2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题（二）专项训练【含解析】.docx

1、2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题（二）专项训练一、解答题1已知等差数列的前n项和为，公差d为整数，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，又因为，成等比数列，所以，即，所以，联立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.2在数列中，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：，又，数列是首项为3、公比为4的等比数列.（2）由（1）可知，即，.3在等比数列中,.(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.答案：(1);(2).解析：（1）由题设,则的公比,所以.（2

2、）由（1）知：,所以.4记为数列的前n项和，已知，.(1)求，；(2)求数列的通项公式.答案：(1)，(2)解析：（1）当时，解得或(舍)当时，解得或(舍)所以，.（2）当时，由-得，因为，所以，所以数列是以-4为首项，-3为公差的等差数列，所以，当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为.5已知数列满足,点在直线上.（1）求证:数列是等比数列,并求出的通项公式;（2）求满足的n的取值构成的集合.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）由已知得,且,所以数列是等比数列,则（2）因为,所以,得,又因为,所以的取值构成的集合是.6已知为等差数列的前n项和，且，.（1）求数列的通项公式及.（2）

3、是否存在n，使得，成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）存在，使得，成等差数列解析：（1）设等差数列的公差为d.因为，所以解得所以，.（2）假设存在n，使得，成等差数列，则，即，解得.所以存在，使得，成等差数列.7已知正项等比数列满足条件，.（1）求的通项公式；（2）设，求的最大值.答案：（1）（2）解析：（1）设的公比为.由题意得，所以，所以，.所以.（2）.二次函数的图象的对称轴为直线，故当或时，取得最大值，且最大值为.8等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.（1）求的通项公式;（2）设,求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）由,为整数知,等差

4、数列的公差d为整数.又,故,.于,解得,因此,故数列的通项公式为.（2）,于是.9已知数列满足，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求证：.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）由，知当时，.当时，符合上式，所以.因为，所以.又，所以，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，所以.（2）因为，所以，所以.10已知是首项为1的等比数列,且,成等差数列.（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：（1）设等比数列的公比为,因,成等差数列,所以,即,化简可得,解得.又,所以数列的通项公式为.（2）因为,所以,则,-得,所以.11已知数列满足,且数列的前

5、n项和.（1）求的通项公式;（2）求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）因为,所以,故为公差为2的等差数列,中,令得,解得,则;（2）,故,则,两式-得,故.12在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）在数1和3之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，设插入的这n个数分别为、，由等比数列的性质可得，所以，所以，易知，所以，则.（2），所以.13已知数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.答案：(1)(2)解析：(1)当时，即.当

6、时，而当时，满足上式，所以.(2)由得，而，所以当时，；当时，.当时，.当时，.所以，14已知数列的首项,其前n项和为,且,.（1）求数列的通项公式;（2）设,求数列的前n项和.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）已知,当时,即,由,解得.当时,则相减得.当时,也成立.所以对于都有成立.上式化为,所以是等比数列,首项为4,公比为3,则,即.（2）因为,则,两式相减得,所以.15已知数列是公差不为零的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前n项和为，在，；，；，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为，则，.因为，成等比数列，所以，解得或（舍去），所以.（2）方案一：选条件.当时，当时等式也成立，所以，则，所以，两式相减得，所以.方案二：选条件.当时，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以，两式相减得，所以.方案三：选条件.由，得，又，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.当时，当时等式也成立，所以，则，所以，两式相减得，所以.