人教版高中数学选择性必修第二册-第六章-单元检测（含解析）.doc

1、第六章单元质量评估卷(原卷版）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，向量a，b，c，则向量可以表示为()AabcBabcCbac Dbac2设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.3向量a(1，1)，且a与a2b方向相同，则ab的取值范围是()A(1，1) B(1，)C(1，) D(，1)4已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30 B30或150C60 D60或1205ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)

2、，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B.C. D.6一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45，沿D向北偏东30方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m7在ABC中，已知b2bc2c20，a，cos A，则ABC的面积S为()A. B.C. D68.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则()A10 B11C12 D13二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每个

3、小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A(4，8) B(8，4)C(4，8) D(4，8)10若a，b，ab为非零向量，且ab平分a与b的夹角，则()Aab Ba(ab)b(ab)C|a|b| D|ab|ab|11在ABC中，a15，b20，A30，则cos B可以是()A B.C D.12ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 B|a|1Cab D(4ab)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填

4、在题中横线上)13已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_14同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则ab与ac的夹角是_15在ABC中，已知D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135，若ACAB，则BD_16甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲楼高为_m，乙楼高为_m(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知|a|2|b|2，且向量a在向量b上的投影向量为，求：(1)a与b的夹角；(2)(a2b)b.18(12分)如图，在OA

5、B中，P为线段AB上一点，且xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60，求的值19(12分)设向量a(cos ，sin )(02)，b，且a与b不共线(1)求证：(ab)(ab)；(2)若ab与ab的模相等，求角.20(12分)在b2aca2c2，acos Bbsin A，sin Bcos B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A，b，求ABC的面积21(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船

6、同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离22(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足.(1)求角C的大小；(2)若边长c，求a2b的最大值1已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是()A2 B1C1 D12已知向量a，b，c互不平行，且1a2b3c0(1，2，3R)，则()A1，2，3一定全为0B1，2，3中至少有一个为0C1，2，3可以全不为0D1，2，3的值只有一组3下列命题中，正确的是()Aa(2，5)与b(4，10)方向相同Ba(4，10)与b(2，5)方

7、向相反Ca(3，1)与b(2，5)方向相反Da(2，4)与b(3，1)的夹角为锐角4设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bC BBCCBsin Asin B，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形11已知a，b，c且满足c0(0)，则ABC为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D不确定12已知点A(2，3)，C(0，1)，且2，则点B的坐标为_13已知A，B，C为ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos Csin Bsin C.(1)求A；(2)若a2，bc4，求ABC的面积14已知|a|3，|b

8、|4，且满足(2ab)(a2b)4，求a与b的夹角的范围15(1)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，求a与b的夹角；(2)设O为坐标原点，(2，5)，(3，1)，(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由16已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范围17在ABC中，CA，sin B.(1)求sin A的值；(2)设AC，求ABC的面积第六章单元质量评估卷(解析版）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共

9、40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，向量a，b，c，则向量可以表示为()AabcBabcCbac Dbac答案C解析依题意得，即bac.故选C.2设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.答案A解析()()().故选A.3向量a(1，1)，且a与a2b方向相同，则ab的取值范围是()A(1，1) B(1，)C(1，) D(，1)答案B解析依题意可设a2ba(0)，则b(1)a，ab(1)a2(1)211.4已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30 B30或150C60 D60或120答案D解析由正弦定理，得.所以

10、sin Bsin Asin 30.又ab，则AB，所以B60或120.5ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B.C. D.答案B解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，则b2a2c2ab.由余弦定理，得cos C，又C(0，)，所以C.6一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45，沿D向北偏东30方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案A解

11、析如图，设水柱高ABh m.依题意有ADB45，BDC903060，ACB30，且ABBD，ABBC.由图可知，BDABh，BCh，CD100，又BDC60，在BCD中，由余弦定理得BC2BD2CD22BDCDcos 60，即(h)2h21002100h，解得h50.7在ABC中，已知b2bc2c20，a，cos A，则ABC的面积S为()A. B.C. D6答案A解析由b2bc2c20，整理得b2c2c2bc，即bcc，b2c.由cos A，得c24，c2，b4.又sin A，Sbcsin A24.故选A.8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则()

12、A10 B11C12 D13答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知向量a(1，2)，|b|4|a|，ab，则b可能是()A(4，8) B(8，4)C(4，8) D(4，8)答案AD10若a，b，ab为非零向量，且ab平分a与b的夹角，则()Aab Ba(ab)b(ab)C|a|b| D|ab|ab|答案BC11在ABC中，a15，b20，A30，则cos B可以是()A B.C D.答案AD12ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论

13、正确的是()A|b|1 B|a|1Cab D(4ab)答案BD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_答案解析由于(2)，所以(2)|220，故21，所以|2|.14同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是，则ab与ac的夹角是_答案解析(ab)(ac)a2abacbc1111111，|ab|，|ac|1，设ab与ac夹角为，则cos ，又0，.15在ABC中，已知D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135，若ACAB，则BD_答案2解析设ABk，则ACk.再设BDx，则DC2x.在ABD中，

14、由余弦定理，得k2x222xx222x.在ADC中，由余弦定理，得2k24x2222x4x224x，即k22x212x.由得x24x10，解得x2(负值舍去)故BD2.16甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲楼高为_m，乙楼高为_m(本题第一空2分，第二空3分)答案20解析如图，设甲楼高为AB，乙楼高为CD，由题意知AC20 m.在ABC中，BAC90，所以ABACtan 6020(m)，BC40 m，在BCD中，BCD906030，CBD90303030，则BDC1803030120.由正弦定理，得，所以CDBC(m)四、解答题(本大题共6

15、小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知|a|2|b|2，且向量a在向量b上的投影向量为，求：(1)a与b的夹角；(2)(a2b)b.解析(1)由题意知|a|2，|b|1，|a|cos ，cos .由于0，.(2)(a2b)bab2b2123.18(12分)如图，在OAB中，P为线段AB上一点，且xy.(1)若，求x，y的值；(2)若3，|4，|2，且与的夹角为60，求的值解析(1)若，则，故xy.(2)若3，则，224242cos 60223.19(12分)设向量a(cos ，sin )(02)，b，且a与b不共线(1)求证：(ab)(ab)；(2)若

16、ab与ab的模相等，求角.解析(1)证明：由题意，得ab(cos ，sin )，ab，因为(ab)(ab)cos2sin2110，所以(ab)(ab)(2)因为ab与ab的模相等，所以(ab)2(ab)2，所以|a|2|b|22ab0.因为|a|1，|b|1，所以|a|2|b|2，所以ab0，所以cos sin 0，所以tan ，又因为02，所以或.20(12分)在b2aca2c2，acos Bbsin A，sin Bcos B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，A，b，求ABC的面积解析若选择条件b2aca2c2，由余弦

17、定理得cos B，因为B(0，)，所以B.由正弦定理，得，得a，因为A，B，所以C，所以sin Csin sinsin cos cos sin ，所以SABCabsin C.若选择条件acos Bbsin A，则由正弦定理，得sin Acos Bsin Bsin A，因为A(0，)，即sin A0，所以sin Bcos B，因为B(0，)，所以B.下同选择条件.若选择条件sin Bcos B，则sin，所以sin1，因为B(0，)，所以B，所以B，所以B.下同选择条件.21(12分)如图所示，A，B两个小岛相距21 n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9 n mile/h的

18、速度向B岛行驶，而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离解析设行驶t小时后，甲船行驶了9t n mile到达C处，乙船行驶了6t n mile到达D处当9t21，即t3.当t时，BC9t21，则CD2(9t21)2(6t)22(9t21)6tcos 6063t2252t44163(t2)2189189.综上可知，当t2时，CD取最小值3 n mile，故行驶2 h后，甲、乙两船相距最近，为3 n mile.22(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足.(1)求角C的大小；(2)若边长c，求a2b的最

19、大值解析(1)由及正弦定理得cos Bsin Csin Bcos C2sin Acos C，即sin A2sin Acos C，又sin A0，所以cos C.又C(0，)，故C.(2)a2b(sin A2sin B)2sin(BC)2sin B25sin Bcos B，令cos ，sin ，则a2bsin(B)，当B时，(a2b)max2.1已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线应满足的条件是()A2 B1C1 D1答案D解析A，B，C三点共线即存在实数k，使得k，即abk(ab)，所以有aka，bkb，即k，1k，得1.2已知向量a，b，c互不平行，且1a2b

20、3c0(1，2，3R)，则()A1，2，3一定全为0B1，2，3中至少有一个为0C1，2，3可以全不为0D1，2，3的值只有一组答案C解析在ABC中，设a，b，c，则a，b，c互不平行，且abc0，排除A、B.由2a2b2c0，排除D，所以选C.3下列命题中，正确的是()Aa(2，5)与b(4，10)方向相同Ba(4，10)与b(2，5)方向相反Ca(3，1)与b(2，5)方向相反Da(2，4)与b(3，1)的夹角为锐角答案B解析在B中，a(4，10)2(2，5)2b，a与b方向相反4(设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bc，则b()A3 B2C2 D

21、.答案C解析由余弦定理可得，a2b2c22bccos A，即有4b2124b，解得b2或4，由bC BBCCBsin Asin B，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案C11已知a，b，c且满足c0(0)，则ABC为()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D不确定答案A12已知点A(2，3)，C(0，1)，且2，则点B的坐标为_答案(2，1)解析设点B的坐标为(x，y)，则(x2，y3)，(x，1y)又2，(x2，y3)2(x，1y)(2x，2y2)x2，y1.13已知A，B，C为ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos Csin B

22、sin C.(1)求A；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解析(1)cos Bcos Csin Bsin C，cos (BC).ABC，cos (A).cos A.又0A1(kR)，求k的取值范围解析(1)证明：|a|b|c|1，且a，b，c之间的夹角均为120，(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200.(ab)c.(2)|kabc|1，|kabc|21.(kabc)(kabc)1.k2aabbcc2kab2kac2bc1.abacbccos 120，k22k0，k2.17在ABC中，CA，sin B.(1)求sin A的值；(2)设AC，求ABC的面积解析(1)由CA和ABC，得2AB，0A.故cos 2Asin B，即12sin2A，sin A.(2)由(1)得cos A.又由正弦定理，得，BCAC3.又sin Csincos A，所以SABCACBCsin CACBCcos A3.