2025年湖南中考数学二轮复习专题突破专题二　二次函数的综合.pptx

1、2025年湖南中考数学二轮复习专题突破年湖南中考数学二轮复习专题突破专题二二次函数的综合专题二二次函数的综合类型类型1 1线段最值问题例(2022常德)如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直线x=2.(1)求此抛物线的表达式；(2)点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.当OAB的面积为15时,求点B的坐标；(3)在(2)的条件下,P是抛物线上的动点,当PAPB的值最大时,求点P的坐标以及PAPB的最大值.【思路分析】(1)先由题意得出抛物线与x轴的另一个交点坐标,再设出交点式,最后代入点A的坐标求出抛物线的表达式；(2)先由题意设出点B的坐标,再求出直线OA的

2、表达式,进而求出直线OA与抛物线对称轴的交点,最后根据OAB的面积求出点B的坐标；(3)先求出直线AB的表达式,再根据求两条线段差的最值问题的思路确定点P的位置,最后求出点P的坐标和PAPB的最大值.解解：(1)抛物线过点O(0,0),且它的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0).设此抛物线的表达式为y=ax(x4)(a0).把A(5,5)代入,得5a=5,解得a=1,此抛物线的表达式为y=x(x4)=x24x.(2)点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,设点B的坐标为(2,m)(m0).设直线OA的表达式为y=kx(k0),则5k=5,解得k=1,直线OA的表达

3、式为y=x.解解解二次函数背景下的线段最值问题的题解思路：常见类型解题思路求线段长度的最值求线段和差的最值(1)根据将军饮马模型将线段和差的最值进行转化；(2)根据题意结合二次函数求出最值常见类型解题思路求线段比值的最值(1)找出(构造)含有待求比值的线段的两个相似三角形,运用相似三角形的性质将线段比进行转化；(2)设出点的坐标,表示相关线段的长度；(3)将线段比值问题转化为函数问题,运用二次函数的性质求出最值【拓展】将军饮马模型问题情境辅助线作法相关结论已知定点A,B在直线l的异侧,P是直线l上一动点,求PAPB的最小值如图,连接AB交直线l于点P.PAPB的最小值为AB的长问题情境辅助线作

4、法相关结论已知定点A,B在直线l的同侧,P是直线l上一动点,求PAPB的最小值如图,作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P.PAPB的最小值为AB的长已知定点A,B在直线l的同侧,P是直线l上一动点,求|PAPB|的最大值如图,连接AB并延长交直线l于点P.|PAPB|的最大值为AB的长问题情境辅助线作法相关结论已知定点A,B在直线l的异侧,P是直线l上一动点,求|PAPB|的最大值如图,作点B关于直线l的对称点B,连接AB并延长交直线l于点P.|PAPB|的最大值为AB的长已知定点A,B在直线l的同侧,P是直线l上一动点,求|PAPB|的最小值如图,连接AB,作线段AB的垂直平分

5、线交直线l于点P.|PAPB|的最小值为0问题情境辅助线作法相关结论已知定点P在AOB的内部,C,D分别是OA,OB边上的动点,求PDCD的最小值如图,作点P关于射线OB的对称点P,过点P作PCOA于点C,交OB于点D.PDCD的最小值为PC的长问题情境辅助线作法相关结论已知定点P在AOB的内部,C,D分别是OA,OB边上的动点,求PCD周长的最小值如图,分别作点P关于射线OA,OB的对称点P,P,连接PP,分别交OA,OB于点C,D.PCD周长的最小值为PP的长1.(2024宜宾节选)如图,抛物线y=x2bxc与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,4),其顶点为D.(1)求抛物

6、线的表达式及顶点D的坐标.(2)在y轴上是否存在一点M,使得BDM的周长最小?若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.解解解解解图解点E的纵坐标为t22t3,t22t3=m3,m=t22t,点E的坐标为(t22t,t22t3),PE=t22tt=t23t.A(3,0),B(1,0),BA=4.PEx轴,EPDABD,解类型类型2 2面积问题【思路分析】(1)先求出点C的坐标,再将B,C两点的坐标代入抛物线的表达式中求出抛物线的表达式；(2)先求出直线BC的表达式,再设出点P的坐标,进而表示出K,D两点的坐标,然后根据三角形的面积公式分别表示出S1和S2,进而表示出S1S2,最后结合二次函

7、数的性质求出S1S2的最大值.解解解决二次函数背景下面积问题的一般步骤：【拓展】求图形面积的常见方法方法已知条件辅助线作法相关结论铅垂法如图,在平面直角坐标系中,已知ABC是任意三角形.如图,过点C作CDx轴,交AB于点D(或过点B作BEy轴,交AC于点E).方法已知条件辅助线作法相关结论等面积法如图,在平面直角坐标系中,已知过点C的直线l平行于ABC的边AB,交y轴于点D.如图,连接AD,BD.SABC=SABD方法已知条件辅助线作法相关结论割补法如图,在平面直角坐标系中,已知四边形OBPC是任意四边形.如图,连接OP.解解2.(2024凉山州)如图,抛物线y=x2bxc与直线y=x2相交于

8、A(2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A,B重合),过点P作直线PDx轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点M,使ABM的面积等于ABC面积的一半?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由.解解类型类型3 3三角形的存在性问题例(2022衡阳)如图,已知抛物线y=x2x2交x轴于A,B两点,将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式.(2)若

9、直线y=xb与图象W有三个交点,请结合图象,直接写出b的值.(3)P为x轴正半轴上一动点,过点P作PMy轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点P,使CMN与OBC相似?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.【思路分析】(1)先求出点A,B,C的坐标,再设出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式,最后将点C的坐标代入求解；(2)分直线过点B和直线与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切两种情况进行讨论；(3)先证明BOC为等腰直角三角形,再设出点P的坐标,然后分CNMBOC且点M在线段BC上,CNMBOC且点M在线段CB的延长线上和MCNBOC三种情

10、况进行讨论,最后写出符合条件的点P的坐标.解解：(1)由抛物线y=x2x2可知,当x=0时,y=2,点C的坐标为(0,2).当y=0时,解得x1=2,x2=1,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(2,0),设图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为y=a(x1)(x2).把C(0,2)代入上式,得2a=2,解得a=1,图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为y=(x1)(x2)=x2x2(1x2).(2)b的值为2或3.解解图解解图解1.解决特殊三角形存在性问题的一般步骤：【拓展】动点构成特殊三角形的作图方法类别问题情境分类标准作图方法图示相关结论等腰三角形已知定点A,B和直线l,在

11、l上找一点P,使 PA B 为等腰三角形以 A 为顶角以点A为圆心,以线段AB长为半径作圆AB2=AP2以 B 为顶角以点B为圆心,以线段BA长为半径作圆BA2=BP2以 P 为顶角作线段AB的垂直平分线PA2=PB2类别问题情境分类标准作图方法图示相关结论直角三角形已知定点A,B和直线l,在l上找一点P,使PAB为直角三角形PAB=90过点A作AB的垂线AB2AP2=BP2ABP=90过点B作AB的垂线AB2BP2=AP2APB=90以线段AB为直径作圆AP2BP2=AB2类别问题情境 分类标准作图方法图示相关结论等腰直角三角形先对顶点进行分类讨论,再根据等腰直角三角形的性质,将几何和代数方

12、法结合求解2.解决相似三角形存在性问题的一般步骤：(1)假设存在相似三角形,确定对应角和对应边；(2)求(或表示)出关键点的坐标；(3)求(或表示)出相关线段的长度；(4)根据对应边成比例或对应角的三角函数值相等列方程求解,并检验所得的解是否符合题意.1.(2023益阳节选)在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=a(x2)(a0)与x轴交于点A,与抛物线E：y=ax2交于B,C两点(B在C的左边).(1)求点A的坐标；(2)如图,若点B关于x轴的对称点为点B,当以点A,B,C为顶点的三角形是直角三角形时,求实数a的值.解解2.(2024雅安)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2bx3的图象与

13、x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.图图备用图(1)求二次函数的表达式.(2)如图,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,当线段PQ的长度最大时,求点Q的坐标.(3)如图,在(2)的条件下,过点Q的直线与抛物线交于点D,且CQD=2OCQ.在y轴上是否存在点E,使得BDE为等腰三角形?若存在,直接写出点E的坐标；若不存在,请说明理由.解解解图解类型类型4 4特殊四边形的存在性问题例(2023邵阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2xc经过点A(2,0)和点B(4,0),且与直线l：y=x1交于D,E两点(点D在点E的右

14、侧),点M为直线l上的一动点,设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)过点M作x轴的垂线,与抛物线交于点N.若0t4,求NED面积的最大值；(3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点,若以B,C,M,R为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R的坐标.备用图【思路分析】(1)将A,B两点的坐标代入抛物线的表达式中求出抛物线的表达式；(2)先求出D,E两点的坐标,再表示出线段MN的长度,进而表示出NED的面积,最后根据二次函数的性质求出NED面积的最大值；(3)先求出点C的坐标,再设出M,R两点的坐标,然后根据菱形的特点确定分类讨论的标准及情况,最后结合点B的坐标和菱形

15、的性质列方程组求出点R的坐标.解解解解解解决特殊四边形存在性问题的一般步骤：【拓展】动点构成平行四边形的作图方法类别问题情境分类标准作图方法图示相关结论“三定一动”已知平面内有不共线的A,B,C三点,求点P,使以A,B,C,P四点为顶点的四边形是平行四边形以 A B 为对角线分别过点A,B作BC,AC的平行线交于点P以 A C 为对角线分别过点A,C作BC,AB的平行线交于点P类别问题情境分类标准 作图方法图示相关结论“三定一动”已知平面内有不共线的A,B,C三点,求点P,使以A,B,C,P四点为顶点的四边形是平行四边形以BC为对角线分别过点B,C作AC,A B 的 平行线交于点P类别问题情境

16、分类标准 作图方法图示相关结论“两定两动”已知平面内有A,B两点,求P,Q两点,使以A,B,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形以AB为对角线取AB的中点,旋转经过中点的直线,确定P,Q 两 点的位置类别问题情境分类标准 作图方法图示相关结论“两定两动”已知平面内有A,B两点,求P,Q两点,使以A,B,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形以AP为对角线将 A B 上下左右平移,确 定P,Q两点的位置以AQ为对角线特别提醒：若题目考查动点构成菱形、矩形、正方形,则作图方法与平行四边形类似,要注意根据特殊四边形的性质排除不符合的图形.1.(2023岳阳节选)已知抛物线Q1：y=x2bxc与x轴交于

17、A(3,0),B两点,交y轴于点C(0,3).(1)请求出抛物线Q1的表达式.(2)如图,在y轴上有一点D(0,1),点E在抛物线Q1上,点F为坐标平面内一点,是否存在点E,F,使得四边形DAEF为正方形?若存在,请求出点E,F的坐标；若不存在,请说明理由.解解如解图,过点E作EGx轴于点G,则AGE=AOD=90.A(3,0),D(0,1),OA=3,OD=1.四边形DAEF是正方形,AE=AD=DF,DAE=ADF=90.EAGDAO=90,ADODAO=90,EAG=ADO,EAG ADO(AAS),GA=OD=1,GE=OA=3,点E的坐标为(2,3).解当x=2时,y=x22x3=3

18、,点E在抛物线上.过点F作FLy轴于点L.同理可得,DFL ADO(AAS),LF=OD=1,LD=OA=3,OL=LDOD=2,点F的坐标为(1,2).2.(2024广元)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F：y=x2bxc经过点A(3,1),与y轴交于点B(0,2).图图解解图解解(3)由中心对称可知,抛物线F与F的公共点E为直线y=1与抛物线F的右交点.当x22x2=1时,解得x=1或x=3(舍去),点E的坐标为(1,1).抛物线F：y=x22x2的顶点坐标为(1,3),抛物线F的顶点坐标为(3,5),点H的横坐标为3.设点G的坐标为(m,m2).当以B,E,G,H为顶点的四边形是平行

19、四边形时,分三种情况讨论：当BE为平行四边形的对角线时,m3=1,解得m=2,点G的坐标为(2,0)；当BG为平行四边形的对角线时,m=31=4,点G的坐标为(4,6)；当BH为平行四边形的对角线时,m1=3,解得m=2,点G的坐标为(2,4).综上所述,点G的坐标为(2,0)或(4,6)或(2,4).3.如图,抛物线y=x2bxc交x轴于A,B(3,0)两点,交y轴于点C(0,3).点P是抛物线上的一个动点.(1)求该抛物线的表达式.(2)当动点P在直线BC上方时,在平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.解解图

20、解解解图类型类型5 5角度问题备用图【思路分析】(1)先根据题意求出点C的坐标,再用待定系数法求出二次函数的表达式；(2)先求出顶点D的坐标,再过点D分别作x轴、y轴的垂线,运用割补法将四边形ACDB的面积进行转化,进而计算；(3)先过点C作CEBC,根据ACO=PBC求出点E的坐标,再求出直线BE的表达式,最后联立直线BE与抛物线的表达式求出点P的坐标.解解解图解解图1.角度为定值问题的解题策略：角度解题策略30运用30角所对的直角边是斜边的一半求解45(1)根据等腰直角三角形构造一线三等角全等模型求解；(2)构造三角形的外接圆,运用外接圆的性质和勾股定理求解90(1)构造直角三角形,运用勾

21、股定理列方程求解；(2)构造一线三等角相似或全等模型求解；(3)根据圆周角定理的推论构造辅助圆求解2.角存在数量关系问题的构造方法：数量关系构造方法相等关系(1)运用平行线的性质或作对称点；(2)运用锐角三角函数；(3)构造一线三等角相似或全等模型；(4)运用角平分线的相关性质；(5)将等角转化到一个三角形中,利用等腰三角形的两边相等,借助距离公式和差关系(1)通过角的等量关系代换得到角度为定值；(2)根据和差关系寻找等角二倍角关系 运用等腰三角形的性质和外角的定义1.(2024大庆节选)如图,已知二次函数y=ax22xc的图象与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求二次函数的表达式；(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得QCB=2ABC,求点Q的坐标.解解图解如解图,过点Q作QGy轴于点G,则GCQ=180QCBBCO=45,GCQ是等腰直角三角形,CG=QG.设点Q的坐标为(q,q22q3)(0q3),则点G的坐标为(0,q22q3),CG=q22q,QG=q,q22q=q,解得q=1或q=0(舍去),点Q的坐标为(1,4).解解解图CK,CT与抛物线的另一个交点为点M.过点T作x轴的平行线交y轴于点Q,过点B作BGTQ于点G,则GQ=OB=3,QO=GB.CQT=CTB=90,QCTCTQ=GTBCTQ,QCT=GTB.解解