2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】.docx

1、2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1已知数列的前n项和为，且.（1）求，；（2）证明：数列是等比数列.答案：（1）；（2）数列是首项和公比均为的等比数列解析：（1）当时，所以.当时，所以.（2）由，得，所以，所以.又，所以数列是首项和公比均为的等比数列.2设是数列的前n项和且，所有项，且.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的通项公式.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：当时，解得或(舍去).当时，所以，因为，所以.所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知.3在数列中,.（1）设,求证：数列是等比数列;（2）求数列的前n项和.答案：（1）见

2、解析（2）解析：（1）证明：又数列是首项为、公比为的等比数列;（2）由（1）可知,即,.4在数列中,点在直线上.（1）求数列的通项公式;（2）若,求数列的前n项和.答案：（1）（2）见解析解析：（1）依题意,即,因此数列是公差为3的等差数列,则,所以数列的通项公式是.（2）由（1）得,则,于是,两式相减得,所以.5已知公差不为0的等差数列的前n项和为,且,成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和为,若不等式对任意的都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）（2）.解析：（1）设等差数列公差为d,由题意,解得,所以;（2）由（1）,所以,易知是递增的且,不等式对任意的都成立,则,

3、所以.6已知数列的前n项和满足,.（1）求数列的通项公式;（2）记数列的前n项和为,若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.答案：（1）（2）或解析：（1）当时,即当时,由,故,得.易见不符合该式,故（2）由,易知递增;当时,.从而.又由,故,解得或即实数a的取值范围为或7记为数列的前n项和,已知,是公差为的等差数列.（1）求的通项公式;（2）设,求的前2n项和.答案：（1）（2）解析：（1）由是公差为的等差数列,且,则,即,当时,两式相减可得：,整理可得,故,将代入上式,故的通项公式为.（2）由,则.8已知数列是各项均为正数的等比数列,且,数列中.（1）求数列的通项公式;（2）若数列的

4、前n项和为,数列满足,求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）正项等比数列的公比为q,由,得,而,解得,于是,由,得,所以数列的通项公式.（2）由（1）知,显然数列是等差数列,所以.9已知等差数列前n项和为,满足,.数列满足,.（1）求数列,的通项公式;（2）设数列满足,求数列的前n项和.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列的公差为d,解得,.,且,所以是等比数列,（2）,10已知各项为正的数列的首项为2,.（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和,求数列(其中)前n项和的最小值.答案：（1）（2）最小值为解析：（1）因为,所以有,而,所以,则,又,由等差数列定义知数

5、列是以2为首项,4为公差的等差数列.数列的通项公式为.（2）由（1）有,令,有;,有;,有.所以前n项和的最小值为,当且仅当,3时取到.11记为数列的前n项和,已知,等比数列满足,.（1）求的通项公式;（2）求的前n项和.答案：（1）（2）当时,;当时,.解析：（1）当时,当时,因为适合上式,所以.（2）由（1）得,设等比数列的公比为q,则,解得,当时,当时,.12记为数列的前n项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，成等比数列，求的最小值.答案：（1）证明见解析（2）或13时，取得最小值，最小值为-78解析：（1）由，得，所以，-，得，化简得，所以数列是公差为1的等差数列.（2）由（1

6、）知数列的公差为1.由，得，解得.所以，所以当或13时，取得最小值，最小值为-78.13已知数列满足，数列满足.（1）求，.（2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式.（3）已知，求证：.答案：（1），（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列的递推关系，知，.（2）.因为，所以数列的各项均不为0，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（3）由（2）知.所以.14已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和为，求证：.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以.（2）

7、由（1）知，则，所以，-得.所以.又因为，所以是递增数列，所以，所以.15在，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于0的等差数列满足_，_求数列的前n项和.答案：选；选解析：因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.方案一：选.设数列的公差为d，因为，所以.因为，所以时，解得，所以，所以，满足，所以，所以，所以，两式相减，得，所以.方案二：选.设数列的公差为d，因为，所以，即.因为，成等比数列，所以，即，化简得.因为，所以，所以，所以，所以，所以，两式相减，得，所以.方案三：选.设数列的公差为d，因为，所以时，所以.又，成等比数列，所以，即，化简得.因为，所以，此式与矛盾.所以等差数列不存在，故不符合题意.