2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第3章 函数中考专题3二次函数综合题(针对省卷27题).pptx

1、2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究中考专题三 二次函数综合题(针对省卷27题)线段线段问题问题(省卷省卷：5年年4考考)考点考点 1 1 1 1类型类型1单条线段最值单条线段最值问题问题 如如图图，二次函数的图象与二次函数的图象与x轴交于轴交于A(1，0)，B(4，0)两点两点，与与y轴交于点轴交于点C(0，3)，连接连接BC，点点P是直线是直线BC上方抛物线上一动点上方抛物线上一动点例例 1平行于平行于y轴的线段最值问题解题思路轴的线段最值问题解题思路：点点P和点和点Q的横坐标相等的横坐标相等，则则PQ的长等于点的长等于点P的纵坐标减去点的纵坐标减去

2、点Q的纵坐标的纵坐标，再利用二次函数性质求出线段最值再利用二次函数性质求出线段最值平行于平行于x轴的线段最值问题解题思路轴的线段最值问题解题思路：将平行于将平行于x轴的线段转化为平行于轴的线段转化为平行于y轴的线轴的线段这里可以利用相似三角形或者三角函数值段这里可以利用相似三角形或者三角函数值，例如解图例如解图1中的中的PMQOBC，从而得到从而得到PM与与PQ的数量关系的数量关系，从而将从而将PM的最值问题转化为的最值问题转化为PQ的最值问题的最值问题；或者或者利用在不同直角三角形中利用在不同直角三角形中，相等的角对应的三角函数值相等得到相等的角对应的三角函数值相等得到PM与与PQ的数量关的

3、数量关系系，最后利用二次函数性质求出线段最值最后利用二次函数性质求出线段最值垂直于某条直线的线段最值问题解题思路垂直于某条直线的线段最值问题解题思路：化化“斜斜”为为“直直”，即将即将PM的最值问题的最值问题转化为转化为PQ的最值问题的最值问题，利用相似三角形或者三角函数值将其转化利用相似三角形或者三角函数值将其转化，最后利用二次函数最后利用二次函数性质求出线段最值性质求出线段最值通性通法通性通法类型类型2PAPC型线段和最小值问题型线段和最小值问题(将军饮马模型将军饮马模型)如如图图，已知二次函数已知二次函数y 2的图象与的图象与x轴分别交于轴分别交于A，B两点两点，与与y轴交于点轴交于点C

4、，点点P是其对称轴上一动点是其对称轴上一动点，当当PBPC取得最小取得最小值时值时，求点求点P的坐标的坐标例例 2例例2题解图题解图【自主作答】【自主作答】解解：如解图如解图，连接连接AC交对称轴于点交对称轴于点P，连接连接PB，P点即为所求点即为所求类型类型3周长最小值问题周长最小值问题 如如图图，直线直线yx1与抛物线与抛物线yx24x5交于交于A，B两点两点，P是是y轴上的一个动点轴上的一个动点，当当PAB的周长最小时的周长最小时，求点求点P的坐标的坐标例例 3【自主作答】【自主作答】如解图如解图，作点作点A关于关于y轴的对称点轴的对称点A，连接连接AB与与y轴交于点轴交于点P，则此时则

5、此时PAB的周长最小的周长最小点点A的坐标为的坐标为(1，2)，点点B的坐标为的坐标为(4，5)，如图如图1，两定点两定点A,B在直线在直线l同侧时同侧时，在直线在直线l上找一点上找一点P，使得使得PA PBPB最小最小，最小值最小值为为AB.如图如图2，点点P在在AOB内部内部，在射线在射线OA上找点上找点C，在射线在射线OB上找点上找点D，使得使得PCD的的周长最小周长最小，最小值为最小值为PP.如图如图3，点点P,Q在在AOB内部内部，在射线在射线OA上找点上找点C，在射线在射线OB上找点上找点D，使得四边使得四边形形PQDC的周长最小的周长最小，最小值为最小值为PQPQ.如图如图4，两

6、定点两定点A，B在直线在直线l同侧时同侧时，MNa，且线段且线段MN在直线在直线l上滑动上滑动，使得使得AM BNBN最小最小，最小值为最小值为AB.通性通法通性通法类型类型4BDCE型线段和最小值问题型线段和最小值问题(逆等线模型逆等线模型)2022省卷省卷28题节选题节选如图如图1，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线抛物线y(x3)(xa)与与x轴交于轴交于A，B(4，0)两点两点，点点C在在y轴上轴上，且且OCOB，D，E分别是线段分别是线段AC，AB上的动点上的动点(点点D，E不与点不与点A，B，C重合重合)例例 4(1)求此抛物线的表达式求此抛物线的表达式；(2)如图如图2

7、，连接连接BD，CE，当当CDAE时时，求求BDCE的最小值的最小值解解：如解图如解图，在在AB下方作下方作EAQDCB且且AQBC，连接连接EQ,CQ.AECD，AEQCDB，EQ BDBD，当当C,E,Q三点共线时三点共线时，BDCEEQCE最最小小，最小为最小为CQ.过点过点C作作CHAQ，垂足为垂足为H.OCOB，OCOB4，CBA45，BC .CAH 180CABEAQ 180CABDCBCBA45，逆等线模型的一般情况逆等线模型的一般情况：题目中有双动点题目中有双动点；首尾首尾不不相连的等线段相连的等线段如图如图，点点D，E在在AB，AC边上运动边上运动，且且ADCE，求求CDBE

8、的最小值的最小值双动点双动点：E和和D；首尾不相连的等线段首尾不相连的等线段：ADCE，符合逆等线模型符合逆等线模型解题思路解题思路：动点运动过程中动点运动过程中，始终有始终有ADCE，利用利用ADCE构造全等构造全等，从而将要求和的两条线段拼接在一起从而将要求和的两条线段拼接在一起，转化为两定一动的问题转化为两定一动的问题，就是我就是我们熟悉的们熟悉的“将军饮马将军饮马”问题了问题了通性通法通性通法12024省卷省卷27题题如图如图1，抛物线抛物线ya(xh)2k交交x轴于轴于O，A(4，0)两两点点，顶点为顶点为B(2，)，点点C为为OB的中点的中点(1)求抛物线求抛物线ya(xh)2k的

9、表达式的表达式；(2)过点过点C作作CHOA，垂足为垂足为H，交抛物线于点交抛物线于点E.求线段求线段CE的长的长；2.2023省卷省卷27题题如图如图1，抛物线抛物线yx2bx与与x轴交于点轴交于点A，与直线与直线yx交于点交于点B(4，4)，点点C(0，4)在在y轴上点轴上点P从点从点B出发出发，沿线段沿线段BO方向匀速运动方向匀速运动，运动到点运动到点O时停止时停止(1)求抛物线求抛物线yx2bx的表达式的表达式；解解：抛物线抛物线yx2bx过点过点B(4，4)，164b4，b3，yx23x.(2)当当BP 时时，请在图请在图1中过点中过点P作作PDOA交抛物线于点交抛物线于点D，连接连

10、接PC，OD，判断四边形判断四边形OCPD的形状的形状，并说明理由并说明理由；解解：四边形四边形OCPD是平行四边形理由如下是平行四边形理由如下：如解图如解图，设设PD交交x轴于点轴于点H，连接连接BC.点点P在直线在直线yx上上，OHPH，POH45.当当xD2时时，DHyD22322，PDDHPH224.C(0，4)，OC4，PDOC.OCx轴轴，PDx轴轴，PDOC，四边形四边形OCPD是平行四边形是平行四边形3.如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线抛物线y x2bxc与坐标轴交于与坐标轴交于A(0，2)，B(4，0)两点两点，直线直线BC：y2x8交交y轴于点轴于点C

11、.点点D为直线为直线AB下下方抛物线上一动点方抛物线上一动点，过点过点D作作x轴的垂线轴的垂线，垂足为垂足为G，DG分别交直线分别交直线BC，AB于点于点E，F.(1)求抛物线求抛物线y x2bxc的表达式的表达式；(2)当当GF 时时，连接连接BD，求求BDF的面积的面积；解解：B(4，0)，A(0，2)，OB4，OA2.GFx轴轴，OAx轴轴，在在RtBOA和和RtBGF中中，在在的条件下的条件下，第一象限有一动点第一象限有一动点P，满足满足PHPC2，求求PHB周周长的最小值长的最小值解图解图24.如图如图，抛物线抛物线yax2bx4交交x轴于轴于A(3，0)，B(4，0)两点两点，与与

12、y轴轴交于点交于点C，连接连接AC，BC.点点P是第一象限内抛物线上的一个动点是第一象限内抛物线上的一个动点，点点P的的横坐标为横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式求此抛物线的表达式；解解：设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x3)(x4)a(x2x12)ax2ax12a(a0)，yax2bx4，(3)过点过点P作作PNBC，垂足为垂足为N.请用含请用含m的代数式表示线段的代数式表示线段PN的长的长，并并求出当求出当m为何值时为何值时PN有最大值有最大值，最大值是多少最大值是多少？面积面积问题问题(省卷省卷：2020.28)如如图图，抛物线抛物线yx22x3与与x轴交于轴交于A(1，0)

13、，B(3，0)两点两点，在第二象限上的抛物线上是否存在一点在第二象限上的抛物线上是否存在一点P，使使PBC的面积最大的面积最大？若存若存在在，求出点求出点P的坐标及的坐标及PBC的面积最大值的面积最大值；若不存在若不存在，请说明理由请说明理由考点考点 1 1 2 2例例 1解法解法1补形法补形法【自主作答】【自主作答】存在如图存在如图，过点过点P作作PEx轴于点轴于点E，设设P(t，t22t3)(3t0)SPBCS四边形四边形BPCOSBOCS四边形四边形BPCO ，若若S四边形四边形BPCO有最大值有最大值，则则SPBC的值就最大的值就最大，解法解法2分割法分割法【自主作答】【自主作答】存在

14、存在B(3，0)，C(0，3)，直线直线BC的表达式为的表达式为yx3.如图如图，过点过点P作作PEx轴于点轴于点E，交交BC于点于点F.设设P(n，n22n3)，则则F(n，n3)(3n0)解法解法3铅锤铅锤法法【自主作答】【自主作答】存在如图存在如图，过点过点P作作x轴的垂线轴的垂线，与与BC交于点交于点F，设设P(m，m22m3)，同同(2)得得F(m，m3)(3m0)5如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，抛物线抛物线yax2bx2交交x轴于轴于A，B两两点点，交交y轴于点轴于点C，且且OA2OC8OB.点点P是第三象限内抛物线上的一动是第三象限内抛物线上的一动点点(1)求此

15、抛物线的表达式求此抛物线的表达式；解解：抛物线抛物线yax2bx2，则则c2，故故OC2.OA2OC8OB，OA4，OB ，(2)若若PCAB，求点求点P的坐标的坐标；6.如图如图，已知二次函数已知二次函数yax22xc的图象经过点的图象经过点C(0，3)，与与x轴分别轴分别交于点交于点A，点点B(3，0)点点P是直线是直线BC上方的抛物线上一动点上方的抛物线上一动点(1)求二次函数求二次函数yax22xc的表达式的表达式；(2)连接连接PO，PC，并把并把POC沿沿y轴翻折轴翻折，得到四边形得到四边形POPC.若四边形若四边形POPC为菱形为菱形，请求出此时点请求出此时点P的坐标的坐标；解解：若四边形若四边形POPC为菱形为菱形，则点则点P在线段在线段CO的垂直平分线上的垂直平分线上，如解图如解图，连接连接PP，则则PECO，垂足为垂足为E.