28.2.1 解直角三角形课件2024-2025学年数学九年级下册人教版.pptx

1、学习目标学习目标28.2 28.2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第二十八章第二十八章 锐角锐角三角函数三角函数感悟新知感悟新知知识点知识点解直角三角形解直角三角形知知1 1讲讲11.解直角三角形的定义一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元 素，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括

2、求面积.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲深度理解深度理解1.已知两个角不能已知两个角不能解直角三角形解直角三角形.若若只有角只有角的条件，则的条件，则三角三角形形边的大小不唯一边的大小不唯一，即，即有无数个有无数个三角形符合三角形符合条件条件.2.已知已知一角一边时，一角一边时，角必须角必须为锐角，若为锐角，若已知已知的角是直角，的角是直角，则不能则不能求解求解.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.解直角三角形的常用关系式元素关系图示三边之间的关系a2b2c2(勾股定理)两锐角之间的关系AB90边、角之间的关系感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是()已知一

3、直角边及其对角；已知两锐角；已知两直角边；已知斜边和一锐角；已知一直角边和 斜边.A.B.C.只有 D.感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.解：能够求解，不能求解.答案：C感悟新知感悟新知知知1 1练练11.解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种：(1)已知两条边：一_边和一_；两_.(2)已知一条边和一个锐角：一_和一_；_和一_.直角斜边直角边直角边锐角斜边锐角感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点解直角三角形的类型与解法解直角三角形的类型与解法2图形已知条件解法RtABC两边两直角边斜边、一直角边(如c，a)感悟新知感悟新知

4、知知2 2讲讲图形已知条件解法RtABC一边和一锐角一直角边和一锐角一锐角与邻边(如A，b)一锐角与对边(如A，a)一锐角与斜边(如A，c)B90A；acsin A；bccos A续表感悟新知感悟新知知知2 2讲讲注意解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲活学巧记活学巧记口诀记忆法口诀记忆法：有有斜求对乘正弦斜求对乘正弦，有，有斜求邻乘余弦斜求邻乘余弦，无，无斜求斜求对乘正切对乘正切.“有斜求对乘有斜求对乘正弦正弦

5、”的意思是：在一的意思是：在一个直角三角形个直角三角形中，中，对对一个一个锐角而言，如果锐角而言，如果已知已知斜边长，要求该斜边长，要求该锐角的对边锐角的对边长，长，那么那么就用就用斜边长乘该锐角斜边长乘该锐角的正弦的正弦值，其他的值，其他的意思可意思可类推类推.感悟新知感悟新知知知2 2练练例 2思路引导：感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练思路引导：感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练根据下列条件，解直角三角形：(1)在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A30

6、，b12；思路引导：例 3感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A60，c6.思路引导：感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练思路点拨：紧扣以下两种思路去求解(1)求边时，一般用未知边比已知边(或用已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数(或用9 0减去已知锐角的度数).感悟新知感悟新知知知2 2练练31.在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：(1)c20，A45；

7、感悟新知感悟新知(2)a8，A60知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练例 4解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练教你一招:构造直角三角形解非直角三角形的方法通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解.感悟新知感悟新知知知2 2练练41.如图，在84的网格中，每个小正方形的边长都是 1

8、，若ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则 sin ACB_，BD_感悟新知感悟新知知知2 2练练42.如图，在ABC中，A30，B45，AC6，则ABC的周长为_.课堂小结课堂小结解直角三角形解直角三角形定义条件解直角三角形依据三边关系两锐角关系边角关系综合应用创新综合应用创新题型题型利用解直角三角形求线段的长利用解直角三角形求线段的长1例 5综合应用创新综合应用创新思路引导：综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新解题通法解题通法解非直角三角形解非直角三角形的方法的方法：运用运用“遇斜化直遇斜化直”的的思想求解，先作思想求解，先作三角形三角形的高，构的高，构造造直角三角形直角三角

9、形，然后利用，然后利用已知已知条件分别解这两条件分别解这两个直角三角个直角三角形形，即可，即可得出得出要求的值要求的值.综合应用创新综合应用创新题型题型利用解直角三角形求角的度数利用解直角三角形求角的度数2例 6综合应用创新综合应用创新解题秘方：将求正方形旋转的度数问题转化为求直角三角形中角的度数问题.综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新知识储备知识储备图形旋转的性质图形旋转的性质：旋转：旋转过程中，过程中，对应对应点到旋转中心的点到旋转中心的距离距离都相等；图形上都相等；图形上每一点每一点都绕旋转中心都绕旋转中心沿相同沿相同的方向旋的方向旋转转相同的相同的

10、角度，任意两组角度，任意两组对应对应点与旋转中心的点与旋转中心的连线连线所成的所成的角相等，角相等，都等于都等于旋转角；旋转旋转角；旋转中心中心在图形上时，它在图形上时，它是唯一是唯一不动的点不动的点.综合应用创新综合应用创新特别解读特别解读本题把求本题把求旋转角的旋转角的度数问题转化为度数问题转化为求求RtCBE中角的中角的度数问题度数问题，进而根据解，进而根据解直角三角形直角三角形的相关的相关知识求解知识求解，体现，体现了转化了转化思想思想的应用的应用.综合应用创新综合应用创新题型题型利用解直角三角形求面积利用解直角三角形求面积3中考日照如图28.24，ABCD中，点E是对角线AC上一点，

11、连接BE，DE，且BEDE例 7解题秘方：连接平行四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题进行求解综合应用创新综合应用创新(1)求证：四边形ABCD是菱形；综合应用创新综合应用创新(2)若AB10，tanBAC2，求四边形ABCD的面积综合应用创新综合应用创新技巧点拨技巧点拨作辅助线的技巧：作辅助线的技巧：解四边形问题时解四边形问题时，通常，通常通过作辅助线通过作辅助线将问题将问题转化成解转化成解直角三角形直角三角形问题，作辅助线时问题，作辅助线时注意：注意：1.尽量尽量不破坏题目不破坏题目中原有中原有的已知角，的已知角，特别是一些特别是一些特殊角；特殊角；2.尽量尽量使已知的使已知的边作

12、为构造边作为构造的直角三角形的直角三角形的边的边，否则会给，否则会给解题解题造成造成麻烦或不能求解麻烦或不能求解.综合应用创新综合应用创新题型题型利用解直角三角形解决与圆有关的问题利用解直角三角形解决与圆有关的问题4例 8解题秘方：利用圆的切线的判定和解直角三角形解题综合应用创新综合应用创新(1)试判断直线AB与 O的位置关系，并说明理由；综合应用创新综合应用创新ACB90，AB90.BOD B90，BDO90，即OD AB又 OD是 O的半径，直线AB与 O相切综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新技巧点拨技巧点拨证明切线的证明切线的方法通常方法通常是是“连半径，证连半径，证垂直垂

13、直”或或“作垂作垂直，证直，证半径半径”，本题利用了，本题利用了“连半径连半径，证垂直，证垂直”，比较常比较常规规本题本题第第(2)问中求问中求线段的长充分线段的长充分发挥了解发挥了解直角三角形的直角三角形的优势优势，对于求，对于求AC的的长长，也，也可以利用可以利用相似三角形相似三角形的性质，的性质，但稍微但稍微繁琐繁琐一点一点综合应用创新综合应用创新如图28.26，在RtABO中，AOB90，斜边AB1.若OC BA，AOC36，则()A.点B到AO的距离为sin 54B.点B到AO的距离为tan 36C.点A到OC的距离为sin 36 sin 54D.点A到OC的距离为cos 36 si

14、n 54例 9易错点易错点弄错直角三角形中各元素的对应关系而致错弄错直角三角形中各元素的对应关系而致错1综合应用创新综合应用创新错解：D正解：在RtABO中，BOA90，即BOAO，点B到AO的距离就是BO的长.OCBA，AOC36，BAOAOC36.根据锐角三角函数的定义得BOABsin 36sin 36，故A，B选项错误.综合应用创新综合应用创新如图28.26，过A作ADOC于点D，则AD的长就是点A到OC的距离.BOA90，BAO36，ABO54.根据锐角三角函数的定义得ADAOsin 36，AOABsin 54sin 54，ADsin 36 sin 54.答案：C综合应用创新综合应用创

15、新诊误区：诊误区：在在直角三角形中直角三角形中，所用的锐角，所用的锐角不同不同，则同一条边的，则同一条边的表表示示方法也不同方法也不同.错错解没有解没有找准合适的找准合适的三角函数三角函数，弄错了各，弄错了各元素元素的对应关系的对应关系.在在解决解决此类问题时，此类问题时，一定要一定要找准对应关找准对应关系，系，再列式再列式求解求解.综合应用创新综合应用创新易错点易错点当三角形的形状不确定时，没有进行分类当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错讨论而致错2例10综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新综合应用创新诊误区诊误区：在解非直角三角形在

16、解非直角三角形问题时，若问题时，若已知两边已知两边及一边的及一边的对角对角(锐角锐角)，但题目中，但题目中没有没有给出图形，我们给出图形，我们要进行要进行分类讨论，分类讨论，有时受有时受思维定式的影响思维定式的影响，往往，往往只考虑只考虑锐角三角形锐角三角形，而忽略，而忽略了了钝角三角形钝角三角形的情况的情况.本题中本题中三角形的三角形的形状不确定，所形状不确定，所以求以求BC的的长时，应长时，应该该有两种有两种情况情况.错解只错解只考虑考虑了了ABC为锐角三角形为锐角三角形的情况，的情况，而而忽略了忽略了 ABC为为钝角三角形钝角三角形的情况的情况.中考风向标中考风向标中考 浙江如图28.2

17、9，在ABC中，ADBC，AE是BC边上的中线，AB10，AD6，tanACB1考法考法利用解直角三角形求线段的长利用解直角三角形求线段的长1例11试题评析：本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键.中考风向标中考风向标(1)求BC的长；中考风向标中考风向标(2)求sinDAE的值中考风向标中考风向标考法考法利用解直角三角形解反比例函数问题利用解直角三角形解反比例函数问题2例12中考风向标中考风向标试题评析：本题考查反比例函数和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于中考常考题型.中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考 宜宾

18、如图28.211，ABC内接于 O，ABAC10，过点A作AE BC，交 O的直径BD的延长线于点E，连接CD考法考法利用解直角三角形求圆中的线段长利用解直角三角形求圆中的线段长3例13试题评析：本题主要考查了切线的判定、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键.中考风向标中考风向标(1)求证：AE是 O的切线；证明：如图28.211，连接AO并延长交BC于点F，连接OC，则OBOC.ABAC，AOBAOC.FOBFOC，OFBC，DFB90.AEBC，OAEOFB90，即AE OA.又 OA是 O的半径，AE是 O的切线中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向标中考风向

19、标综合素养训练综合素养训练B综合素养训练综合素养训练C综合素养训练综合素养训练C综合素养训练综合素养训练B综合素养训练综合素养训练5综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练8综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练(2)ac12，B60综合素养训练综合素养训练10.中考 雅安如图，已知E，F是ABCD对角线AC上两点，AECF综合素养训练综合素养训练(1)求证：ABE CDF；综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练11.中考 成都如图，在RtABC中，C90，D为斜边AB上一点，以BD为直径作 O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF综合素养训练综合素养训练(1)求证：BCDFBFCE；综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练1综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练综合素养训练