2020新人教A版数学必修一3.2.1 单调性与最大（小）值 教师版.doc

1、单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的单调性要点一、函数的单调性 1增函数、减函数的概念增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间DA ： 如果对于D内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是增函数； 如果对于D内的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说 f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释：要点诠释： (1)属于定义域 A 内某个区间上； (2)任意两个自变量 12 ,x x且 12 xx； (3)都有 1212 ( )()( )

2、()f xf xf xf x或； (4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2单调性与单调区间单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数 f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间D上具有单调性，D称为函 数 f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：要点诠释： 单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； 单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 不能随意合并两个单调区间； 有的函数不具有单调性. (2)已知解析式，如何判断一个函数

3、在所给区间上的单调性？ 3函数的最大（小）值函数的最大（小）值 一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足： 对于任意的xI，都有( )f xM（或( )f xM） ； 存在 0 xI，使得 0 ()f xM，那么，我们称M是函数( )yf x的最大值（或最小值）. 要点诠释：要点诠释： 最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 0 x，使 0 ()f x等于最值； 对于定义域内的任意元素x，都有 0 ( )()f xf x（或 0 ( )()f xf x） ，“任意”两字不可省； 使函数( )f x取得最值的自变量的值有时可能不止一个； 函数( )f x在其定义域（某个区间）

4、内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几 何意义是图象上最低点的纵坐标. 4.证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤 (1)取值.设 12 xx，是( )f x定义域内一个区间上的任意两个量，且 12 xx； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与 1 的大小关系； (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函数，若 tg x在区间ab，上是单调函数，则 yf t在区间 ( )( )g ag b， 或者( )( )g bg a，上是单调函数；若 t

5、g x与 yf t单调性相同（同时为增或同 时为减） ， 则 yfg x 为增函数； 若 tg x与 yf t单调性相反， 则 yfg x 为减函数. 要点二、基本初等函数的单调性要点二、基本初等函数的单调性 1正比例函数正比例函数(0)ykx k 当 k0 时，函数ykx在定义域 R 是增函数；当 k0 时，函数ykxb在定义域 R 是增函数；当 k0，在区间( 2 b a ，函数是减函数；在区间) 2 b a ，+，函数是增函数； 若 a0，在区间( 2 b a ，函数是增函数；在区间) 2 b a ，+，函数是减函数 要点三、一些常见结论要点三、一些常见结论 (1)若( )f x是增函数

6、，则( )f x为减函数；若( )f x是减函数，则( )f x为增函数； (2)若( )f x和( )g x均为增（或减）函数，则在( )f x和( )g x的公共定义域上( )( )f xg x为增（或 减)函数； (3)若( )0f x 且( )f x为增函数，则函数( )f x为增函数， 1 ( )f x 为减函数； 若( )0f x 且( )f x 为减函数，则函数( )f x为减函数， 1 ( )f x 为增函数. 【典型例题】【典型例题】 类型一、函数的单调性的证明类型一、函数的单调性的证明 例 1讨论函数( )(0) a f xxa x 的单调性，并证明你的结论. 【解析】设

7、12 0 xxa，则 12 0 xx， 121212 0,0,0 x xx xax xa. 1212 1212 1212 ()() ()()0 xxx xaaa f xf xxx xxx x ，即 12 ( )()f xf x. ( )f x在0, a 上单调递减. 同理可得( )f x在 ,a 上单调递增；在,a 上单调递增；在 ,0a 上单调递减. 故函数( )f x在,a 和 ,a 上单调递增；在 ,0a 和0, a 上单调递减. 类型二、求函数的单调区间类型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 2 |1|( -2)yxx 【解

8、析】(1)由图象对称性，如图， f(x)在 3 - 2 ，上递减，在 33 -,00, 22 上递增，在上递减，在 3 + 2 ，上递增. (2) -23 (1) |1|-2|1 (12) 2 -3 (2) xx yxxx xx ，如图，f(x)在-12 +，上递减，在，上递增 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2) 1 21 y x ； (3) 2 1 y x ； （4）y=|x2-2x-3|. 【解析】(1) ) 1x( 1x ) 1x( 1x y画出函数图象， 函数的减区间为1,，函数的增区间为(-1，+)； (2)定义域为 u 1 y,

9、 1x2u, 2 1 2 1 , ，设，其中 u=2x-1 为增函数， u 1 y 在(-，0) 与(0，+)为减函数，则 , 2 1 , 2 1 , 1x2 1 y在上为减函数； (3)定义域为(-，0)(0，+)， 2 x 1 y 单调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+). （4）先画出 y=x2-2x-3，然后把x轴下方的部分关于x轴对称上去， 就得到了所求函数的图象，如图 所以 y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-，-1） ， （1，3） ； 单调增区间是（-1，1） ， （3，+）. 例 3.已知函数( )yf x的定义域为R，且对任意的x、 xR均有 ()( )( )f

10、 xxf xf x，且 对任意的0 x，都有( )0,(3)3f xf . （1）试说明：函数( )yf x是R上的单调递减函数； （2）试求函数( )yf x在,m n（,m nZ且0mn）上的值域. 【解析】 （1）任取 1 x、 2 xR，且 12 xx， ，于是由题设条件 ()( )( )f xxf xf x可知： 2121 ()()f xf xxx 121 ( )()f xf xx. 1221 ,0 xxxx，对任意的0 x都有( )0f x ， 21 ()0f xx. 21211 ()( )()( )f xf xf xxf x. 故函数( )yf x是R上的单调递减函数. （2）由

11、于函数( )yf x是R上的单调递减函数， ( )yf x在m,n上也为单调递减函数， ( )yf x在m,n上的最大值为( )f m，最小值为( )f n. 由于( )1 (1)(1)(1)2 (1)(2)(1)f nfnff nff nnf， 同理( )(1)f mmf.(3)3,(3)3 (1)3fff .(1)1,( ),( )ff mm f nn . 因此函数( )yf x在,m n上的值域为, nm. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知( )f x的定义域为(0,)，且当1x 时( )0f x .若对于任意两个正数x和y都有 ()( )( )f xyf xf y，试判断( )f

12、 x的单调性. 【解析】设 12 0 xx，则 11 22 1,()0 xx f xx . 11 1222 22 ()()()()() xx f xf xf xff x xx . ( )f x在0,上单调递增. 【变式 2】已知增函数 y=f（x）的定义域为(0 ,)且满足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y） ，求满 足 f（x）+f（x3）2 的 x 的范围 【解析】由 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知， 2=1+1=f（2）+f（2）=f（4） ， 所以 f（x）+f（x3）2 等价于：f（x）+f（x3）f（4） ， 因为()( )( )f xyf xf y，

13、所以 f（x）+f（x3）=fx（x3）， 所以 fx（x3）f（4） 又因为 y=f（x）在定义域（0，+）上单调递增 所以 (3)4 14 0 3 30 x x x x x x ，34x 故满足的实数 x 的取值范围是3 ,4 类型三、单调性的应用类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例 4. 已知函数( )f x是定义域为R的单调增函数 （1）比较 2 (2)f a 与(2 )fa的大小； （2）若 2 ()(6)f af a，求实数a的取值范围 【解析】 （1）因为 22 22(1)10aaa

14、，所以 2 22aa， 由已知，( )f x是单调增函数，所以 2 (2)(2 )f afa （2）因为( )f x是单调增函数，且 2 ()(6)f af a，所以 2 6aa，解得3a 或2a 例 5. 求下列函数的值域： (1) 2 -1 2 x y x ； x5，10； x(-3，-2)(-2，1)； (2) 2 -28yxx； (3)43 -1-2yxx； (4)1-2yxx. 【解析】 (1) 2(2)-5-5-5 22 x yy xxx +2可看作是由左移2 个单位， 再上移 2 个单位得到，如图 f(x)在5，10上单增， 9 19 (5),(10) , 7 12 yff即；

15、1 (- ,(1)( (-3),)(-)(7) 3 yff即，； (2) 2222 -( -1)9 ( -1)0-( -1)00-( -1)990,3yxxxxy，； (3) 1 3 -10, 3 xx，经观察知， 112 ,( )- 333 yyf 在上单增， 2 -, 3 y ； (4)令 2 22 1-111 1-20 -( -1)1,- ,1 2222 t xtytttty . 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx （1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间； （3）求函数 f（x）的

16、最大值和最小值 【解析】 （1） 2 2 43,( 30) ( )33,(01) 65,(16) xxx f xxx xxx ，作出其图象如下： （2）由 f（x）的图象可得，单调递减区间为3，2，0，1） ，3，6； 递增区间为：2，0） ，1，3 （3）由 f（x）的图象可得，当 x=3 时，f（x）取得最大值为 4，当 x=6 时，f（x）取得最小值5 例 6.求 2 ( )21f xxax在区间0，2上的最大值和最小值. 【解析】 22 ( )()1f xxaa ，对称轴为xa （1）当0a时，由上图可知， min ( )(0)1f xf ， max ( )(2)34 .f xfa （

17、2）当01a时，由上图可知， 2 min ( )( )1,f xf aa ， max ( )(2)34 .f xfa （3）当12a时，由上图可知， 2 min ( )( )1,f xf aa ， max ( )(0)1.f xf （4）当2a时，由上图可知， min ( )(2)34 ,f xfa ， max ( )(0)1.f xf 类型四、抽象函数的单调性及应用类型四、抽象函数的单调性及应用 例 7已知：函数( )f x对一切实数 x，y 都有()( )(21)f xyf yx xy成立，且 f（1）=0 （1）求 f（0）的值 （2）求 f（x）的解析式 （3）已知 aR，设 P：当

18、1 0 2 x时，不等式( )32f xxa恒成立； Q：当 x2，2时，( )( )g xf xax是单调函数 如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A，满足 Q 成立的 a 的集合记为 B，求 ACRB（R 为全集） 【解析】 （1）令 x=1，y=1，则由已知 f（0）f（1）=1 （1+2+1）f（1）=0，f（0）=2； （2）令 y=0，则 f（x）f（0）=x（x+1） ，又f（0）=2， 2 ( )2f xxx； （3）不等式( )32f xxa，即 2 232xxxa即 2 1xxa ， 当 1 0 2 x时， 2 3 1 1 4 xx ，又 2 13 () 24 xa恒成立

19、，故 A=a|a1， 22 ( )2(1)2g xxxaxxa x ， 又( )g x在2，2上是单调函数，故有 1 2 2 a ，或 1 2 2 a ， B=a|a3，或 a5，ACRB=a|1a5 【巩固练习】【巩固练习】 1定义域R上的函数( )f x对任意两个不相等的实数, a b，总有 ( )( ) 0 f af b ab ，则必有( ) A函数( )f x先增后减 B函数( )f x先减后增 C函数( )f x是R上的增函数 D函数( )f x是R上的减函数 1. 【答案】C.【解析】由 ( )( ) 0 f af b ab 知，当ab时，( )( )f af b， 当ab时，(

20、)( )f af b，所以( )f x在R上单调递增. 2在区间)0 ,(上为增函数的是( ) A1y B2 1 x x y C12 2 xxy D 2 1xy 2. 【答案】B.【解析】 21 21 111 xx y xxx . 3函数( )(2)f xx x 的一个单调递减区间可以是（ ） A.-2，0 B.0，2 C.1，3 D. 0，+） 3. 【答案】C.【解析】函数 2 ( )(1)1f xx ，图象开口向下，对称轴是1x . 4已知 (31)4 ,1 ( ) 1,1 axa x f x xx 是定义在 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1 ,) 7 B 1 1

21、, ) 7 3 C 1 (, ) 3 D 11 (, ( ,) 73 4 【答案】B【解析】当 x1 时，函数 f（x）=x+1 为减函数，此时函数的最大值为 f（1）=0， 要使 f（x）在 R 上的减函数，则满足 310 314(1)0 a aaf ，即 1 3 1 7 a a ，解集 11 73 a 5函数11yxx 的值域为( ) A2, B2, 0 C,2 D, 0 5. 【答案】B.【解析】 2 ,1 11 yx xx ，y是x的减函数，当1,2,02xyy 6设0a，函数 2 ( )f xaxbxc的图象关于直线1x 对称，则(1),( 2),( 3)fff之间的大 小关系是（

22、） A. (1)( 2)( 3)fff B. ( 3)( 2)(1)fff C. (1)( 3)( 2)fff D. ( 2)( 3)(1)fff 6. 【答案】A.【解析】 由于0a，且函数 2 ( )f xaxbxc图象的对称轴为1,x 所以函数( )f x在1,上单调递增.因为123，从而(1)( 2)( 3)fff. 7已知函数 2 2 4 ,0, ( ) 4,0, xx x f x xxx 若 2 (2)( )faf a，则实数a的取值范围是（ ）. A , 12, B1,2 C2,1 D , 21, 7 【答案】C. 【解析】 22 4(2)4yxxx在0,上单调递增； 22 4(

23、2)4yxxx 在,0上单调递增.又 222 4(4)20 xxxxx， 2 (2)( )faf a，推出 2 2,aa得 2 20aa，解得22a . 8在函数( )yf x的图象上任取两点 1122 ( ,), (,)A x yB xy，称 21 21 yyy xxx 为函数( )yf x从 1 x 到 2 x之间的平均变化率.设函数 2 ( )1f xxx，则此函数从 1 x到 2 x之间的平均变化率为（ ）. A 2112 ()(1)xxxx B 12 1xx C 2112 ()(1)xxxx D 12 1xx 8 【答案】B. 22 2211 1 (1)yxxxx =（ 21 xx）

24、 （ 21 1xx） ， 21 12 21 1 yyy xx xxx 9函数 2 32yxx的单调递增区间为（ ） A 3 , 2 B 3 , 2 C2 , D,1 9【答案】 C【解析】 令 2 ( )320t xxx， 求得 x1， 或 x2， 故函数的定义域为 ,12 ,， 且函数( )yt x，故本题即求二次函数 t（x）在 ,12 ,上的增区间 再利用二次函数的性质可得 t（x）在 ,12 ,上的增区间为2 ,， 10函数21yxx的值域是_. 10. 【答案】 2,)【解析】 1,xy 是x的增函数，当1x时， min 2y . 11函数 2 ( )2f xxax 与 1 ( )

25、1 ax g x x 在区间（1，2）上都单调递减， 则实数 a 的取值范围是_ 11 【答案】 （1，1【解析】 2 ( )2f xxax 的图象是开口朝下，以 x=a 为对称轴的抛物线， 2 ( )2f xxax 在区间1，2上是减函数，a1 ； 11 ( ) 11 axa g xa xx 在区间（1，2）上都单调递减，有 a+10，解得 a1 ； 综，得1a1，即实数 a 的取值范围是（1，1 12 函数( )f x的定义域为 A， 若 12 ,x xA且 12 ( )()f xf x时总有 12 xx， 则称( )f x为单函数 例 如，函数( )21()f xxxR是单函数下列命题：

26、 函数 2 ( )()f xxxR是单函数； 若( )f x为单函数， 12 ,x xA且 12 xx，则 12 ( )()f xf x； 若 f：AB 为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； 函数( )f x在某区间上具有单调性，则( )f x一定是单函数 其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号） 12. 【答案】 【解析】 对于，若 12 ( )()f xf x，则 12 xx ，不满足；实际上是单函数命 题的逆否命题， 故为真命题； 对于， 若任意bB， 若有两个及以上的原象， 也即当 12 ( )()f xf x时， 不一定有 12 xx，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命

27、题不满足条件 13已知函数( )f x的定义域为1,1，且同时满足下列条件：(1)()( )fxf x ；(2)( )f x在定 义域上单调递减；(3) 2 (1)(1)0,fafa求a的取值范围. 13 【解析】 22 (1)(1)(1)fafaf a ，则 2 2 111 111 11 a a aa ，01a 14已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）=1 和 f（x+1）f（x）=2x （1）求 f（x） ； （2）求 f（x）在区间1，1上的最大值和最小值 14 【答案】 （1） 2 ( )1f xxx； （2）f（x）min= 3 4 ，f（x）max=3 【解析】 （1）设 2 ( )f xaxbxc， 则 22 (1)( )(1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab 由题 1 22 c axabx 恒成立， 22 0 1 a ab c 得 1 1 1 a b c 2 ( )1f xxx （2） 22 13 ( )1() 24 f xxxx =在 1 1 , 2 单调递减，在 1 ,1 2 单调递增 min 13 ( )( ) 24 f xf， max ( )( 1)3f xf