2025年高考数学一轮复习课时作业-等差数列【含解析】.docx

1、2025年高考数学一轮复习课时作业-三十七等差数列 【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n2.(5分)已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5,Sn=64,则n=()A.6B.7C.8D.93.(5分)等差数列an中,如果a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an前9项的和为()A.297B.144C.99D.664.(5分)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S1

2、0=a4,则的值为()A.15B.21C.23D.255.(5分)(一题多法)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块6.(5分)(多选题)设an是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是()A.dS5D.当n=6或n=7时Sn取得最大值7.(5分)记

3、Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.8.(5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.(5分)已知三个数成等差数列,它们的和为3,平方和为359,则这三个数的积为.10.(10分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(nN*).(1)求证:数列an为等差数列;(2)求数列an的通项公式.11.(10分)(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;

4、a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【能力提升练】12.(5分)一百零八塔,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下,各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为.13.(5分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,nN*,则a4=; 若a1=2,则S20=.14.(10分)等差数列an中,公差d0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求an的通项公式;(

5、2)记Tn为数列bn前n项的和,其中bn=|an|,nN*,若Tn1 464,求n的最小值.2025年高考数学一轮复习课时作业-三十七等差数列 【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n【解析】选A.设等差数列an的公差为d,因为S4=0,a5=5,所以4a1+432d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d=2,所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+n(n-1)2d=n2-4n.2.(5分

6、)已知an为等差数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a3=5,Sn=64,则n=()A.6B.7C.8D.9【解析】选C.因为d=a3-a12=2,Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=64,解得n=8(负值舍去).3.(5分)等差数列an中,如果a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列an前9项的和为()A.297B.144C.99D.66【解析】选C.由a1+a4+a7=39,得3a4=39,a4=13.由a3+a6+a9=27,得3a6=27,a6=9.所以S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=9(13+9)2=911=99.4.(5分)公差不为0的等差

7、数列an的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=a4,则的值为()A.15B.21C.23D.25【解析】选D.由题意得a1+5d=3(a1+3d),所以a1=-2d.所以=S10a4=10a1+1092da1+3d=10(-2d)+45d-2d+3d=25.5.(5分)(一题多法)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B

8、.3 474块C.3 402块D.3 339块【解析】选C.方法一:设每层环数为n(nN*),则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a1,a2,an,中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为an+1,an+2,a2n,下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a2n+1,a2n+2,a3n.由题意知(a2n+1+a2n+2+a3n)-(an+1+an+2+a2n)=729,由等差数列的性质知a2n+1-an+1=a2n+2-an+2=a3n-a2n=9n,所以9n2=729,得n=9.则数列an共有93=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列an的前27项和,即279+27

9、2629=3 402.方法二:设每层环数为n(nN*),设数列an的前n项和为Sn,由等差数列的性质知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=9n2,则9n2=729,解得n=9.则数列an共有93=27项,故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列an的前27项和,即279+272629=3 402.6.(5分)(多选题)设an是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是()A.dS5D.当n=6或n=7时Sn取得最大值【解析】选ABD.由S5S6,得a1+a2+a3+a4+a50.同理由S7S8,得a80.又

10、S6=S7,所以a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7,所以a7=0,所以B正确;因为d=a7-a6S5,即a6+a7+a8+a90,可得2(a7+a8)0,由结论a7=0,a80,知C选项错误;因为S5S8,所以结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确.7.(5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列an的公差为d,则a2+a6=2a1+6d=2(-2)+6d=2.解得d=1.所以S10=10(-2)+10921=25.答案:258.(5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的

11、值是.【解析】设等差数列an的首项为a1,公差为d,则(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=0,9a1+982d=27,解得a1=-5,d=2.所以S8=8a1+872d=8(-5)+56=16.答案:169.(5分)已知三个数成等差数列,它们的和为3,平方和为359,则这三个数的积为.【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知条件得(a-d)+a+(a+d)=3,(a-d)2+a2+(a+d)2=359,解得a=1,d=23.所以这三个数分别为13,1,53或53,1,13.故它们的积为59.答案:5910.(10分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an

12、2+n-4(nN*).(1)求证:数列an为等差数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)当n=1时,有2a1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0,所以a1=3(a1=-1舍去).当n2时,有2Sn-1=an-12+n-5,又2Sn=an2+n-4,所以两式相减得2an=an2-an-12+1,即an2-2an+1=an-12,即(an-1)2=an-12,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列an的各项均为正数矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列an为等差数列.(2)

13、由(1)知a1=3,数列an的公差d=1,所以数列an的通项公式为an=3+(n-1)1=n+2.11.(10分)(2021全国甲卷)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列an是等差数列;数列Sn是等差数列;a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】.已知an是等差数列,a2=3a1.设数列an的公差为d,则a2=3a1=a1+d,得d=2a1,所以Sn=na1+n(n-1)2d=n2a1.因为数列an的各项均为正数,所以Sn=na1,所以Sn+1-Sn=(n+1)a1-na1=a1(常数),所以数列S

14、n是等差数列.已知an是等差数列,Sn是等差数列.设数列an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)2d=12n2d+(a1-d2)n.因为数列Sn是等差数列,所以数列Sn的通项公式是关于n的一次函数,则a1-d2=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.已知数列Sn是等差数列,a2=3a1,所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列Sn的公差为d,d0,则S2-S1=4a1-a1=d,得a1=d2,所以Sn=S1+(n-1)d=nd,所以Sn=n2d2,所以n2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,所以an=2d2n-d2,所以an

15、+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),所以数列an是等差数列.【能力提升练】12.(5分)一百零八塔,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下,各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为.【解析】设自上而下各层的塔数构成数列an,依题意可知,a5,a6,成等差数列,且公差为2,a5=5,则an=5+(n-5)2=2n-5,则1+3+3+5+5+2n-5=108,解得n=12(负值舍

16、去).故最下面三层的塔数之和为a10+a11+a12=3a11=3(211-5)=51.答案:5113.(5分)已知数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,nN*,则a4=; 若a1=2,则S20=.【解析】由2Sn=anan+1可得2Sn+1=an+1an+2,两式相减得2an+1=an+1(an+2-an),由数列an的各项均为正数,可得到an+2-an=2,令n=1,则有2S1=2a1=a1a2,解得a2=2,所以a4=4;若a1=2,则a3=4,即奇数列与偶数列均为首项为2,公差为2的等差数列,可求得S20=2(102+10922)=220.答案:422014

17、.(10分)等差数列an中,公差d0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求an的通项公式;(2)记Tn为数列bn前n项的和,其中bn=|an|,nN*,若Tn1 464,求n的最小值.【解析】(1)因为等差数列an中,公差da5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,所以a1+2d=-1,a1+4d=-7,解得a1=5,d=-3.所以an=5+(n-1)(-3)=-3n+8.(2)由(1)知an的前n项和Sn=5n+n(n-1)2(-3)=-32n2+132n.因为bn=|an|,所以b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n3时,bn=|an|=3n-8.当n3时,T1=5,T2=7;当n3时,Tn=-Sn+2S2=3n22-13n2+14.因为Tn1 464,所以Tn=3n22-13n2+141 464,即(3n-100)(n+29)0,解得n1003,所以n的最小值为34.