人教版九年级上册实际问题与一元二次方程 解析版.doc

1、21.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 一、知识点过关一、知识点过关 知识点知识点 1 1 数字问题（重点；理解）数字问题（重点；理解） 有关数字的应用题，大致可分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。 【命题点 1 列一元二次方程解决数字问题】 例 1 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为 14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字 的积还大 38，求这个两位数。 解：设个位数字为 x，则十位数字为 14-x,两数字之积为 x（14-x）,两数字交换位置后的数为 10 x+(14-x), 由题意得，381414(10 xxxx）, 整理得，, 038, 0

2、245 2 xxxx 3, 8 21 xx（不合题意，舍去） 这个两位数.681410 xx 解题归纳：对于数学排列问题，一要明确最高位上的数字为不大于 9 的正整数，其他数位上的数字为不大 于 9 的非负整数；二要会用字母正确表示数，两位数=视为上的数字10+各位上的数字。 针对性训练 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。 解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为（5x）， 根据题意得：（10 x5x）10（5x）x736， 整理，得： 2 x5x60， 解得

3、： 1 x2， 2 x3， 当 x=2 时，5x3；当 x=3 时，5x2 答：原来的两位数为 23 或 32 知识点知识点 2 2 几何图形问题（重点；理解）几何图形问题（重点；理解） 解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出已知量与未知量的内在联系，根据 面积(体积)公式列出方程。 【命题点 2 列一元二次方程解决几何问题】 例 2 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 m 的正方形 后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 m的无盖的长方体运输箱，且次长方体运输箱底面的长比宽多 2m，现在已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱

4、，问张大叔买回这张矩形铁皮共花了多少钱？ 解：设长方体运输箱底部宽为 x 米，则长为（x+2）米， 依题意，得 x（x+2）115，解得，5, 3 21 xx（不合题意，舍去）.52 x, 这种铁皮长为 5 米、宽为 3 米 原来那块矩形铁皮长 5+2=7 米，宽 3+2=5 米. 买铁皮需要付费：7520=700 元 例 3 如图，要利用一面墙(墙长为 25 m)建羊圈，用 100 m 的围栏围成总面积为 400 m的三个大小相同的 矩形羊圈，求羊圈的边长BCAB,各为多少米。 解：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x400， 解得 5

5、,20 21 xx 则当 x=20 时，1004x20； 当 x=5 时，1004x80；8025，5 2 x舍去 即 AB20，BC20 答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米 例 4 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46 000 m，施工队在绿化了 22 000 m后，将每天的工作量 增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程。 (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为 20 m，宽为 8 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它 们的面积之和为 56 m，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如下

6、图所示)，问人行通道的宽度是 多少米？ 解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成 x m， 根据题意得：, 4 5 . 1 22000460002200046000 xx 解得：x2000， 经检验，x2000 是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米； （2）设人行道的宽度为 a 米，根据题意得， （203a）（82a）56， 解得：a2 或 a 3 26 （不合题意，舍去） 答：人行道的宽为 2 米 针对性训练 1. 用一块长 80 cm，宽 60 cm 的白铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做 成底面积为 1500 cm的没有盖的长方体盒子，求

7、截去的小正方形的边长应是多少。 解：截去的小正方形边长是 x cm，由题意得： （802x）（602x）1500， 整理得： 2 x70 x8250， 解得： 1 x55（不合题意，舍去）， 2 x15 答：截去的小正方形的边长为 15cm 2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长 可利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300 m。 解：设 AB 为 x m，则 BC 为（502x）m， x（502x）300， 解得， 1 x10， 1 x15， 当 1 x10 时，502x302

8、5（不合题意，舍去）， 当 2 x15 时，502x2025（符合题意）， 答：当砌墙宽为 15 米，长为 20 米时，花园面积为 300 平方米； 请设计一种砌法，使矩形花园的面积最大 设 AB 为 xm，矩形花园的面积为 y 2 m， 则 yx（502x）2（x 2 25 ） 2 2 625 ， x 2 25 时，此时 y 取得最大值，502x25 符合题意，此时 y 2 625 ， 即当砌墙的宽为 2 25 米，长为 25 米时，矩形花园的面积最大 3. 如图，某小区规划在一个长 30 m ，宽 20 m 的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两 条与AB平行，另一条与AD平行，

9、其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为 78 m，那么通道的宽应 设计成多少米？ 解：设道路的宽为 x m，由题意得： （302x）（20 x）678， 整理得：（x2）（x33）0， 解得 x2 或 x33（舍去）， 答：通道应设计成 2 米 知识点知识点 3 3 平均增长率问题（重点；难点；掌握）平均增长率问题（重点；难点；掌握） 平均增长率公式：bxa n )1 (，其中，a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率。 【命题点 3 列一元二次方程解决平均增长率问题】 例 5 武汉疫情牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动。第一天收到捐 款 10

10、000 元，第三天收到捐款 12 100 元。 (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 解：（1）设捐款增长率为 x，根据题意列方程得， 10000（1x） 2 12100， 解得 1 x0.1， 2 x2.1（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为 10% （2）12100（110%）13310 元 答：第四天该单位能收到 13310 元捐款 例 6 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感。 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：（

11、1）设每轮传染中平均每人传染了 x 人，1xx（x1）64 1 x7， 2 x9（舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人； （2）647448（人）答：第三轮将又有 448 人被传染 针对性训练 1. 电动车已称为市民日常出行的首选工具。据某市品牌电动车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动车 1 月份销售 150 辆，3 月份销售 216 辆。 (1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动车的进价为 2 300 元，售价为 2 800 元，则该经销商 1 至 3 月份共盈利多少元？ 解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x， 根据题意列方程：150（

12、1x） 2 216， 解得 1 x220%（不合题意，舍去）， 2 x20% 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20% （2）二月份的销量是：150（120%）180（辆） 所以该经销商 1 至 3 月共盈利：（28002300）（150180216）500546273000（元） 答：该经销商 1 至 3 月份共盈利 273000 元. 2. 在一个 QQ 群里有n个网友，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有 20 条信息，则n= . 解：设有n个好友，依题意，n（n1）20， 1 n4（不合题意，舍去）， 2 n5 则n=5. 知识点知识点 4 4 利润问题（重点；掌握利润问题（重

13、点；掌握 ） 解决利润问题常用的关系有： 利润=售价进价 %100%100 进价 进价售价 进价 利润 利润率 总利润=单个利润销售量=总收入总支出. 【命题点 4 列一元二次方程解决利润问题】 例 7 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过 10 件，单 价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得 低于 50 元。按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装付了 1 200 元，她购买了多少件这种服装？ 解：设小丽购买了 x 件这种服装，由题意得, x802（x10）1200 解得： 1 x

14、20， 2 x30. 当 x20 时，802（2010）60； 当 x30 时，802（3010）4050（不符合题意，舍去）. 答：小丽购买了 20 件这种服装 例 8 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100kg。后 来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20kg，若该专卖店销售这种核桃想要 平均每天获利 2 240 元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按照原售价的几折出售？ （1）解：设每千克核桃应降价 x 元 根据题意，得

15、（60 x40）（100 2 x 20）2240 化简，得 2 x10 x240 解得 1 x4， 2 x6答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为：60654（元）， 设按原售价的 m 折出售，则有：60 10 m 54， 解得 m9. 答：该店应按原售价的九折出售 例 9 某商店准备进一批季节性小家电，进价为 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个。 定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 个，销售量净增加 10 个。因受

16、库存的影响，每批次 进货个数不得超过 180 个。商店若将准备获利 2 000 元，则应进货多少个？定价为多少元？ 解：设每个商品的定价是 x 元， 由题意，得（x40）18010（x52）2000， 整理，得 2 x110 x30000， 解得 1 x50， 2 x60 当 x50 时，进货 18010（5052）200180，不符合题意，舍去； 当 x60 时，进货 18010（6052）100180，符合题意 答：当该商品每个定价为 60 元时，进货 100 个 例 10 商场某种商品的进价为每件 100 元，当售价定为每件 150 元时，平均每天可销售 30 件。为了尽快减 少库存，商

17、场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 设每件商品降价x元(x为整数)。据此规律请回答： (1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元(用含x的代数式表示)； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100 元？ 解：（1）当售价定为每件 150 元时平均每天可销售 30 件，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售 出 2 件，商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利（150100 x）元，即（50 x）元， 故答案为：2x，（50 x） （2）根据题意得：（50 x）（302x）2100， 2

18、 x35x3000， 1 x15， 2 x20， 因为为了尽快减少库存，所以应该取 20， 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降 20 元时，商场日盈利可达到 2100 元 答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降 20 元时，商场日盈利可达到 2100 元 二、二、分层实战训练分层实战训练 【基础巩固】 1. 某乡镇企业经过两年的整顿，产值增加到原来的 8 倍，那么平均年增长率为（ ） A. %100) 12( B. %75 C. %50 D. %100) 122( 2. 甲肝曾经是一种传染性很强的疾病，若有 2 人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染 7 人，那么经过两 天患上甲

19、肝的总人数是( ) A. 64 B. 98 C. 99 D. 128 3. 在正方形铁片上，从一侧截去 2 cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48 cm ，则原来正方形铁片的面积 为( )cm 。 A. 8 B. 16 C. 36 D. 64 4. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天， 每天安排 4 场比赛。设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( ) A. 28) 1( 2 1 xx B. 28) 1( 2 1 xx C. 28) 1(xx D. 28) 1(xx 5. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植

20、 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株， 平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出 方程为（ ） A. 15)5 . 04)(3(xx B. 15)5 . 04)(3(xx C. 15)5 . 03)(4(xx D. 15)5 . 04)(1(xx 6. 两个数的和等于 5，平方和等于 13，则这两个数为 。 7. 有一面积为 150 cm的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 18 m)，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长 为 35 m，则鸡场的长与宽分别为 m 和 m。 8. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感

21、染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染。请问，每轮 感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台，请说明理由。 【能力提升】 9. 某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个；第二周若按每 个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商家为了适当增加销售，决定降价销售(根据市场调查，单价每降 低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓 处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1 250 元，问第二周每个旅游纪念品的销 售价格为多少元？ 10. 楚天骑车销售公司 5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为 30 万元/辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进价均降低 0.1 万元/辆，根据市场调查，月销售量不会突破 30 台。 (1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(30 x，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函 数关系式； (2)已知该型号汽车的销售价为 32 万元/辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么该月需售出多少辆汽 车？(注：销售利润=销售-进价)