28.1 锐角三角函数课件2024-2025学年数学九年级下册人教版.pptx

1、学习目标学习目标28.1 28.1 锐角三角函数锐角三角函数第二十八章第二十八章 锐角锐角三角函数三角函数感悟新知感悟新知知识点知识点锐角三角函数锐角三角函数知知1 1讲讲11.正弦、余弦、正切名称定义符号语言图示正弦感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表名称定义符号语言图示余弦感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表名称定义符号语言图示正切感悟新知感悟新知知知1 1讲讲注意(1)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，求值 时，要先找到角所在的直角三角形；(2)sin A，cos A，tan A反映了直角三角形的边与角的关 系，是两条边的比值，没有单位.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.锐角三角函数

2、：A的正弦、余弦、正切都是A的锐角三角函数.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒sin A，cos A，tan A都是都是一个完整的一个完整的符号符号，不能，不能写成写成sinA，cosA，tanA.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别说明(1)定义理解：由相似的知识可知，sin A，cos A，tan A的值与三角形的大小无关，只与A的大小有关；因为当A确定时，sin A，cos A，tan A都只有唯一确定的值与其对应，所以sin A，cos A，tan A都是以A为自变量的函数，统称为A的锐角三角函数.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲(2)取值范围：0

3、sin A1，0cos A0.特别解读特别解读由于由于直角三角形的直角三角形的斜边大于直角边，斜边大于直角边，且各且各边的边边的边长均为正数长均为正数，所以，所以锐角三角函数锐角三角函数值都是值都是正实数，且正正实数，且正弦弦值和值和余弦值小于余弦值小于1.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲(3)写法：当锐角用一个大写字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“”，如：sin A，cos A，tan A，sin ，cos ，tan 等；当锐角用三个大写字母或一个阿拉伯数字表示时，角的符号“”不能省略，如：sinABC不能写成sinABC，cos1不能写成cos 1等.感悟新知感悟新知知知1

4、1练练例 1在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a6，b8，求出A的三角函 数值.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想,首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知的边长，最后结合锐角三角函数的定义求该锐角三角函数值.感悟新知感悟新知知知1 1练练C感悟新知感悟新知知知1 1练练例 2解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练答案：B感悟新知感悟新知知知1 1练练

5、技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要约去辅助元.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练例 3如图28.13，在等腰三角形ABC 中，ABAC，如果2AB3BC，求B 的三个三角函数值.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练31.如图，在锐角三角形ABC中，AB15，BC14，S ABC84，求：感悟新知感悟新知知知1 1练练(1)tan C的值；感

6、悟新知感悟新知知知1 1练练(2)sin A的值感悟新知感悟新知知知1 1练练例 4感悟新知感悟新知知知1 1练练思路引导：感悟新知感悟新知知知1 1练练答案：D感悟新知感悟新知知知1 1练练特别提醒：正方形网格的两个隐含条件(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段长度都能求出；(2)利用正方形的性质，容易得到一些特殊的角，如45角，90角等.感悟新知感悟新知知知1 1练练B感悟新知感悟新知知知1 1练练例 5感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转换为直角三

7、角形中与该角相等的角的三角函数值感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练答案：D感悟新知感悟新知知知1 1练练51.期中福州鼓楼区如图，在 O中，直径AB6，AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC2，则 cos D的值为_感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点锐角三角函数之间的锐角三角函数之间的关系关系(拓展拓展)2感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲深度理解深度理解1.锐角三角函数锐角三角函数之间的之间的关系都可用关系都可用定义推理定义推理得出得出.2.锐角三角函数定义锐角三角函数定义速记口诀：速记口诀：正弦等于对比斜正弦等于对比斜，余

8、弦，余弦等于邻比斜，等于邻比斜，正切等于对比邻正切等于对比邻，函数，函数特点要牢记特点要牢记.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.互余两角的三角函数之间的关系(1)在ABC中，如果AB90，那么sin Acos B，cos Asin B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.sin A=cos(90A)，cos A=sin(90A).感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2练练例 6解题秘方：紧扣“同一锐角的三角函数之间的关系”求解.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知

9、知2 2练练下列各式中，不成立的是()A.cos 602sin 30 B.sin 15cos 75C.tan 30tan 601 D.sin230cos2301解题秘方：紧扣“sincos(90)，tantan(90)1”进行判断例 7感悟新知感悟新知知知2 2练练答案：A解：A.cos 60sin 30，故该选项错误；B.sin 15cos 75，故该选项正确；C.tan 30tan 601，故该选项正确；D.sin230cos2301，故该选项正确.感悟新知感悟新知知知2 2练练71.期末烟台莱州市 若sin(20)cos 50，则 的度数可能是()A.50 B.40C.30 D.20D感

10、悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值31.30，45，60角的三角函数值：三角函数值 锐角三角函数304560sin cos tan 1感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.由左表可知特殊由左表可知特殊锐角锐角的三角函数值的三角函数值，也，也可由特殊角的可由特殊角的三角函数三角函数值求出值求出相应的相应的锐角锐角.2.2sin 60表示表示sin 60的的2倍，书写时倍，书写时省略省略2与与sin 60之间的之间的乘乘号号，且应将数字，且应将数字2放在放在前面，不要写前面，不要写成成sin 602，以免误，以免误以为以为是是sin 120.3

11、.对于含有对于含有三角函数的三角函数的计算题，应先计算题，应先把相应把相应的三角函数的三角函数值代入值代入，将运算将运算转化为转化为实数的混合运算实数的混合运算，然后，然后根据实数的根据实数的运算运算法则计算法则计算.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.特殊三角函数值的记忆方法(1)三角板记忆法：如图28.17所示，可以借助直角三角板记忆.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3练练解题秘方：能化简的先化简，然后代入计算即可.例 8感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练例 9感悟新知感悟新知知知3

12、3练练思路引导：感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练方法点拨：已知三角函数值求角度，关键要注意两点：一要说明角是锐角；二要注意三角函数值与锐角之间是一一对应的关系.感悟新知感悟新知知知3 3练练C感悟新知感悟新知知知3 3练练60感悟新知感悟新知知知4 4讲讲1.利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按 sin(或 cos、tan)键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按键，就可以在显示屏上显示出结果；(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时,要借助 键计算，按键顺序是：sin(或 cos、tan)、度数、分数、秒数、.知识点

13、知识点利用计算器求锐角三角函数值利用计算器求锐角三角函数值4感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；如果不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数.求角的度数要先按 2nd F 键，将 sin 键、cos 键、tan 键转化成它们的第二功能键，当三角函数值为分数时，可先化成小数.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.不同计算器的不同计算器的按键按键顺序不同，顺序不同，大体分大体分两种情形：先两种情形：先按三按三角函数角函数键，再键，再按数字按数字键；先输入键；先输入数字数字，再按三角函数键，再

14、按三角函数键.2.用科学计算器用科学计算器进行计算进行计算时，输入的时，输入的数字符号数字符号的顺序与的顺序与书书写时写时的顺序不一的顺序不一定相同定相同，比如，比如sin21315，输入，输入时应时应为为(sin 1315)2.感悟新知感悟新知知知4 4练练用计算器求sin 16，cos 42，tan 85，sin 723825的值.例10解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可.感悟新知感悟新知知知4 4练练解：如下表：按键顺序显示结果sin 160.275 637 355cos 420.743 144 825tan 8511.430 052 3sin 7238250.954 450 31

15、2感悟新知感悟新知知知4 4练练101.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)：(1)sin 235cos 66 55；(2)cos 1428tan 42 57；(3)sin27.8cos 6537tan 4956.解：原式sin 235sin 2352sin 23520.392 07 0.784 1.原式0.968 290.930 880.037 4.原式0.018 420.412 841.188 940.794 5.感悟新知感悟新知知知4 4练练已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数.(1)sin A0.516 8(结果精确到0.01)；(2)cos A0.675

16、 3(结果精确到1).解题秘方：按计算器的使用说明依次按键即可.例11感悟新知感悟新知知知4 4练练解：依次按键：，显示的结果为31.117 845 56，即A 31.12.(2)依次按键：，显示的结果为47 31 21.18，即A 47 3121.感悟新知感悟新知知知4 4练练解法提醒：计算器直接计算出的角度的单位是度，而不是度、分、秒，因此,若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助 2nd F 和 键.感悟新知感悟新知知知4 4练练111.为了方便行人推车过天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了一条40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角A的度数，具体按键顺序

17、是()A.B.C.D.A课堂小结课堂小结锐角三角函数锐角三角函数锐角三角函数正弦余弦正切定义计算特殊角的三角函数值锐角的三角函数值锐角的度数综合应用创新综合应用创新题型题型锐角三角函数与四边形综合锐角三角函数与四边形综合1中考连云港如图28.18，菱形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC4，OE2求OD的长及tanEDO的值例12解题秘方：根据特殊四边形的性质，结合勾股定理求出线段的长度，再利用锐角三角函数的定义求三角函数值.综合应用创新综合应用创新菱形的对角线互相垂直且平分菱形的对角线互相垂直且平分直角三角形斜边上的直角三角形斜边上的中中线等于线等于斜边的一半斜边的一

18、半综合应用创新综合应用创新方法点拨方法点拨解决锐角解决锐角三角函数三角函数与特殊四边形的与特殊四边形的综合综合应用题目应用题目时，要时，要充分充分利用特殊四边形利用特殊四边形的边角的边角关系，结合关系，结合三角函三角函数数的定义直接求解的定义直接求解.综合应用创新综合应用创新题型题型锐角三角函数与一元二次方程综合锐角三角函数与一元二次方程综合2已知a，b，c分别是ABC中A，B，C的对 边，关于x的一元二次方程a(1x2)2bxc(1x2)0 有两个相等的实数根，且3ca3b.例13解题秘方:根据一元二次方程根的情况确定三角形边的关系，进而判断三角形的形状，求出三角函数值.综合应用创新综合应用

19、创新(1)判断 ABC的形状；解：将一元二次方程整理，得(ca)x22bx(ca)0.方程(ca)x22bx(ca)0 有两个相等的实数根，(2b)24(ca)(ca)0.整理得a2b2c2.ABC为直角三角形，且C90.综合应用创新综合应用创新(2)求sin Asin B的值.综合应用创新综合应用创新方法点拨方法点拨解决本题的解决本题的关键是关键是由一元二次方程由一元二次方程根的根的判别式得到关判别式得到关于于a，b，c的的等式，从而等式，从而判断三角形判断三角形的形状的形状.求求三角函数三角函数值值时，只需时，只需分析直角三角形分析直角三角形中三边中三边的的比例比例关系关系即可即可.综合应

20、用创新综合应用创新题型题型锐角三角函数与一次函数综合锐角三角函数与一次函数综合3例14综合应用创新综合应用创新解题秘方：利用两条直线的函数解析式构造方程组，解方程组得点B的坐标；(1)求点B的坐标；综合应用创新综合应用创新解题秘方：利用点A，B的坐标，根据锐角三角函数的定义求sinBAO的值.(2)求sinBAO的值.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新题型题型锐角三角函数与圆综合锐角三角函数与圆综合4例15综合应用创新综合应用创新(1)求BC的长；思路引导：综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新(2)求 O的半径思路引导：

21、综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新技巧点拨技巧点拨在圆中利用锐角在圆中利用锐角三角函数三角函数求线段长的方法：求线段长的方法：若已知的锐角若已知的锐角和要求和要求的线段在同一的线段在同一个直角三角形个直角三角形中，中，则则直接直接运用三角函数求解运用三角函数求解；若；若不在同一个不在同一个直角三角形直角三角形中，中，则可利用则可利用圆中圆中相等的角进行转化相等的角进行转化.综合应用创新综合应用创新易错点易错点误认为三角函数值的大小与三角形的大小误认为三角函数值的大小与三角形的大小有关导致出错有关导致出错1例16综合应用创新综合应用创

22、新错解：C正解：锐角A的正弦值是直角三角形中锐角A的对边与斜边的比值.当Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍时，锐角A的对边与斜边的长度也都扩大为原来的3倍，故比值不变.答案：A综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：本题往往本题往往误认为误认为锐角三角函数锐角三角函数值会值会随边长的增大随边长的增大而增而增大大，实际上，实际上，根据锐角根据锐角三角函数的三角函数的定义定义，锐角三角函数，锐角三角函数值值等于等于对应边的比，对应边的比，其大小其大小只与边的只与边的比值或比值或角的大小有关角的大小有关.综合应用创新综合应用创新易错点易错点错误理解锐角度数与三角函数值的对应关系错误理解锐角度数

23、与三角函数值的对应关系2例17综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：在在直角三角形直角三角形中不能用角中不能用角之间的之间的倍、分关系倍、分关系作为对应作为对应的的三角函数值三角函数值之间的倍、分之间的倍、分关系关系.如如60=230，但是但是sin 602sin 30.综合应用创新综合应用创新如图28.111，在ABC中，AC6，AB8，AD BC于点D，DC3，求tan B和tan C的值.易错点易错点忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义的而出错的而出错3例18综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新诊误区：诊误区：正弦

24、、余弦、正弦、余弦、正切正切都是在都是在直角三角形中直角三角形中定义的，因此定义的，因此在在解答解答有关锐角有关锐角三角函数的三角函数的问题时，往往要问题时，往往要转化转化到直角三到直角三角形中角形中解答解答，同时要明确，同时要明确哪个角哪个角是直角是直角.若锐角若锐角所在所在的三角的三角形不是形不是直角三角形直角三角形，应先构造，应先构造直角三角形直角三角形，再求，再求锐角的锐角的三三角函数值角函数值.中考风向标中考风向标考法考法利用定义求锐角的三角函数利用定义求锐角的三角函数值值1例19中考风向标中考风向标试题评析：本题考查正切的定义，找准A的对边与邻边是解题的关键.答案：C中考风向标中考

25、风向标考法考法利用特殊角的三角函数值进行计算利用特殊角的三角函数值进行计算2例20试题评析：本题考查了有关特殊角的三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键中考风向标中考风向标中考宿迁 如图28.113，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C三点都在格点上，则sinABC_.考法考法网格中的锐角三角函数网格中的锐角三角函数3例21中考风向标中考风向标试题评析:本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形中考风向标中考风向标中考雅安 如图28.114，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若

26、AB6，BC8，则cosABF的值是_考法考法折叠中的锐角三角函数折叠中的锐角三角函数4例22中考风向标中考风向标试题评析：本题综合考查了矩形的性质、余弦的定义及折叠的性质，利用勾股定理构造方程是解题的关键.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标考法考法圆中的锐角三角函数圆中的锐角三角函数5例23中考风向标中考风向标试题评析：本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，灵活运用这些知识是解题的关键解：如图28.115，连接OC，OD，CD，CD交PA于点E.PC，PD与 O相切，切点分别为C，D，OC CP，PCPD，PO平分CPD.OP CD，CEDE.中考风向标中考风向标答案：D综合素养训

27、练综合素养训练A综合素养训练综合素养训练A综合素养训练综合素养训练A综合素养训练综合素养训练4.如图，一座厂房屋顶的人字架的跨度AC12 m，上弦ABBC，BAC25.若用科学计算器求上弦AB的 长，则下列按键顺序正确的是()B综合素养训练综合素养训练D综合素养训练综合素养训练B综合素养训练综合素养训练A综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练9.如图，已知两条平行线l1，l2，点A是l1上的定点，AB l2于点B，点C，D分别是l1，l2上的动点，且满足ACBD，连接CD交线段AB于点E，BHCD于点H，则当BAH最大时，sinBAH的值为_综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素

28、养训练11.中考北京如图，在ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BEDF，ACEF综合素养训练综合素养训练(1)求证：四边形AECF是矩形；证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，BEDF，ADDFBCBE，即AFEC，四边形AECF是平行四边形又ACEF，平行四边形AECF是矩形综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练12.中考武汉如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点综合素养训练综合素养训练(1)求证：AB与半圆O相切；证明：如图，连接OD，OA，作OHAB于点H.ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AOBC，AO平分BAC.AC与半圆O相切于点D，ODAC.结合OHAB，易得OHOD，AB与半圆O相切综合素养训练综合素养训练(2)连接OA，若CD4，CF2，求sinOAC的值综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练(1)求k与m的值；综合素养训练综合素养训练(2)过点A作直线lx轴与直线y2x4交于点C，求sinOCA的值.综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练