2025年高考数学一轮知识点复习-圆锥曲线中的范围、最值问题-专项训练(含答案）.docx

1、圆锥曲线中的范围、最值问题1双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且ABD是直角三角形(1)求双曲线C的方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k22，求点A到直线MN的距离d的取值范围2过坐标原点O作圆C：(x2)2y23的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：y22px(p0)的准线(1)求抛物线E的标准方程；(2)设点T是圆C上的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：TA2TM，TB2TN，设AB中点为D.求直线TD的斜率；设TAB的面积为S，求S的最大值3已

2、知椭圆C：x2a2+y2b21(ab0)的左焦点为F，点F到椭圆C上的点的距离的最小值是1，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交椭圆C于另一点E，求AEF的内切圆半径的取值范围4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x 轴时， |MF|3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C 的另一个交点分别为A，B，记直线MN, AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程参考答案1解：(1)依题意，BAD90，焦半径c2，由|AF|BF|，得acb2a，得a22

3、a22a2，解得a1(其中a20舍去)，所以b2c2a2413，故双曲线C的方程为x2y231.(2)显然直线MN不可能与坐标轴平行，故可设直线MN的方程为xmyn，联立x=my+n，3x2y2=3，消去x整理得(3m21)y26mny3(n21)0，在条件3m210，0下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y26mn3m21，y1y23n213m21，由k1k22，得y1y22(x11)(x21)0，即y1y22(my1n1)(my2n1)0，整理得(2m21)y1y22m(n1)(y1y2)2(n1)20，将代入中可得3(n21)(2m21)12m2n(n1)2(n1)2(3m2

4、1)0，化简可消去所有的含m的项，解得n5或n1(舍去)，则直线MN的方程为xmy50，得d6m2+1，又M，N都在双曲线的右支上，故有3m210，0m213，此时1m2+123，d6m2+1(33，6，所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(33，6.2解：(1)设直线PQ与x轴交于点P0p2，0.由几何性质易得CPP0与OCP相似，所以CPCP0COCP，即|CP|2|CP0|CO|，所以3p2+22，解得p1 所以抛物线E的标准方程为y22x.(2)设T(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意可知，TA的中点M在抛物线E上，即y0+y1222x0+x12，又y122x1，

5、将x1y122代入，得y122y0y1+4x0y020，同理y222y0y2+4x0y020，有y1+y2=2y0，y1y2=4x0y02，此时D点纵坐标为y1+y22y0，所以直线TD的斜率为0.因为x1+x22y12+y224y1+y222y1y243y024x02，所以点D3y024x02，y0，此时S12|TD|y1y2|，|TD|3y024x02x032|y022x0|，|y1y2|y1+y224y1y28y022x0，所以S322y022x03.又因为点T在圆C上，有x0+22+y023，即y02x024x01，代入上式可得：S322x026x013322x0+32+83，因为23

6、x023，所以x03时，S取到最大值3228348.所以S的最大值为48 3解：(1)依题意ac=1，ca=12，a2=b2+c2，解得a2，b3，所以椭圆C的方程为x24+y231.(2)因为AE不与坐标轴垂直，可设直线AE的方程为xmyt(m0)，设点A(x1，y1)(y10)，E(x2，y2)，则B(x1，y1)，联立x=my+t，x24+y23=1，得(3m24)y26mty3t2120，则48(3m2t24)0，y1y26mt3m2+4，y1y23t2123m2+4，因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以y2+y1x2x1y1x14，所以x1y2x2y14(y1y2)，将x1m

7、y1t，x2my2t代入，化简可得y1+y2y1y22m4t，故2m4t6mt3t212，解得t1，满足48(3m23)0，所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆的右焦点，设所求内切圆的半径为r，因为SAEF124ar4r，所以rSAEF4SFQA+SFQE412FQy1y24y1+y224y1y243m2+13m2+4，令um2+1(u1)，则m2u21，所以r3u3u2+133u+1u，因为u1，对勾函数y3u1u在区间(1，)上单调递增，所以3u1u4，则0r34.所以AEF内切圆半径r的取值范围为0，34.4解：(1)抛物线的准线为xp2，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时

8、|MF|pp23，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)设My124，y1，Ny224，y2，Ay324，y3，By424，y4，直线MN：xmy1，由x=my+1，y2=4x，可得y24my40，则10，y1y24.当直线MN的斜率存在时，由斜率公式可得kMNy1y2y124y2244y1+y2，kABy3y4y324y4244y3+y4，直线MD：xx12y1y2，代入抛物线方程可得y24x12y1y80，20，y1y38，所以y32y2，同理可得y42y1，所以kAB4y3+y442y1+y2kMN2.又因为直线MN，AB的倾斜角分别为，所以kABtan kMN2tan2，若要使最大，则0，2，设kMN2kAB2k0，则tan ()tantan1+tantank1+2k211k+2k121k2k24，当且仅当1k2k，即k22时，等号成立，所以当 最大时，kAB22，设直线AB：x2yn，代入抛物线方程可得y242y4n0，30，y3y44n4y1y216，所以n4，所以直线AB：x2y4 .当直线MN的斜率不存在时，90，0，tan ()24.综上，直线AB的方程为x2y4，即x2y40