2020新人教A版数学必修一3.2.2 奇偶性 学生版.doc

1、函数的奇偶性函数的奇偶性 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数. 要点诠释：要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？ -具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为： () ( )()0,1( ( )0) ( ) fx f xfx

2、f x f x ， f(-x)=-f(x)的等价形式为： () ( )()01( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x ，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0； （5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之， 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2） 如果一个函数为偶函数， 则它的图象关于y轴对称； 反之， 如果一个函数的图像关于y轴对称， 则这

3、个函数是偶函数. （3）注意到偶函数( )f x的性质：()( )(|)fxf xfx，可避免讨论 3.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数( )f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数( )f x的定义域，化简函数( )f x的解析式； （3）求()fx，可根据()fx与( )f x之间的关系，判断函数( )f x的奇偶性. 若()fx=-( )f x，则( )f x是奇函数；若()fx=( )f x，则( )f x是偶函数； 要点二、判断函数奇偶性的

4、常用方法要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1） 定义法： 若函数的定义域不是关于原点对称， 则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数； 若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与( )f x之一是否相等. （2）验证法：在判断()fx与( )f x的关系时，只需验证()fx( )f x=0 及 () 1 ( ) fx f x 是否成 立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称. （4） 性质法： 两个奇函数的和仍为奇函数； 两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶

5、性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断 方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称， 然后判断()fx与( )f x的关系.首先要特别注意x与 x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，( )f x与()fx对应不同的表达式，而它们的结果 按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题】【典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性： (1) 1- ( )(1) 1 x f xx x ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) 2 1- (

6、) |2| -2 x f x x ； (5) 2 2 -(0) ( ) (0) xx x f x xx x ； (6) 1 ( ) ( )-()() 2 f xg xgxxR 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1) 2 3 ( ) 3 x f x x ； (2)( ) |1|1|f xxx； (3) 2 22 ( ) 1 xx f x x ； (4) 2 2 x2x1(x0) f(x)0(x0) x2x1 (x0) . 例 2.已知函数( ),f x xR，若对任意实数, a b都有()( )( )f abf af b，判断( )f x的奇偶性. 举一反三：举一反三：

7、 【变式 1】定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x） ，总有 f（mn）=f（m）f（n） ， 且 f（x）0，当 x1 时，f（x）1 （1）求 f（1） ，f（1）的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在（0，+）上的单调性，并证明 类型二、函数奇偶性的应用类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，( )( )( )2H xaf xbg x在0,上的最大值为 5， 则( )H x在（-,0）上的最小值为 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(

8、-2)=10，求 f(2). 例 4已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时， 2 ( )1f xxx ； （1）求 f(x)的解析式； （2）作出函数 f(x)的图象（不用列表） ，并指出它的增区间。 举一反三：举一反三： 【变式 1】（1）偶函数( )f x的定义域是 R，当0 x时 2 ( )31f xxx，求( )f x的解析式. （2）已知奇函数( )g x的定义域是 R，当0 x 时 2 ( )21g xxx，求( )g x的解析式. 例 5. 定义域在区间2， 2上的偶函数( )g x， 当 x0 时，( )g x是单调递减的， 若(1)( )gmg m 成立，求 m 的

9、取值范围 类型三、函数奇偶性的综合问题类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6. 已知( )yf x是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数 2 (1)fx的单调递增区间 举一反三 【变式 1】设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0， 则不等式 ( )() 0 f xfx x 的解集为（ ） A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 例 7.设函数 2 ( )2f xxxa（xR，a 为实数） （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a2，求函数 f（x）的最小值 举一反三：举一反三： 【变式 1】 判

10、断( ) |()f xxaxaaR的奇偶性 例 8.对于函数( )f x，若存在 x0R，使 00 ()f xx成立，则称点（x0，x0）为函数( )f x的不动点 （1）已知函数 2 ( )()(0)f xaxbxb a有不动点（1，1） ， （3，3） ，求 a，b 的值； （2）若对于任意的实数 b，函数 2 ( )()(0)f xaxbxb a总有两个相异的不动点，求实数 a 的 取值范围； （3）若定义在实数集 R 上的奇函数( )g x存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数 【巩固练习】【巩固练习】 1函数 2 ( )|f xxx的图象( ) A关于原点对称 B关于y轴对称

11、C关于x轴对称 D不具有对称轴 2已知函数)127()2() 1()( 22 mmxmxmxf为偶函数，则m的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3设函数 3 ( )1f xaxbx，且( 1)3,f 则(1)f等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 5 4如果奇函数)(xf在区间3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3, 7 上是( ) A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5 5已知)(xf是定义在 R 上的偶函数，在0 ,(上是减函数，且0)3(f， 则使0)(xf的x的范围是（ ） A)3 ,( B), 3

12、( C), 3()3 ,( D)3 , 3( 6若函数 2 ( )( )xF xf x为奇函数，且 g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则 g（1）的值为（ ） A1 B3 C2 D2 7 若)(xf是偶函数， 其定义域为,， 且在, 0上是减函数， 则) 2 5 2() 2 3 ( 2 aaff与 的大小关系是( ) A) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf B) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf C) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf D) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf 8若定义在R上的函数( )f x满足：对任意 12 ,x xR有 1212 ()

13、( )()f xxf xf x+1，则下列说 法一定正确的是（ ） A( )f x为奇函数 B ( )f x为偶函数 C( )1f x 为奇函数 D( )1f x 为偶函数 9已知函数 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x axx x 是奇函数，则 a=_，f（f（1） ）=_ 10奇函数( )f x在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为 8，最小值为-1， 则2 ( 6)( 3)ff . 11函数 2 ( )3f xaxbxab为偶函数，其定义域为1,2aa，则( )f x的值域 12奇函数( )f x在（-1，1）上是减函数，求满足 2 (1)(1)0fmfm的实

14、数m的取值范围 13 已知( )f x是定义在R上的不恒为零的函数， 且对任意的, a bR满足()( )( )f a baf bbf a （1）求(0),(1)ff的值； （2）判断( )f x的奇偶性，并证明你的结论 14定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数，若 f（a+1）+f（4a5）0求实 数 a 的取值范围 15函数 f(x)对于任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时 f(x)0 恒成立 （1）证明函数f(x)的奇偶性； （2）若f(1)= 2，求函数f(x)在2，2上的最大值； （3）解关于x的不等式 2 11 ( 2)( )(4 )( 2) 22 fxf xfxf