2020新人教A版数学必修一1.4 充分条件与必要条件 教师版.doc

1、充分条件与必要条件充分条件与必要条件 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、充分条件与必要条件要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念充要条件的概念 符号符号pq与与pq 的含义的含义 “若p，则q”为真命题，记作：pq； “若p，则q”为假命题，记作：pq . 充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件 若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件. 要点诠释：要点诠释：对pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q. “若p，则q”为真命题； p是q的充分条件； q是p的必要条件

2、 以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达. 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看从逻辑推理关系看 命题“若p，则q”，其条件 p 与结论 q 之间的逻辑关系 若pq，但qp ，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； 若pq ，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件； 若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件； 若pq ，且qp ，则p是q的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看从集合与集合间的关系看 若 p：xA，q：xB， 若 AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若 A

3、是 B 的 真子集，则p是q的充分不必要条件； 若 A=B，则p、q互为充要条件； 若 A 不是 B 的子集且 B 不是 A 的子集，则p是q的既不充分也不必要条件. 要点三、充要条件的证明要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立） ，又要证明条件 的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：要点诠释：对于命题“若p，则q” 如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”与其逆否命题“若q，则p”为真命题； 如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若p，则q”为真命题； 如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典【

4、典型例题】型例题】 类型一：充类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定分条件、必要条件、充要条件的判定 例例 1. “x0”的_条件 【解析】 2 101,1xxx ，故 2 110 xx ，但 2 101xx ， “x0”的充分而不必要条件 举一反三：举一反三： 【变式 1】指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1) p: (2)(3)0 xx， q: 2x； (2) p: 0c ，q: 抛物线 2 yaxbxc过原点 (3) p: 一个四边形是矩形，q: 四边形的邻边相等 【答案】(1)p: 2x或3x , q: 2xpq 且qp,p是q的必要不充分条件； (2)pq且qp,p是q的充要

5、条件； (3)pq 且qp ，p是q的既不充分条件也不必要条件. 【变式 2】判断下列各题中p是q的什么条件. （1）p:0a且0b, q:0ab （2）p:1 y x , q: xy. 【答案】（1）p是q的充分不必要条件. 0a且0b时，0ab成立；反之，当0ab时，只要求a、b同号即可.必要性不成立. （2）p是q的既不充分也不必要条件 1 y x 在0y 的条件下才有xy成立.充分性不成立，同理必要性也不成立. 【变式 3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件， 那么丙是甲的（ ）. A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不

6、必要条件 【答案】A； 【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙 丙. 于是有丙乙甲，且甲 丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙 丙矛盾） 故丙甲且甲 丙，所以丙是甲的充分非必要条件. 例例 2. （2015 天津）设xR ，则“21x ”是“ 2 20 xx ”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】|2| 1x的解集为（1，3） ， 2 20 xx的解集为(, 2)(1,) ， 故|2| 1x 是 2 20 xx的充分不必要条件。 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 p：0x3，q：|x-1|2，则 p 是 q 的（ ）

7、（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】选（A） ；q：|x-1|2，解得-1x3，亦即 q：-1x3. 如图，在数轴上画出集合 P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看 PQ， pq，但 q p. 【变式 2】下列叙述中正确的是( ) A若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” Dl 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 【答案】(1)对于选项 A，“b24ac0”是“a

8、x2bxc0”必要不充分条件故选项 A 不正确 (2)对于选项 B，“ac”是“ab2cb2”的必要不充分条件故选项 B 不正确 (3)对于选项 C 结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，“存在 xR，有 x20”故选项 C 不正确 (4)对于选项 D；命题“l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 ”是两个平面平 行的一个判定定理故答案为：D 【变式 3】设xR，则条件“2x”的一个必要不充分条件为（ ） A.1x B.1x C.3x D.3x 【答案】A 【变式 4】已知 p：“直线 l 的倾斜角 4 ”；q：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条

9、件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 p：“直线 l 的倾斜角 4 ”，则直线 l 的斜率 k=tan1 或 k0； q ：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的必要不充分条件。故选 B。 类型二：类型二：充要条件的探求与证明充要条件的探求与证明 例例 3. 设 x、yR，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0. 【解析】 （1）充分性：若 xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y| 如果 xy0，即 x0，y0 或 x0，y0， 当 x0，y0 时，|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当

10、x0，y0 时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|. 总之，当 xy0 时，有|x+y|=|x|+|y|. （2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及 x、yR，得(x+y)2=(|x|+|y|)2， 即 x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 a, b, c 都是实数，证明 ac0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要 条件. 【答案】（1）充分性:若 ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根，设为 x

11、1, x2, ac0, x1 x2= a c 0, x20， 则 x1 x2= a c 0， ac0 综上可得 ac0 是方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式 2】求关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】（1）a=0 时适合. （2）当 a0 时，显然方程没有零根， 两异号的实根，须满足 1 0 0 440 a a a ；两个负的实根，须满足 1 0 2 001 440 a a a a 综上知，若方程至少有一个负的实根，则 a1； 反之，若 a1，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于 x 的方程 ax2+2x+1=0

12、至少有一个负的实根的充要条件是 a1 类型三：充要条件的应用类型三：充要条件的应用 例例 4.已知 22 1 :|1| 2,:210(0), 3 x pq xxmm 若 p 是 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围. 【解析】由 22 210(0)xxmm ，解得：11mxm 又由 1 |1| 2 3 x ，解得：210 x p 是 q 的充分不必要条件，所以： 0 12, 110 m m m 或 0 12, 110 m m m 解得9m 【变式 1】已知 p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若 p 是 q 的充分不必要条件， 求实数 a 的取值范围 【解析】BxR|x23x20 x|1x2， p 是 q 的充分不必要条件，pq，即 A 是 B 的真子集， 可知A或方程 x2ax10 的两根要在区间1,2内 a240 或 0 12 2 4210 110 a a a ，得2a2.