2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第7章 图形的变化微专题10 几何最值问题.pptx

1、2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究微专题十几何最值问题(省卷省卷：5年年3考考；兰州兰州：2024.27)两两点之间线段最短点之间线段最短(含将军饮马含将军饮马)一、一、“两定一动两定一动”(“两点一线两点一线”)模型模型类型类型1 11 1问题问题在直线在直线l上找一点上找一点P，使得使得PAPB最小最小；|PAPB|最大最大类型类型直接连两定点直接连两定点先作其中一点的对称点再连线先作其中一点的对称点再连线线段和最小线段和最小(PAPB最小最小)线段差最大线段差最大(|PAPB|最大最大)模型巧记模型巧记：“两点一线两点一线”模型简记为模型简记为：

2、线段和最小线段和最小，异侧直接连异侧直接连，同侧找对称同侧找对称；线线段差最大段差最大，同侧直接连同侧直接连，异侧找对称异侧找对称例例 1C思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征找模型：依据特征找模型 第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：模型应用：模型应用特征特征1：是否存在两个定是否存在两个定点点(点点C和点和点D)特征特征2：动点是否在定线动点是否在定线段上段上(定线段定线段AB；动点动点P)特征特征3：是否求两定点和是否求两定点和动点连线的最值动点连线的最值(PCPD的最小值的最小值)作点作点D关于线段关于线段AB的对称点的对称点D，连接连接CD，交线段交线段AB于点于点P，连

3、接连接PD，DD，PD.当当C，P，D三点共线时三点共线时，即点即点P与点与点P重合时重合时，PCPD的值的值最小最小，最小值为最小值为CD的的长长 如图如图，在菱形在菱形ABCD中中，对角线对角线AC4，BD6，点点E为边为边AB的的中点中点，点点P为对角线为对角线BD上一点上一点，则则|PCPE|的最大值为的最大值为()例例 2A思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征找模型：依据特征找模型 第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：模型应用：模型应用特征特征1：是否存在两个定是否存在两个定点点(点点C和点和点E)特征特征2：动点是否在定线动点是否在定线段上段上(定线段定线段BD；动点动

4、点P)特征特征3：是否求两定点和是否求两定点和动点连线的最值动点连线的最值(|PCPE|的最大值的最大值)作点作点C关于关于BD的对称点的对称点C，与点与点A重合重合，连接连接CP.当当A，E，P三点共线时三点共线时，|PCPE|取得最大值取得最大值，最最大值为大值为AE的的长长12024广安广安如图如图，在在 ABCD中中，AB4，AD5，ABC30，点点M为直线为直线BC上一动点上一动点，则则MAMD的最小值为的最小值为_2如图如图，已知已知ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形，ACBC4，BCD15，P为射线为射线CD上的动点上的动点，则则|PAPB|的最大值为的最大值为_4二、二、“

5、一定两动一定两动”(“一点两线一点两线”)模型模型问题问题如图如图，P是是AOB内部一定点内部一定点，在在OA上找一点上找一点M，在在OB上找一点上找一点N，使得使得PMN周长最小周长最小方法方法模型巧记模型巧记：在用在用“一点两线一点两线”模型确定最值时模型确定最值时，OP长为定值长为定值 如如图图，ACB30，点点P是是ACB内部一点内部一点，且且CP6，G，H分别是射线分别是射线CA和和CB上的动点上的动点，连接连接PG，PH，GH，则则PGH周长的周长的最小值为最小值为_例例 36思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征找模型：依据特征找模型第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：

6、模型应用：模型应用特征特征1：是否存在定角是否存在定角(定角定角：ACB)特征特征2：是否存在定线段长且另是否存在定线段长且另一点在角的内部一点在角的内部(定线段长定线段长：CP；另一点另一点：点点P)特征特征3：是否求最值是否求最值(PGH周周长的最小值长的最小值)分别作点分别作点P关于关于CA，CB的对称点的对称点P，P，连接连接PP与与CA，CB分分别交于点别交于点G1，H1.当当P，G，H，P四点共线时四点共线时，PGH的周长最的周长最小小，最小值为线段最小值为线段PP的长的长3AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示在平面直角坐标系中的位置如图所示，且且AOB60，在在AOB内有一点内

7、有一点P(4，3)，M，N分别是分别是OA，OB边上的动点边上的动点，连接连接PM，PN，MN，则则PMN周长的最小值是周长的最小值是_4如图如图，抛物线抛物线yx24x5与直线与直线yx5交于交于B，C两点两点，已知已知点点D的坐标为的坐标为(0，3)点点M，N分别是直线分别是直线BC和和x轴上的动点轴上的动点，则则DMN周长的最小值是周长的最小值是_三、三、“两定两动两定两动”(“两点两线两点两线”)模型模型(省卷省卷：2024.27)问题问题点点P，Q是是AOB内部的两个定内部的两个定点点，在在OA上找点上找点M，在在OB上上找点找点N，使得四边形使得四边形PQNM周周长最小长最小已知直

8、线已知直线ab，点点A，B分别位于直分别位于直线线a的上方和直线的上方和直线b的下方的下方，M，N为为直线直线a，b上的动点上的动点，且且MNa，求求AMMNNB的最小值的最小值方法方法结论结论：利用利用“两点之间两点之间，线段最短线段最短”可得可得AMMNNB的最小值为的最小值为ABMN的值的值 如如图图，在矩形在矩形ABCD中中，AB2，AD3，点点E，F分别在边分别在边AD，AB上上，且且AE2，AF1.点点G，H分别是边分别是边BC，CD上的动点上的动点，连接连接EF，FG，GH，HE，则四边形则四边形EFGH周长的最小值为周长的最小值为_例例 4思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征

9、找模型：依据特征找模型 第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：模型应用：模型应用特征特征1：定角内是否存在定角内是否存在两定点两定点(定角定角：DCB；两定点两定点：点点E和点和点F)特征特征2：动点是否在定线动点是否在定线段上段上(点点G和点和点H分别在边分别在边BC，CD上上)特征特征3：是否求最值是否求最值(四边四边形形EFGH周长的最小值周长的最小值)作点作点E关于关于CD的的对称点对称点E，作点作点F关于关于BC的的对称点对称点F，连接连接EF，EE，FF，EH，GF，其中其中EF交交BC于点于点G，交交CD于点于点H.当当E，H，G，F四点共线时四点共线时，四边形四边形EF

10、GH的周长最小的周长最小，最小值为最小值为EFEF的长的长 如如图图，菱形菱形ABCD的边长为的边长为3，BAD60，点点E，F在对角线在对角线AC上上(点点E在点在点F的左侧的左侧)，且且EF1，则则DEBF的最小值为的最小值为_例例 5思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征找模型：依据特征找模型第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：模型应用：模型应用特征特征1：是否存在两定点是否存在两定点(点点D和点和点B)特征特征2：动点在定线段上的距动点在定线段上的距离是否固定离是否固定(定线段定线段：线段线段AC；动点动点：点点E，点点F；距离距离：EFEF1)特征特征3：是否求最值是否求最

11、值(DEBF的最小值的最小值)将点将点D沿沿AC方向方向平移平移1个单位个单位长度至长度至点点G，连接连接DG，BG，BD，FG，BD与与AC交于点交于点O，BG与与AC交于点交于点F，BG的长的长为所求线段和的为所求线段和的最小值最小值5如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，AB3，AD6，AE4，AF2，G，H分分别是边别是边BC，CD上的动点上的动点，则四边形则四边形EFGH周长的最小值为周长的最小值为()D6.2024新疆新疆如图如图，抛物线抛物线y x24x6与与y轴交于点轴交于点A，与与x轴交于点轴交于点B，线段线段CD在抛物线的对称轴上移动在抛物线的对称轴上移动(点点C在点在点D下

12、方下方)，且且CD3.当当ADBC的值最小时的值最小时，点点C的坐标为的坐标为_(4，1)垂线垂线段最短段最短类型类型 1 1 2 2基础模型基础模型问题问题点点A是直线是直线l外一定点外一定点，点点B是是l上一动点上一动点，求求AB的的最小值最小值方法方法当当ABl时时，AB的值最小的值最小拓展模型拓展模型问题问题如图如图，点点M是平面内一定点是平面内一定点，点点P，N分别是分别是AC，AB上一动点上一动点，求求MPPN的最小值的最小值方法方法作点作点M关于关于AC的对称点的对称点M，过点过点M作作AB的垂线的垂线，分别交分别交AC，AB于点于点P，N，则则MPPN的最小值即的最小值即为为M

13、N的长的长 模型巧记模型巧记：求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上求线段和最值实质上是将两条线段转化到同一条直线上，结合垂线段最短解决问题结合垂线段最短解决问题 如如图图，在在RtACB中中，C90，AD是是BAC的平分线的平分线，点点E是是AB上任意一点上任意一点，若若AD5，AC4，则则DE的最小值为的最小值为()A3B4C5D6例例6A思路点拨思路点拨第一步：依据特征找模型第一步：依据特征找模型第二步：抽离模型第二步：抽离模型第三步：模型应用第三步：模型应用特征特征1：是否存在一个定点是否存在一个定点(点点D)特征特征2：动点是否在定线段上动点是否在定线段上(线段线段AB；动

14、点动点E)特征特征3：是否求定点和动点连线的最值是否求定点和动点连线的最值(DE的最小值的最小值)过点过点D作作DEAB，当当DEAB时时，DE最小最小7如图如图，已知抛物线已知抛物线yx24x3与与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点A在点在点B左侧左侧)，与与y轴正半轴交于点轴正半轴交于点C，点点P是直线是直线BC上的动点上的动点，点点Q是线段是线段OC上的动点上的动点，则则AQQP的最小值为的最小值为_二、二、“胡不归胡不归”模型模型问题问题已知已知A为直线为直线l上一定点上一定点，B为直线为直线l外一定点外一定点，P为直线为直线l上一动点上一动点，求求kPAPB(0k1)的最的最小值小值

15、 方法方法构造射线构造射线AC，使得使得sinCAPk，过点过点P作作PGAC于点于点G，则则PGPAsinCAPkPA.kPAPBPGPB.过点过点B作作BHAC于点于点H，则则kPAPBPGPBBH，kPAPB的最小值为线段的最小值为线段BH的长的长(此时此时，B，P，G三点共线三点共线)如如图图，在菱形在菱形ABCD中中，ABC60，AB3，P是对角线是对角线BD上上的一个动点的一个动点，则则 BPPC 的最小值的最小值是是_例例7思路点拨思路点拨第一步：依据特征找模型第一步：依据特征找模型第二步：抽离模型第二步：抽离模型第三步：模型应用第三步：模型应用过点过点P作作PEAB于点于点E，

16、过点过点C作作CFAB于点于点F.CF为所求线段和的最小值为所求线段和的最小值C 逆逆等线模型等线模型(省卷省卷：2023.27/2022.28；兰州兰州：2024.27)类型类型 1 1 3 3概念概念一般情况下一般情况下：题目中有双动点题目中有双动点；有两个没有首尾相连的等线段有两个没有首尾相连的等线段，一般通过平移或作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移一般通过平移或作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而从而使逆等线段产生关系使逆等线段产生关系，最终解决问题最终解决问题问题问题已知已知：在在ABC中中，D，E分别是分别是AB，AC上的动点上的动点，且且ADCE，求求BECD的最

17、小值的最小值 方法方法将将ADC拼接到拼接到CEF，连接连接BF.ADCCEF，CDEF，BECDBEEFBF，BECD的最小值为线段的最小值为线段BF的长的长总结总结动点运动过程中有两条线段始终保持相等动点运动过程中有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段我们可以在等线段处作平行线或其他辅助线处作平行线或其他辅助线，构造全等三角形构造全等三角形，一般都是利用一一般都是利用一边一角构造全等边一角构造全等，且全等条件都是且全等条件都是SAS，将两定两动转化为两将两定两动转化为两定一动定一动，从而将要求的两条线段拼接到一起从而将要求的两条线段拼接到一起，根据两点之间线根据两点之间线段最短求解段最短

18、求解模型巧记模型巧记：过定点过定点，作定角作定角，截定长截定长，构全等构全等，得最值得最值 如如图图，在在ABC中中，ABC60，BC8，AC10，D，E分分别是边别是边AB，AC上的动点上的动点，且且ADCE，则则CDBE的最小值是的最小值是()例例 8C思路点拨思路点拨第一步第一步：依据特征找模型：依据特征找模型第二步第二步：抽离模型：抽离模型第三步第三步：模型应用：模型应用特征特征1：是否有双动点是否有双动点(动点动点：点点D，E)特征特征2：是否有两个没有首是否有两个没有首尾相连的等线段尾相连的等线段(等线段等线段：ADCE)特征特征3：是否求两动点和两是否求两动点和两定点构成线段和的

19、最小值定点构成线段和的最小值 (CDBE的最小值的最小值)作作CKAB，使得使得CKCA，连接连接KE，作作BGKC交交KC的延长线于点的延长线于点G，连接连接BK，CKEACD(SAS)，CDKE，CDBEKEBEBE，CDBE的最小值为的最小值为BK的的长长9如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，AB3，BC4，E是边是边BC上一动点上一动点，F是是对角线对角线BD上一动点上一动点，且且BEDF，求求DECF的最小值的最小值解解：如解图如解图，延长延长DA到点到点G，使使DGDB，连接连接FG，CG，四边形四边形ABCD是矩形是矩形，ADBC，ADBC4，DCAB3，BADGDC90，GDF

20、DBE.DFBE，DGBD，DGFBDE(SAS)，10.如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线经过点抛物线经过点A(3，0)，B(4，0)，C(0，3)，点点D，E分别是线段分别是线段AB，BC上的动点上的动点，连接连接AC，AE，CD，当当CEBD时时，求求AECD的最的最小值小值解解：由题意可知由题意可知，OAOC3，OB4，BC5.如解图如解图，过点过点C作作CF平行于平行于x轴轴，且且CFBC，连接连接EF，AF.CF平行于平行于x轴轴，FCECBD，又又CEBD，CFBC，CFEBCD(SAS)，EFCD，AECDAEEFAF，AECD的最小值为的最小值为AF的长的长过点过点F作作FGx轴轴，交交x轴于点轴于点G.在在RtAGF中中，AG358，FGCO3，