2025年高考数学一轮复习课时作业-二项式定理【含解析】.docx

1、2025年高考数学一轮复习课时作业-二项式定理【原卷版】 (时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-412.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.1683.(5分)在(x+13x)24的展开式中,x的指数是整数的项数是()A.2B.3C.4D.54.(5分)设a=3n+Cn13n-1+Cn23n-2+Cnn-13,则当n=2 023时,a除以15所得余数为()A.3B.4C.7D.85.(5分)(多选题)在(1

2、+2x)8的展开式中,下列说法正确的是()A.二项式系数最大的项为1 120x4B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等D.含x3的项的系数为4806.(5分)(多选题)(2024长春模拟)若x2-12xn的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等,则下列说法正确的是()A.n=9B.展开式中各项系数和为1512C.展开式中常数项为2116D.展开式中各二项式系数和为-12567.(5分)已知(1-2x)n的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等,则展开式中含x3的系数为_.8.(5分)(2024湛江模拟)若x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1=

3、 _.9.(10分)已知二项式(2x+1x)n(nN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25,按要求完成以下问题:(1)求n的值;(2)求展开式中1x3的系数;(3)计算式子C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6620的值.【能力提升练】10.(5分)设(5x-x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3的系数为()A.500B.-500C.150D.-15011.(5分)在(2x+a)(x+2x)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为()A.3 204B.-160C.160D.-3

4、2012.(5分)(多选题)(2024杭州模拟)已知x-13xnnN*的展开式中含有常数项,则n的可能取值为()A.4B.6C.8D.1013.(5分)(2024泉州模拟)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,则m=_.14.(10分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.第5项的系数与第3项的系数之比为52;第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36;Cn+13-Cn-15=63.已知在(x-13x)n的展开式中,_.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中含1x的项.15.(10分)(2023福州模拟

5、)在只有第5项的二项式系数最大;第4项与第6项的二项式系数相等;奇数项的二项式系数的和为128.这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN*),_(1)求a12+a222+an2n的值;(2)求a1+2a2+3a3+nan的值.2025年高考数学一轮复习课时作业-二项式定理【解析版】 (时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41【解析】选B.令x=1,则a4+a3+a2+a1+a

6、0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+a0=1+812=41.2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168【解析】选D.在(1+x)8的展开式中含x2的项为C82x2=28x2,(1+y)4的展开式中含y2的项为C42y2=6y2,所以x2y2的系数为286=168.3.(5分)在(x+13x)24的展开式中,x的指数是整数的项数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为(x+13x)24的展开式的通项公式为Tk+1=C24k(x)24-k(13x)k=C24kx12-56k,所以当k

7、=0,6,12,18,24时,x的指数是整数,故x的指数是整数的有5项.4.(5分)设a=3n+Cn13n-1+Cn23n-2+Cnn-13,则当n=2 023时,a除以15所得余数为()A.3B.4C.7D.8【解析】选A.因为Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+Cnn-13+Cnn30=(3+1)n=4n,所以a=4n-1,当n=2 023时,a=42 023-1=4161 011-1=4(15+1)1 011-1+3,而(15+1)1 011-1=C1 0110151 011+C1 0111151 010+C1 0111 01015,故此时a除以15所得余数为3.5.(5分)(多

8、选题)在(1+2x)8的展开式中,下列说法正确的是()A.二项式系数最大的项为1 120x4B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等D.含x3的项的系数为480【解析】选AC.因为n=8,所以二项式系数最大的项为T5,T5=C84(2x)4=1 120x4,A正确;(1+2x)8展开式的通项为Tk+1=C8k(2x)k=2kC8kxk,令k=0,得常数项为1,B错误;第6项为T6=25C85x5=1 792x5,第7项为T7=26C86x6=1 792x6,第6项与第7项的系数相等,C正确;含x3的项为T4=C83(2x)3=448x3,其系数为448,D错误.6.(5分)(多选题)(202

9、4长春模拟)若x2-12xn的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等,则下列说法正确的是()A.n=9B.展开式中各项系数和为1512C.展开式中常数项为2116D.展开式中各二项式系数和为-1256【解析】选ABC.因为第5项和第6项是相邻的两项,所以n=9,A正确;令x=1,则有1-129=1512,B正确;Tr+1=C9rx29-r-12xr=C9r-1r2-rx18-3r,所以r=6,常数项T7=2116,C正确;二项式系数之和为29=512,D错误.7.(5分)已知(1-2x)n的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等,则展开式中含x3的系数为_.【解析】因为(1-2x)n的二

10、项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等,可得Cn2=Cn9,即n=2+9=11,即二项式为(1-2x)11,其展开式的通项为Tr+1=C11r(-2x)r=(-2)rC11rxr,令r=3,可得(-2)3C113x3=-1 320x3,即展开式中x3的系数为-1 320.答案:-1 3208.(5分)(2024湛江模拟)若x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1= _.【解析】不妨设fx=x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=0得f0=a0=0-14=1,令x=-1得f-1=a4-a3+a2-a1+a0=-1-14=16,所以a4

11、-a3+a2-a1=15.答案:159.(10分)已知二项式(2x+1x)n(nN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25,按要求完成以下问题:(1)求n的值;(2)求展开式中1x3的系数;(3)计算式子C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6620的值.【解析】由题设知Tr+1=2n-rCnrxn-32r,(1)展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是Cn1Cn2=25,解得n=6.(2)Tr+1=26-rC6rx6-32r,令6-32r=-3,得r=6.所以展开式中含1x3的是第7项,系数为26-6C66=1.(3)C6026+C6125+C6

12、224+C6323+C6422+C6521+C6620=(2+1)6=36=729.【能力提升练】10.(5分)设(5x-x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3的系数为()A.500B.-500C.150D.-150【解析】选C.由题意可得N=2n,令x=1,则M=(5-1)n=4n=(2n)2,所以(2n)2-2n=240, 2n=16,n=4.展开式中第k+1项Tk+1=C4k(5x)4-k(-x)k=(-1)kC4k54-kx4-k2.令4-k2=3,得k=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2C4252=150.11.(5分)在(2x+a)

13、(x+2x)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为()A.3 204B.-160C.160D.-320【解析】选D. (x+2x)6的展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k(2x)k=C6k2kx6-2k,2xTk+1=C6k2k+1x7-2k,由kN,得7-2k2,故不成立,aTk+1=aC6k2kx6-2k,令6-2k=2,解得k=2,则aC6222=60a=-120,解得a=-2,因为7-2k0,在-2Tk+1中,令6-2k=0,解得k=3,所以展开式中的常数项为-2C6323=-320.12.(5分)(多选题)(2024杭州模拟)已知x-13xnnN*的展开式中

14、含有常数项,则n的可能取值为()A.4B.6C.8D.10【解析】选AC.x-13xnnN*展开式的通项为Tr+1=-1rCnrxn-rx-13r=-1rCnrxn-43r,其中r=0,1,2,3,n;令n-43r=0,则r=34n,可知n为4的倍数,故B,D错误;当r=3时,n为4;当r=6时,n为8.13.(5分)(2024泉州模拟)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,则m=_.【解析】由题意,可得a3=C63m3,a6=C60=1.因为a3+a6=1,所以a3=0,所以m=0.答案:014.(10分)请从下面三个条件中任选一

15、个,补充在下面的横线上,并解答.第5项的系数与第3项的系数之比为52;第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36;Cn+13-Cn-15=63.已知在(x-13x)n的展开式中,_.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中含1x的项.【解析】(1)选, (x-13x)n的展开式通项为Tr+1=(-1)rCnrx3n-5r6,则第5项的系数为Cn4,第3项的系数为Cn2,所以Cn4Cn2=52,解得n=-3(舍)或n=8;若选,第2项与倒数第3项的二项式系数分别为Cn1和Cnn-2,所以Cn1+Cnn-2=Cn1+Cn2=36,解得n=-9(舍)或n=8;若选,由Cn+13-Cn-15

16、=63得n=8;所以(x-13x)8的展开式通项为Tr+1=(-1)rC8rx24-5r6;当n=8时,若C8r取得最大值,则r=4,即第5项的二项式系数最大,所以展开式中二项式系数最大的项为T5=C84x23=70x23.(2)令24-5r6=-1,解得r=6,所以展开式中含1x的项为T7=C86x-1=28x.15.(10分)(2023福州模拟)在只有第5项的二项式系数最大;第4项与第6项的二项式系数相等;奇数项的二项式系数的和为128.这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN*),_(1)求a12+a2

17、22+an2n的值;(2)求a1+2a2+3a3+nan的值.【解析】(1)若选:因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即n+1=9,得n=8.若选:因为第4项与第6项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn5n=8.若选:因为奇数项的二项式系数的和为128,所以2n-1=128,解得n=8.因为(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,令x=12,则有(212-1)8=a0+a12+a222+a828,即有a0+a12+a222+a828=0,令x=0,得a0=1,所以a12+a222+a828=-a0=-1,综上所述:a12+a222+a828=-1.(2)由(1)可知:无论选,都有n=8,(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,两边求导得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+8a8x7,令x=1,则有16=a1+2a2+3a3+8a8,所以a1+2a2+3a3+8a8=16.