第二十八章 锐角三角函数章末核心要点分类整合课件2024-2025学年数学九年级下册人教版.pptx

1、结构必知结构必知章末核心要点分类整合章末核心要点分类整合第二十八章第二十八章 锐角锐角三角函数三角函数结构必知结构必知核心必读核心必读核心必读核心必读2.利用解直角三角形解决实际问题的步骤：(1)审清题意，将实际问题抽象为数学问题.(2)画出平面图形，转化为解直角三角形的问题.(3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形，得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.知识必学知识必学专题专题锐角三角函数锐角三角函数1链接中考 锐角三角函数的有关计算，主要是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质.这类问题一般属于中档题，多以填空题或选择题的形式

2、考查.知识必学知识必学例 1知识必学知识必学解题秘方：根据切线的性质构造直角三角形，利用切线长定理、勾股定理、等角对等边等知识求出线段DE与CD的比值知识必学知识必学知识必学知识必学答案：B知识必学知识必学专题专题特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值2链接中考 一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查.知识必学知识必学例 2解题秘方：先将特殊角的三角函数值代入，再按照运算法则和运算顺序进行运算即可知识必学知识必学专题专题解直角三角形解直角三角形3链接中考 解直

3、角三角形主要是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角.解决这类问题，关键是要结合图形的性质，灵活运用锐角三角函数，一般都是以解答题的形式考查.知识必学知识必学例 3中考北京 如图282，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DFFB，AFDC知识必学知识必学(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；解题秘方：解决本题的关键是说明EF为ABD的中位线；证明：E是AB的中点，AEBE.又 DFBF，EF是ABD的中位线.EFAD，即CFAD.AFCD，四边形AFCD为平行四边形.知识必学知识必学(2)若EFB90，tanFEB3，EF1，求BC的长解题秘方：紧扣条件中的边角

4、关系，利用解直角三角形求线段长，关键是找出相应的直角三角形.知识必学知识必学知识必学知识必学专题专题解直角三角形的应用解直角三角形的应用4链接中考 利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用直角三角形的知识解决问题.一般都是以解答题的形式考查.知识必学知识必学中考陕西如图283，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度.他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角CAE42，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角45，AB10 m.求山顶C点处的海拔高度.(

5、小明身高忽略不计，参考数据：sin 42 0.67，cos 42 0.74，tan 42 0.90)例 4知识必学知识必学解题秘方：解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用参数构建方程解决问题知识必学知识必学解：如图283，过点C作CDAE，交AE的延长线于点D.设BDx m，AB10 m，ADABBD(x10)m.在RtBCD中，CBD45，CDBDtan 45x m.在RtACD中，A42，CDADtan42(0.90 x9)m.x 0.90 x9，解得x 90.CD 90 m.小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，山顶C点处的海拔高度约为1 600901 690(m).知识必

6、学知识必学中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图284是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.例 5知识必学知识必学知识必学知识必学(1)求PQ的长；知识必学知识必学知识必学知识必学(2)该充电站有20 个停车位，求PN的长方法必会方法必会专题解读 在解决与角度、线段长度有关的实际问题时，通常构造含有已知边、角的直角三角形，建立常见的解直角三角形的模型，利用锐角三角函数进行计算求值，进而解决问题.专题专题建模思想建模思想5方法必会方法必会【“子母”型】中考 吉林 图285 中的吉林省广播电视塔，

7、又称“吉塔”.例 6方法必会方法必会某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB 873 m，如图285，从直升飞机上看塔尖C的俯角EAC37，看塔底D的俯角EAD45，求吉塔的高度CD(结果精确到0.1 m)(参考数据：sin 37 0.60，cos 37 0.80，tan 37 0.75)方法必会方法必会解题秘方：通过作辅助线，将两个俯角放到两个直角三角形中，构造解直角三角形的基本模型“子母”型，利用公共的直角边解直角三角形方法必会方法必会方法必会方法必会【“背靠背”型】中考抚顺小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，如图286，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30，测得大厦顶

8、部的仰角是37，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40 米(图中点A，B，C，D均在同一平面内)例 7方法必会方法必会解题秘方：过点B作BECD于点E，构造解直角三角形的基本模型“背靠背”型，然后利用“背靠背”型中公共的直角边解直角三角形方法必会方法必会(1)求两楼之间的距离AC(结果保留根号)；方法必会方法必会方法必会方法必会专题解读 在解直角三角形及利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，可依据题意设适当的未知数，再从题目的条件和要求的问题中寻求等量关系，构造出方程或方程组解决问题.专题专题方程思想方程思想6方法必会方法必会例 8方法必会方法必会解题秘方：利用锐角三角函数揭示的边角关系，列

9、出方程求线段长.解：由题意，得BMEF1.8 m，BNCD1.5 m，DF5 m，EMBF，BDCN，EMAB，CNAB，设BDCNx m，EMBFDFBD(x5)m.在RtAEM中，AEM45，AMEMtan 45(x5)m.方法必会方法必会答案：A方法必会方法必会专题解读 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常常根据已知量和未知量之间的关系建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数学的转化思想.专题专题转化思想转化思想7方法必会方法必会我国明朝数学家程大位写过一本数学著作直指算法统宗，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用西江月词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地

10、送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？例 9方法必会方法必会词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推进10 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺(假设秋千的绳索拉的很直)解题秘方：本题由西江月词牌引申出数学问题，关键是理解题意，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题.方法必会方法必会(1)如图288，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；方法必会方法必会解：如图288，过点A作ABOA于点B.设秋千绳索的长度为x尺由题可知，OAOAx 尺，AB514(尺)，AB10 尺

11、，OBOAAB(x4)尺在RtOAB中，由勾股定理得AB2OB2OA2，102(x4)2x2，解得x14.5答：秋千绳索OA的长度为14.5 尺.方法必会方法必会(2)如图288，将秋千从与竖直方向夹角为 的位置OA释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为 的地方OA，两次位置的高度差PQh.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含，和h的式子表示；如果不能，请说明理由方法必会方法必会好题必解好题必解类型类型巧用巧用“构造法构造法”构造构造直角三角形求直角三角形求锐角三锐角三角函数值角函数值1B好题必解好题必解类型类型巧用巧用“化斜为直法化斜为直法”构造构造直角三角形直角三角形求线

12、求线段长度段长度2好题必解好题必解好题必解好题必解类型类型巧用巧用“割补法割补法”构造构造直角三角形求面积直角三角形求面积33.如图，在四边形ABCD中，BD90，A60，AB4，AD5，求四边形ABCD的面积.好题必解好题必解好题必解好题必解题型1：测高问题4.中考广安风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，类型类型巧用建模思想建立直角三角形巧用建模思想建立直角三角形模型模型解实际解实际应用问题应用问题4好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解题型2：测

13、距问题5.东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门 楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.好题必解好题必解在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2方向，南关桥C在南偏东56.31 方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).(参考数据：sin 68.2 0.928，cos 68.20.371，tan 68.2 2.50，sin 56.31 0.832，cos 56.31 0.555，tan 56.31 1.50)好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题

14、必解题型3：堤坝问题6.中考仙桃为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i3 4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20 米，C18，求斜坡AB的长(结果精确到0.1 米，参考数据：sin 18 0.31，cos 18 0.95，tan 18 0.32)好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米)；好题必解好题必解好题必解好题必解(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为DCB，乙选择的路线为DAB.请计算说明谁选择的路线较近.好题必解好题必解好题必解好题

15、必解好题必解好题必解题型5：跨学科问题8.中考安徽科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解题型6：实践操作问题9.中考枣庄【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离，如图好题必解好题必解【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具.【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B.测量A，B两点间的距离以及PAB和PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB60米，PAB79，PBA64.画出示意图，如图.好题必解好题必解【问题解决】(1)计算A，P两点间的距

16、离(参考数据：sin 640.90，sin 790.98，cos 79 0.19，sin37 0.60，tan 370.75)解：如图，过点B作BHAP于点H.AB60米，PAB79，AHABcos 79600.1911.4(米)，BHABsin 79600.9858.8(米)好题必解好题必解好题必解好题必解【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种 方案：如图，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且ADDE，DEFDAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可好题必解好题必解(2)乙小组的方案用到了_(填写正确答案的序号)解直角三角形；三角形全等.【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测 量，要根据现场地形状况选择可实施的方案好题必解好题必解类型类型巧用锐角三角函数解决教材变巧用锐角三角函数解决教材变式问题式问题5好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解好题必解【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，AB2，BC3，CD4，BC90.求过A，B，D三点的圆的半径好题必解好题必解好题必解好题必解