,DBC=180-CDB-ACD-ACB=45,由正弦定理得BC=DCsinDBCsin BDC=32sin45sin 30=64(km).在ACD中,因为ADC=ADB+CDB=60,ACD=60,

16、所以DAC=60,所以AC=DC=32 km,在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45=34+38-2326422=38.所以AB=64 km.6.(多选题)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75,距离126 n mile;在A处看灯塔C在货轮北偏西30,距离83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60,则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24 n mileB.灯塔C与D处之间的距离是16 n mileC.灯塔C在D处的西偏南60D.D在灯塔B的北偏西30【解析】选AC.由题意可知ADB=60,BAD=75,CAD=30,所

17、以B=180-60-75=45,AB=126,AC=83,在ABD中,由正弦定理得ADsinB=ABsinADB,所以AD=1262232=24(n mile),故A正确;在ACD中,由余弦定理得CD=AC2+AD2-2ACADcosCAD,即CD=(83)2+242-2832432=83(n mile),故B错误;因为CD=AC,所以CDA=CAD=30,所以灯塔C在D处的西偏南60,故C正确;由ADB=60,D在灯塔B的北偏西60处,故D错误.7.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东7

18、0,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,则B,C两点间的距离是海里.【解析】如图所示,易知,在ABC中,AB=20,CAB=30,ACB=45,在ABC中,根据正弦定理得BCsin30=ABsin45,解得BC=102(海里).答案:1028.甲船在A处发现乙船在其北偏东60方向上的B处,乙船正在以a n mile/h的速度向北行驶,已知甲船的速度是3a n mile/h,则甲船应沿着方向前进,才能最快与乙船相遇.【解析】如图所示,设经过t h两船在C点相遇.在ABC中,BC=at,AC=3at,B=180-60=120.由BCsinCAB=ACsinB得sin CAB=BCsinBAC=at

19、sin1203at=12.因为0CABBC,所以ACBBAC,故BAC为锐角,所以cosBAC1-(725)2=2425,cosACB1-(45)2=35,所以sinABC=sin(ACB+BAC)452425+35725=117125,所以AC=ABsinABCsinACB20011712554=234.故A0A=(A0B0+B0C)-AC(200+70)-234=36(mm).所以曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2时,活塞移动的距离约为36 mm.答案:3614.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向,相距12n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10n m

20、ile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,ABC=120.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得BCsin=ACsin120,所以sin =20sin12028=5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角的正弦值为5314.15.某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后,望见塔

21、在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30,求塔高.【解题指南】依题意画图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40米,此时DBF=45,从C到D沿途测塔的仰角,只有B到测试点的距离最短时,仰角才最大,这是因为tanAEB=ABBE,AB为定值,BE最小时,仰角最大,要求出塔高AB,必须先求BE,而求BE,需先求BD(或BC).【解析】如图所示,某人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,CD=40,此时DBF=45,过点B作BECD于E,则AEB=30.在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135.由正弦定理,得CDsinDBC=BDsinBCD.所以BD=40sin30sin13

22、5=202.BDE=180-135-30=15.在RtBED中,BE=DBsin 15=2026-24=10(3-1).在RtABE中,AEB=30,所以AB=BEtan 30=103(3-3).故所求的塔高为103(3-3)米.【创新思维练】16.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即AB

23、C)约为32.5,夏至正午太阳高度角(即ADC)约为79.5,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14米,则表高(即AC的长)约为()(其中tan 32.535,tan 79.5275)A.9.27米 B.9.33米C.9.45米 D.9.51米【解析】选C.由题可知:BAD=79.5-32.5=47,设BD=a=14米,在BAD中,由正弦定理可知:BDsinBAD=ADsinABD,即asin47=ADsin32.5,则AD=asin32.5sin47,又在ACD中,ACAD=sinADC=sin 79.5,所以AC=asin32.5sin79.5sin47=asin32.5sin

24、79.5sin(79.5-32.5)=asin32.5sin79.5sin79.5cos32.5-cos79.5sin32.5=a11tan32.5-1tan79.5=a153-527=9.45(米).17. 如图所示,A,B,C为三个村庄,AB=7 km,AC=5 km,BC=8 km,则ACB=;若村庄D在线段BC中点处,要在线段AC上选取一点E建一个加油站,使得该加油站到村庄A,B,C,D的距离之和最小,则该最小值为km.【解析】在ABC中,由余弦定理得cosACB=AC2+BC2-AB22ACBC=25+64-4980=12,因为0ACB180,所以ACB=60;如图:作D关于AC的对称点F,则DE=FE,DC=FC=4,ACB=ACF=60,所以BCF=120,当且仅当B,E,F三点共线时,BE+EF最小,BF2=BC2+CF2-2BCCFcosBCF=82+42-284(-12)=112,BF=47,所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EFAC+BF=47+5.当且仅当B,E,F三点共线时,等号成立.答案:6047+5