2025年高考数学一轮知识点复习-2.3.2函数性质的综合应用-专项训练(含答案）.docx

1、第二章 函数的概念与性质第三节函数的奇偶性、周期性与对称性第2课时函数性质的综合应用1.如果奇函数f（x）在3，7上单调递增且最小值为5，那么f（x）在7，3上（）A.单调递增且最小值为5B.单调递减且最小值为5C.单调递增且最大值为5D.单调递减且最大值为52.已知奇函数f（x）的图象关于直线x1对称且f（5）1，则f（2 025）（）A.1B.1C.0D.33.已知函数f（x）（xR）满足f（x）2f（x），若函数yx+1x与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则i=1m（xiyi）（）A.0B.mC.2mD.4m4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（

2、5.5）2，g（x）（x1）f（x），若g（x1）是偶函数，则g（0.5）（）A.3B.2C.2D.35.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2x）f（x）成立，且f（1）1，则（）A.（1，0）是函数f（x）的一个对称中心B.函数f（x）的一个周期是4C.f（3）1D.f（2）06.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）f（y）f（xy）1，且f（1）0，当x1时，f（x）0，则下列结论正确的是（）A.f（0）1B.f（1）2C.yf（x）1为奇函数D.f（x）为增函数7.已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f（1）1，f

3、（5）2a3，则实数a的取值范围为.8.已知f（x）为定义在1，1上的偶函数，且在1，0上单调递减，则满足不等式f（2a）f（4a1）的a的取值范围是.9.（2024重庆一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数且f（0）2，g（x）f（x1）是奇函数，则f（1）f（2）f（3）f（2 025）.10.定义在（0，）上的函数f（x）满足下面三个条件：对任意正数a，b，都有f（a）f（b）f（ab）；当x1时，f（x）0；f（2）1.（1）求f（1）和f（14）的值；（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，）上是减函数.11.已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）f（y）f（x

4、y）xy1，若f（1）1，则满足f（n）n（nN）的n的个数是（）A.1B.2C.3D.412.已知函数f（x）的定义域为R，g（x）f（2x）f（2x），h（x）f（2x）f（x），则下述结论正确的是（）A.g（x）的图象关于点（1，0）对称B.g（x）的图象关于y轴对称C.h（x）的图象关于直线x1对称D.h（x）的图象关于点（1，0）对称13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，bR，当ab0时，都有f（a）f（b）ab0.（1）若ab，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（1m）f（32m）0，求实数m的取值范围.14.（多选）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x

5、）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（，0上单调递减，则（）A.f（f（1）f（f（2）B.f（g（1）f（g（2）C.g（f（1）g（f（2）D.g（g（1）g（g（2）15.对于定义域为D的函数yf（x），如果存在区间m，nD，同时满足：f（x）在m，n内是单调函数；当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n，则称m，n是该函数的“优美区间”.（1）求证：0，2是函数f（x）12x2的一个“优美区间”；（2）求证：函数g（x）46x不存在“优美区间”.参考答案与解析1.C奇函数的图象关于原点对称，因为奇函数f（x）在3，7上单调递增且最小值为5，所以f（x）在7，3上单调递增且

6、最大值为5，故选C.2.Bf（x）的图象关于直线x1对称，f（x）f（x2），又f（x）为奇函数，f（x）f（x），f（x2）f（x），f（x4）f（x），f（x）是周期为4的周期函数，f（2 025）f（1）f（5）1.3.Bf（x）f（x）2，yx+1x11x，函数yf（x）与yx+1x的图象都关于点（0，1）对称， i=1mxi0，i=1myim22m，i=1m（xiyi）0mm.4.D因为g（x1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x1对称，又g（x1）xf（x1），所以f（x 1）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T4，所以f（

7、0.5）f（0.5）f（1.5）f（5.5）2，所以g（0.5）1.5f（0.5）3.5.BCDf（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，f（x）关于（0，0）对称，因为f（2x）f（x），所以f（x）关于直线x1对称，f（x4）f（x），且f（1）1，所以函数f（x）的周期为4，f（3）f（1）1，f（2）f（0）0.故选B、C、D.6.ABC对于选项A，令xy0，得f（0）1，故选项A正确；对于选项B，令x1，y1，得f（1）2，故选项B正确；对于选项C，令yx，得f（x）f（x）2，故f（x）1f（x）10，所以yf（x）1为奇函数，故选项C正确；对于选项D，因为 f（0）f（1），

8、所以f（x）不是增函数，故选项D错误.故选A、B、C.7.（，2）解析：f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，f（5）f（56）f（1） f（1），f（1）1，f（5）2a31，即a2.8.0，16解析：因为f（x）为定义在1，1上的偶函数，且在1，0上单调递减，所以f（x）在0，1上单调递增，所以12a1，14a11，2a4a1，所以0a16.9.0解析：f（x）是R上的偶函数，且g（x）f（x1）为奇函数，f（x）的图象关于点（ 1，0）对称，f（x1）f（x1）f（x1），f（x1）f（x1），f（x2）f（x），f（x）的周期为4.f（0）2，f（1）f（1）0，f（2）f（0）2，

9、f（3）f（1） 0，f（4）f（2） 2，f（1）f（2）f（2 025）f（1）f（2）f（3）f（4）506f（1）0.10.解：（1）令ab1得f（1）f（1）f（1），则f（1）0，而f（4）f（2）f（2）112，且f（4）f（14）f（1）0，则f（14）2.（2）证明：取定义域中任意的x1，x2，且0x1x2，x2x11，当x1时，f（x）0，f（x2x1）0，f（x2）f（x1）f（x1x2x1）f（x1）f（x1）f（x2x1）f（x1）f（x2x1）0，即f（x2）f（x1），f（x）在（0，）上是减函数.11.A法一（常规解法）令y1，则f（x1）f（x）x2，即f（x

10、1）f（x）x2，所以f（x）f（x1）x1，f（x1）f（x2）x，f（2）f（1） 3，累加得f（x）f（1）x2+3x42，则f（x）x（x+3）21，所以f（n）n（n+3）21，又f（n）n，解得n2或n1，又nN，所以n1.故选A.法二（模型解法）由f（x）f（y）f（xy）xy1，可设函数f（x）12x2bx1，由f（1）1，得b32，故f（x）12x232x1，由f（n）n，即12n232n1n，解得n2或n1，又nN，所以n1.故选A.12.C因为函数f（x）的定义域为R，且g（x）f（2x）f（2x），所以g（2x）f2（2x）f2（2x）f（x）f（4x），则g（x）g（

11、2x）不一定为0，所以函数g（x）的图象不一定关于点（1，0）对称，选项A错误；g（x）f（2x） f（2x），即g（x） g（x），所以函数g（x）为奇函数，则函数g（x）的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h（x）f（2x）f（x），所以 h（2x）f2（2x）f（2x）f（x）f（2x），所以h（2x）h（x），所以函数h（x）的图象关于直线x1对称，所以选项C正确，选项D错误.故选C.13.解：（1）因为ab，所以ab0，由题意得f（a）f(b）ab0，所以f（a）f（b）0.又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（b）f（b），所以f（a）f（b）0，即f（a）f（b）.（2）

12、由（1）知f（x）为R上的增函数，因为f（1m）f（32m）0，所以f（1m）f（32m），即f（1m）f（2m3），所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为（，4.14.BD因为f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（，0上单调递减，所以f（x）在0，）上单调递增，g（x）在0，）上单调递减，即g（x）在R上为减函数，所以f（1） f（2），g（2）g（1）g（0）0，所以f（g（1）f（g（2），g（f（1）g（f（2），g（g（1）g（g（2），故B、D正确，C不正确；若f（1）f（2）0，则f（f（1）f（f（2），故A不正确.综上所述，故选B、D. 15.证明：（1）易知f（x）12x2在区间0，2上单调递增，又f（0）0，f（2）2，f（x）12x2在区间0，2上的值域为0，2，区间0，2是f（x）12x2的一个“优美区间”.（2）设m，n是函数g（x）的定义域的子集.由x0，可得m，n（，0）或m，n（0，），函数g（x）46x在m，n上单调递减.假设m，n是函数g（x）的“优美区间”，则4+6mn，4+6nm，两式相减得， 6m6nnm，则6（nm）mnnm，nm，mn6，n6m，则46m6m，显然等式不成立，函数g（x）46x不存在“优美区间”.