浙江省三校（新昌、浦江、富阳中学）2021届高三上学期10月第一次联考数学试题（含答案）.doc

1、浙江浙江 2022021 1 届高三三校第一次联考届高三三校第一次联考 数学试题卷数学试题卷 注意事项：注意事项： 1.1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分. . 2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. . 3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. . 4.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. . 本试卷分第卷和第卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷

2、总分为 150 分.请考生按规定用笔将 所用试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)= P(A)+ P(B) V=Sh 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P(AB)= P(A)P(B) 锥体的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n V= 1 3 Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. Pn(k)=(1)(0,1,2, ) kkn k n C ppkn 球的表面积公式 台体的体积公式 S=4R2 V= 1

3、 3 (S1+ 12 S S+S2) h 球的体积公式 其中 S1、S2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V= 4 3 R3 台的高. 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合 21 |21| 6,0 , 3 x AxxBx x 则 R AB= （ ） A. 517 ,3, 222 B. 517 ,3, 222 C. 1 ,3 2 D. 1

4、,3 2 2. 已知aR，若 1 12 ai i （i为虚数单位）是实数，则实数a等于 （ ） A1 B2 C 2 3 D 2 5 3若 0 20 30 x xy xy ,则3zxy的最小值是 （ ） A0 B1 C 5 D9 4. 设 m，n 是空间两条直线， 是空间两个平面，则下列选项中不正确 的是 ( ) A当 n 时，“n”是“”成立的充要条件 B当 m 时，“m”是“”的充分不必要条件 C当 m 时，“n”是“mn”的必要不充分条件 f x( ) = ln x 0.4 () ln 4( ) O 1 x y 2 f x( ) = ln x + 0.8 () ln 4( ) O 1 x

5、y 2 -1 f x( ) = ln x + 0.8 () ln 1 4( ) O 1 x y 2 -1 1 f x( ) = ln x 0.8 () ln 1 4( ) O 1 x y 2 -1 1 3 2 xF = 4.09 f x( ) = sin ax() + b b = 0.61厘米 a = 0.79厘米 -1 OBD A C x y 1 D当 m 时，“n”是“mn”的充分不必要条件 5已知函数 ysin axb(a0)的图像如图所示，则函数 yloga(xb)的图像可能是 ( ) A B C D 6.已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的

6、左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点 P 与点 2 F关于直线 b yx a 对称，则该双曲线 C 的离心率为 （ ） 5 . 2 A . 5B . 2C .2D 7. 设函数( )2cosf xxx,设 n a是公差为 8 的等差数列, f(a1)f(a2)f(a5)5,则 () 2 315 f aa a （ ） .0A 2 1 .16B 2 1 . 8 C 2 13 .16D 8. 已知平面向量a，b，c满足：2a ，a，b夹角为60o， 且() 1 2 catb tR .则cca 的最小值为 （ ） A13 B4 C2 3 D 9 3 4 9.袋子A中装有若干个均匀的红球和白球,从A中有

7、放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的 概率是 3 1 ,有 3 次摸到红球即停止.记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为,则的数学期望 E （ ） 131 . 81 A 143 . 81 B 433 . 243 C 593 . 243 D 10定义全集 U 的子集 A 的特征函数( ) 1, 0, A U xA fx xC A .这里 U C A表示集合 A 在全集 U 中的 补集.已知AU，BU，以下结论不正确 的是 （ ） A.若AB，则对于任意 xU，都有( )( ) AB fxfx； B.对于任意 xU，都有( )( )1 U C AA fxfx ； C.对于任意 xU，都有

8、( )( )( ) A BAB fxfxfx； D.对于任意 xU，都有( )( )( ) A BAB fxfxfx 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.在 2000 多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直 于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和” 圆锥的一条母线平行时， 得到抛物线； 当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。 已知一个圆

9、锥的高和底面半径都为2， 则用与底面呈45的平面截这个圆锥， 得到的曲线是 . 12. 某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是1， 则正视图中的x的 值是 ，该几何体的表面积是 . 13. 已知多项式( )()()()() 527 2 0127 11111xxaa xaxax， 则 127 aaa ， 4 a . 14.已知 7 sincos(0) 13 ,则tan ，sin2() 4 . 15. 过20 xy上一点() 00 ,P xy作直线与 22 1xy相切于A,B两点.当 0 3x 时，切线 长PA为_；当POAB最小时， 0 x的值为_. 16.在平面直角坐标系中，给定两点

10、M(1,2),N(3,4),点 P 在x轴的正半轴上移动，当MPN取 最大值时，点 P 的横坐标为_. 17.若对任意0 x，不等式 1 (1)2()ln ax a exx x 恒成立，则实数a的最小值为_. 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 18. （本小题满分 14 分） 在2ACB2acb这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 问题： 已知ABC内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若2b ， _， 试求sinsinsinABC 的

11、范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19. （本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，3DEAECDEAE，已知平面，F 为 DE 的中点. ()求证：BE/平面 ACF； ()求 BE 与平面 BCF 所成角的正弦值. 20 （本小题满分 15 分） g x( ) = p 2xP x xP() + yP N AM E D B A P x y 已知数列 n a的首项 1 a，前n项之和 n S，满足 2 1 2 n nna S .数列 n b的前n项之和 n T，满 足()()110 nn qTqbq， * nN. （）若对任意

12、正整数n都有 1nn ab 成立，求正数q的取值范围； （）当2q ，数列 n c满足： 2 1 n n nn a c Sb ，求证： 12 3 2 2 n ccc. 21. （本小题满分 15 分） 已知椭圆:() 22 22 10 xy ab ab 左顶点为A，离心率为 3 2 ，且过点 1 3, 2 . （）求的方程； （）过抛物线:C() 2 20ypx p上一点 P 的切线l交于,D E两点，线段DE,PA的 中点分别为,M N.求证：对任意0p ，都存在这样的点 P，使得MN所在直线平行于y轴. 22. （本小题满分 15 分） 已知函数( ) 2x f xeax，其中2.7182

13、8e 是自然对数的底数. （I）若( ) ( ) ()1 1 f x g xx x 有三个极值点 123 ,x x x， (i)求实数a的范围； (ii)求证： 123 2xxx ； （II）若( )yf x有三个零点 123 ,x x x，且 123 xxx，求证： 1 1 0 1 x a . 2022021 1 届高三三校第一次联考届高三三校第一次联考 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 题号

14、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C C B D A A D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.抛物线 12. 1 ， 521 5 22 . 13. 63；-180 14. 5 12 , 119 169 15.3；1 16. 3 17. 2 e 三解答题三解答题：本大题共：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 18. 解答：当选2ACB：易

15、知 3 B , 2 0, 3 A ,3 分 4 3 sinsinsin3 abc ABC ,6 分 333 3 sinsinsincos 20, 8438 ABCA 14 分 当选2acb:可知 2 4 2 ac ac ， () 2 2 2 61 cos1 22 acacb B acac ，从 而0, 3 B ， 3 sin0, 2 B ， 而 3 3 3 sinsinsinsin 88 abc ABCB当且仅当abc 时取等号，从而 3 3 sinsinsin0, 8 ABC . 19. 证明： （1）连接,AC BD交于O，连OF， ，F为DE中点，O为BD中点 /OFBE,OFACF B

16、EACF平面平面,/ /BEACF平面. 6 分 （2）AECDECDCDE平面，平面 AECD ， ,CDAD AEADA AD AEDAE平面 CDDAE 平面，如图建立坐标系， 则(3,0,0),( ,0,0),(0,3 2,0), (3,0,3),(0,0,0)EF aCAD 由DCAB得(3,3 2,3)B， 设面 BCF 法向量(), ,nx y z，由 0 0 n FB n FC 可取 () 2 2,1, 2 2n ，因此设线面角为则有 102 sin 51 n EB nEB . 15 分 20解答： （）易知 n an， 1n n bq . 由 n nq可知lnlnnnq，即(

17、) ln ln n qnN n ，令( )() ln 0 x f xx x ，易知( )yf x在 0 xe上递增，xe上递减，且( )( )23ff， 即 ln3 ln 3 q ，即 3 3q 7 分 （）易知 ()() 11 211 2 12212 n nnn n c n nnn ， 因此 () 12 1 2 12 12 n n ccc n . 又因为 1 3 2 c ，且0 n c ，故 12 3 2 n ccc，得证. 15 分 21. 答案：答案： （） 2 2 1 4 x y3 分 （）设 2 , 2 t Pt p ，() 11 ,D x y，() 22 ,E xy，则切线 2 :

18、 2 pt l ytx tp ， 由 2 22 : 2 440 pt l ytx tp xy ，可得： 2 22 2 4 1440 p xpxt t ， 即 2 12 22 4 4 pt xx pt ， 422 04160ttp 要证MN所在直线平行于y轴即证： 22 12 22 4 2 24 ptt xx ppt ，即 () 4223 124160tpp tp 令() 2 0ty y，则() 223 124160ypp yp，由 () 2 23 124640ppp 可知必有两解 1 y， 2 y，且 12 0yy，故对任意0p 必存在 2 0y ，从而存在 () 2 2 2 8 92131

19、p t ppp . 由可知 2342 2 41612ptptp t ，从而()() 42242 2 416112p ttpptp t 当1p 时，() 422 4160p ttp，从而式成立； 当01p时， () 2 2 12 0 1 p t p ,()() () 2 42222 12 41610 1 p p ttptpt p ，从而式 成立； 当1p 时，()()() 22 921311921210pppppppp ， () 2 2 12 0 1 p t p ，从而式成立； 因此满足的解t也满足式，从而对任意0p ，都存在这样的点 P，使得MN所在直线平行于 y轴. 15 分 22. 解：（

20、I）(i)利用( )g x的极值点个数即为( ) gx的变号零点个数 ( )( ) 2 (2) ,00, (1) x x ea x gxg x 设( )(2) x h xea x， 由已知，方程( )0h x 有两个不为 0，-1 的实根， ( )x h xea 当0a时，( )h x在R上递增，( )0h x 至多一个实根，故0a ( )h x在()ln(,a上递减，在() ),ln( a上递增， min 1 ( 1)0 (0)120 ( )(ln()(ln()2)0 ha e ha h xhaaaa e a 1 且 2 1 a5 分 (ii)由（I）不妨设 31212 1 0,( 1)01

21、.xxxhaxx e 要证2 321 xxx，即证 21 2xx而12, 1 21 xx， 由( )h x在()ln(,a上递减，在() ),ln( a上递增，且1)ln(a 故只要证 12 ()( 2)h xhx ，又 12 ()()0h xh x，故只要证 22 ()( 2)h xhx 即证 22 2 22 (2)(2)2 xx xea xea ，又 2 2 2 x e a x 即证0)2( 22 2 22 xx exex 设 2 ( )(2)(1) xx k xxexex 2 ( )(1)()0(1) xx k xxeex 2 ( )(2)(1) xx k xxexex 递增，( )(

22、1)0k xk 即0)2( 22 2 22 xx exex 2 321 xxx 10 分 （II）显然1x 和0 x 均不为该函数零点，令( ) 2 x e g x x ,则( )g xa 的三个交点的横坐标 即为三个零点 123 ,x x x， 由( ) () 4 2 x e xx gx x ,可知 ( )yg x在0 x 上增， 在02x上减， 在2x 上增,即 2 4 e a，所以 2 4 e a ，此时显然有( ) 2x f xeax在0 x 上增，且 () 2 11 10 4 e fa ee ，( )010f ，故 1 xx为唯一负零点，且 1 10 x . 令( )() 2 110 x xexx ，则( )20 x xex，即递增，( )( )00 x，而 1 2 1 x eax ，所以 22 11 10axx ，可得 1 1 0 1 x a .15 分