2025年高考数学一轮知识点复习-基础课14 函数的零点与方程的解-专项训练(含解析）.docx

1、函数的零点与方程的解-专项训练【原卷版】基础巩固练1. 已知函数fx=2x2-3x-5，则fx的零点为（ ）.A. 1和-52B. -1和52C. -1,0和(52,0)D. (-52,0)和1,02. 已知函数fx=2x-1,x0,x2-3x+1,x0,则函数fx的零点的个数为（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 33. 某同学用二分法求函数fx=2x+3x-7的零点时,计算出如下结果：f1.5=0.33,f1.25=-0.87,f1.375=-0.28,f1.4375=0.02,f1.4065=-0.13,f1.422=-0.05.下列说法正确的是（ ）.A. 1.4065是满足精度为0.

2、01的近似值B. 1.375是满足精度为0.1的近似值C. 1.4375是满足精度为0.01的近似值D. 1.25是满足精度为0.1的近似值4. 函数fx=3x-ln x的零点所在的区间为（ ）.A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,45. 已知函数fx=2x+x，gx=log2x+x，hx=x3+x的零点分别为a,b,c，则（ ）.A. cbaB. acbC. cabD. ba0,若函数gx=fx-b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）.A. (0,1B. 0,1C. 0,1D. 1,+8. 若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间1,4内有解，则实数a的取值范围是（ ）.

3、A. -,2B. -,-2C. -6,+D. -,-6综合提升练9. （多选题）已知当x0时,xlog2x,则关于函数fx=2x,x0,log2x,x0,下列说法正确的是（ ）.A. 方程fx=x的解只有一个B. 方程ffx=1的解有五个C. 方程ffx=t0t1的解有五个10. （多选题）已知函数fx=ex+x-2的零点为a，函数gx=ln x+x-2的零点为b，则下列不等式成立的是（ ）.A. ea+ln b2B. ea+ln b=2C. a+b=2D. ab111. 若函数fx=-12x+1,x2, fx-2,x2与函数gx=logax+3(a0且a1)的图象有且仅有一个交点，则实数a的

4、取值范围为_.12. 已知函数fx=2x+22,x1, log2x-1,x1,则函数Fx=ffx-2fx-32的零点个数是_应用情境练13. （双空题）设函数y=fx的定义域为R，且满足f1+x=f1-x，fx-2+f-x=0，当x-1,1时，fx=-x+1，则2023k=1fk=_，函数y=fx-lg x有_个零点.14. 已知函数fx的定义域为(0,12，恒有fx+4=4fx，当x(0,4时，fx=2x-2-2.若函数gx=fx2+tfx有4个零点，则实数t的取值范围为_创新拓展练15. 已知函数fx=x+1,x0, log4x,x0,若方程fx=k有4个不同的根x1,x2,x3,x4,且

5、x1x2x30有两个“不动点”x1,x2，且x10,则函数fx的零点的个数为（ D ）.A. 0B. 1C. 2D. 3解析当x0 时，令fx=2x-1=0，可得x=0；当x0 时，令x2-3x+1=0，可得x=3+52 或x=3-52.综上所述，函数fx 的零点为0，3+52，3-52，共3个.故选D.3. 某同学用二分法求函数fx=2x+3x-7的零点时,计算出如下结果：f1.5=0.33,f1.25=-0.87,f1.375=-0.28,f1.4375=0.02,f1.4065=-0.13,f1.422=-0.05.下列说法正确的是（ B ）.A. 1.4065是满足精度为0.01的近似

6、值B. 1.375是满足精度为0.1的近似值C. 1.4375是满足精度为0.01的近似值D. 1.25是满足精度为0.1的近似值解析f1.4375=0.020,f1.4065=-0.130.01,A错误;f1.375=-0.280,f1.4375=0.020,又1.4375-1.375=0.0620.1,B正确,D错误;f1.422=-0.050,1.4375-1.422=0.01550.01，C错误.故选B.4. 函数fx=3x-ln x的零点所在的区间为（ C ）.A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4解析依题意，函数fx=3x-ln x 的定义域为0,+，而y=3x 在0,+

7、 上单调递减，y=-ln x在0,+ 上单调递减,所以fx 在0,+ 上单调递减.因为e34，所以e322，即e3221，所以f2=32-ln 2=ln e32-ln 2=ln e3220，f3=1-ln 3=ln e-ln 3=ln e3ln 1=0，所以f2f30，所以函数fx=3x-ln x 在区间2,3 上有零点.故选C.5. 已知函数fx=2x+x，gx=log2x+x，hx=x3+x的零点分别为a,b,c，则（ B ）.A. cbaB. acbC. cabD. bac解析在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=log2x,y=x3,y=-x的大致图象如图所示.由图象知ac0,若函数

8、gx=fx-b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（ A ）.A. (0,1B. 0,1C. 0,1D. 1,+解析依题意，作出y=fx 的图象与直线y=b,如图所示，因为函数gx=fx-b 有四个不同的零点，所以方程fx=b 有四个不同的解，所以函数y=fx 的图象与直线y=b 有四个不同的交点，结合图象，可知实数b 的取值范围为(0,1.故选A.8. 若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间1,4内有解，则实数a的取值范围是（ B ）.A. -,2B. -,-2C. -6,+D. -,-6解析不等式等价于存在x1,4,使ax2-4x-2,即ax2-4x-2max,设y=x2-4x-2=

9、x-22-6,当x1,4 时，y-6,-2),则a0时,xlog2x,则关于函数fx=2x,x0,log2x,x0,下列说法正确的是（ ACD ）.A. 方程fx=x的解只有一个B. 方程ffx=1的解有五个C. 方程ffx=t0t1的解有五个解析作出fx=2x,x0log2x,x0 的图象,如图,因为当x0 时，xlog2x,所以y=x 与y=fx 有唯一交点,A正确;令fx=t,则ft=1t=0 或t=12 或t=2fx=0 或fx=12 或fx=2，易知fx=0 时有1个解，fx=12时有3个解，fx=2时有2个解，共6个解,B错误;令u=fx,则fu=t0,1u10,u20,1,u31

10、,2fx12B. ea+ln b=2C. a+b=2D. ab1解析令fx=0，gx=0，则ex=2-x，ln x=2-x，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=ex,y=ln x,y=2-x的大致图象，如图所示.因为函数fx=ex+x-2 的零点为a，函数gx=ln x+x-2 的零点为b，所以Aa,ea,Bb,ln b，由y=2-x, y=x, 得x=1, y=1. 因为函数y=ex 与y=ln x 互为反函数，所以由反函数的性质知Aa,ea，Bb,ln b关于点1,1 对称，则a+b=2，ea+ln b=2，所以aba+b24=1，当且仅当a=b=1 时，等号成立.所以A，D错误，B，C

11、正确.故选BC.11. 若函数fx=-12x+1,x2, fx-2,x2与函数gx=logax+3(a0且a1)的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围为0,1(1,5 .解析当x2 时，由fx=fx-2，知此时fx 的周期T=2.当x(2,4 时，x-2(0,2，fx=fx-2=-12x-2+1=-12x+2，作出分段函数fx 的部分图象.当0a1 时，由图1可知，0a1 时，如图2，则g21，即loga51，即11,则函数Fx=ffx-2fx-32的零点个数是4.解析令t=fx，则Fx=0 等价于ft=2t+32，作出y=fx 的图象和直线y=2x+32，如图所示.由图象可得函数y=fx

12、 的图象与直线y=2x+32 有两个不同的交点，设这两个交点的横坐标分别为t1,t2,则t1=0,t21,2.当fx=t1 时，x=2，有1个解；当fx=t2 时，有3个解.综上所述，Fx=0共有4个解，即函数Fx 有4个零点.应用情境练13. （双空题）设函数y=fx的定义域为R，且满足f1+x=f1-x，fx-2+f-x=0，当x-1,1时，fx=-x+1，则2023k=1fk=-1 ，函数y=fx-lg x有10个零点.解析由f1+x=f1-x，知函数fx 的图象关于直线x=1 对称，且f-x=f2+x，由fx-2+f-x=0，知函数fx 的图象关于点-1,0 对称，且f-x=-fx-2

13、，所以f2+x=-fx-2，故f4+x=-fx，则fx+8=-fx+4=fx，故函数fx 的周期为8.当x-1,1 时,fx=-x+1，根据周期和对称性可作出fx 的图象，如图所示.由图可知，f1=0,f2=1,f3=0,f4=-1,f5=0,f6=-1,f7=0,f8=1，得f1+f2+f8=0，所以2023k=1fk=2520+f1+f2+f7=-1.由y=lg x 在-,0 上单调递减，且lg-10=1,lg-1=0;在0,+ 上单调递增，且lg10=1,lg1=0.结合图象，得y=fx 和y=lg x 的图象有10个交点，即函数y=fx-lg x 有10个零点.14. 已知函数fx的定

14、义域为(0,12，恒有fx+4=4fx，当x(0,4时，fx=2x-2-2.若函数gx=fx2+tfx有4个零点，则实数t的取值范围为-32,-28 .解析当x(4,8 时，x-4(0,4，则fx=fx-4+4=4fx-4=42x-6-2.当x(8,12 时，x-8(0,4，则fx=fx-4+4=4fx-4=4fx-8+4=16fx-8=162x-10-2.所以fx=2x-2-2,x(0,4, 42x-6-2,x(4,8, 162x-10-2,x(8,12, 则f3=f7=f11=0，作出fx 的大致图象如图所示.令gx=fx2+tfx=0，可得fx=0 或fx=-t.由题意得方程gx=0 有

15、4个根,由fx=0，可得x=3 或x=7 或x=11，所以fx=-t 仅有1个根，又1628-10-2=28，f12=16212-10-2=32，则28-t32，解得-32t-28.创新拓展练15. 已知函数fx=x+1,x0, log4x,x0,若方程fx=k有4个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则4x3x42-x4x1+x2的取值范围是42,9 .解析作出函数y=fx 与y=k 的图象，如图，由方程fx=k 有4个不同的根x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,可知x1,x2关于x=-1 对称,则x1+x2=-2；且0x31x44,则log4x3=log4x4,即l

16、og4x3=-log4x4,则log4x3+log4x4=0,即log4x3x4=0，则x3x4=1，当log4x=1 时，x=4或14,则1x44，14x31.所以4x3x42-x1+x2x4=2x4+4x4,1x44，令y=2x+4x10有两个“不动点”x1,x2，且x10 有两个“不动点”x1,x2，所以ax2+b-1x+1=0 的解为x1,x2，则x1x2=1a0，x1+x2=1-ba.令gx=ax2+b-1x+1，且0x12.当0x12 时，若0x2x1，则x2-x1=x1-x2x12，不满足题意，若0x12，即函数gx=ax2+b-1x+1 的两个零点分别在区间0,2,2,+内，所以g20，即4a+2b-10,所以x2-x12=x2+x12-4x1x2=b-12a2-4a=4，化简得2a+1=b-12+1，所以2b-12+13-2b，解得b14.当-2x10 时,若x1x20，则x2-x1=x2-x1-x12，不满足题意，若x2x10，则x2-x1=x1-x2=2，即x2=x1-2-2，即函数gx=ax2+b-1x+1 的两个零点分别在区间-,-2,-2,0内，所以g-20，即4a-2b+30.又2a+1=b-12+1，所以2b-12+174.综上所述，实数b 的取值范围是(- ,14)(74,+).