2025年高考数学二轮专题复习-任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式-学案讲义.docx
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1、任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式知识导引本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法.1.弧度制和角度制的换算:;变形:.弧长公式,扇形的面积公式.2.象限角、终边相同的角的集合表示.3.任意角的三角函数概念.用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设是单位圆与任意角的终边的交点,则.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边
2、的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系,商数关系.(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系中,设是角的终边上的任意一点,记.(2)同角三角函数的基本关系变形:.进阶提升题目1若角是第三象限象限角,则是第_象限角.审题此题为已知角终边所在象限,求半角所在象限问题.常用方法为由题目所给的条件先写出的集合,再求出的范围,注意对整数进行讨论.解析1因为角是第三象限角,设,则.当时,则是第二象限角;当时,则是第四象限角.故是第二或第四象限角.解析2(八卦图法)如图,将平面直角坐标系各象限分成两份,按逆时针方向依次标注记为,标满为止.由于角是第三象限角,现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第二、
3、四象限均有3,所以是第二或第四象限角.回炉已知角终边所在象限,求半角终边所在象限,可对整分两类讨论,即,.若是求三分之一角终边所在象限,可对整数分三类讨论,即,;也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次标注,标满为止,然后观察求解.当求边所在象限时,不要忽略终边在坐标轴上的情况.【相似题1】已知集合,则()A.B.C.D.(1)若,求扇形的弧长.(2)已知扇形的周长为,面积为,求扇形的圆心角弧度.(3)若扇形的周长为,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?审题已知扇形的圆心角和半径,求解长和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运用计算公式;若已知扇形的周长和面积的
4、值,求圆心角弧度数只要建立关于半径和弧长的等式,解方程组即可.解析(1)弧长.(2)由题意得解得或所以圆心角的弧度,舍去)或.(3)由题意得,所以扇形的面积.当时,面积达到最大,此时弧长,圆心角弧度.回炉解题时注意圆心角弧度值小于.【相似题2】九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢).弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为()A.6平方米B.9
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