2024-2025学年度人教版八上数学15.3 分式方程【课件】.pptx

1、人教人教版版 数学数学 八八年级年级 上册上册第一课时第二课时第一课时第一课时 一艘轮船在静水中的最大航速为一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以它沿江以最大航速顺流航行最大航速顺流航行100 km所用时间所用时间,与以最大航速逆流航与以最大航速逆流航行行60 km所用时间相等所用时间相等,江水的流速为多少江水的流速为多少?解解:设江水的流速为设江水的流速为 v km/h，根据根据题意，得题意，得导入新知导入新知 这样这样的方的方程与以前学过程与以前学过的方程一样的方程一样吗吗？1.了解了解分式方程分式方程的概念的概念2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简会用去分母的方法解

2、可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会单的分式方程，体会化归思想化归思想和和程序化思想程序化思想素养目标素养目标3.了解解分式方程了解解分式方程根根需要进行需要进行检验检验的原因的原因 为要解决导入中为要解决导入中的问题，我们得到了的问题，我们得到了方程方程 仔细仔细观察这个方程，未知数的位置有观察这个方程，未知数的位置有什么特点？什么特点？分式方程的概念分式方程的概念探究新知探究新知知识点 1 方程方程 与与上面的方程有什么共同特征？上面的方程有什么共同特征？21211023525=+-xxxx；21133=+xxxx追问追问1：分母中都含有未知数分母中都含有未知数 分式方程分式方程的概念

3、：的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程分式方程的特征分式方程的特征：分母分母中含有未知数中含有未知数.注意注意：我们我们以前学习的方程都是整式方程，它们以前学习的方程都是整式方程，它们的的未知数不在未知数不在分母中分母中探究新知探究新知你你能再写出几个分式方程吗？能再写出几个分式方程吗？追问追问2：1.下列下列式子中，属于分式方程的是式子中，属于分式方程的是 ，属于，属于整式整式方程的是方程的是 （填序号）（填序号）22124112321112131453-+=+=-+=+=xxxxxxx（）；（）；（）；（）（2）（1）巩固练习巩固练习（3）总结总结：

4、这些解法的共同特点是这些解法的共同特点是先去分母先去分母，将分式方程转化为，将分式方程转化为整整式方程式方程，再解整式方程，再解整式方程90603030=+-+-vv你你能试着解分式方程能试着解分式方程 吗？吗？解分式方程解分式方程探究新知探究新知知识点 2问题问题1：这些这些解法有什么共同特点？解法有什么共同特点？问题问题2：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个个分母都分母都约去呢？约去呢？（4）这样做的依据是什么？）这样做的依据是什么？探究新

5、知探究新知想一想想一想（1）分母中含有未知数的方程，通过）分母中含有未知数的方程，通过去分母去分母就化为就化为整式整式方程了方程了（2）利用等式的）利用等式的性质性质，可以可以在方程两边都乘同一个在方程两边都乘同一个式子式子各分母的各分母的最简公分母最简公分母探究新知探究新知 归纳总结归纳总结90603030=.+-vv例例解分式方程解分式方程9060303030303030+-=+-.+-=+-.+-+-vvvvvv（）（）（）（）90 3060 30（）（）vv-=+.-=+.即即6=.=.v解得解得则得到，则得到，3030+-+-vv（）（），方程方程两边两边同乘各分母的最简公分母同乘各

6、分母的最简公分母 探究新知探究新知 你你得到的解得到的解 是分式方程是分式方程6=v90603030=+-+-vv的解吗？的解吗？检验：检验：把把v=6代入分式方程得：代入分式方程得：左边左边=右边右边=左边左边=右边右边，所，所以以v=6是原方程的解是原方程的解.253690630902524606-3060探究新知探究新知追问：追问：2110525=.=.-xx解解分式方程：分式方程：是原分式方程是原分式方程变形变形后的后的整式方程的解整式方程的解，但，但不是不是原原分分式方程的解式方程的解5=x探究新知探究新知问题问题3：你你得到的解得到的解 是分式方程是分式方程2110525=-xx5

7、=x的解吗？该如何验证呢？的解吗？该如何验证呢？追问追问1：上面上面两个分式方程的求解过程中，同样两个分式方程的求解过程中，同样是是去去分母将分分母将分式方程化为整式方程式方程化为整式方程，为什么整式方程，为什么整式方程 的的解解 是分式方程是分式方程90 3060 30-=+-=+vv（）（）6=v90603030=+-+-vv5=x的解，而整式的解，而整式方程方程x5=10的的解解 2110525=-xx却不是分式方程却不是分式方程的解？的解？探究新知探究新知追问追问2：原因原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种而这种变形是否引起分

8、式方程解的变化，主要取决于所变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的乘的最简公最简公分母是否为分母是否为0检验检验的方法主要有两种的方法主要有两种：（1 1）将整式方程的解）将整式方程的解代入原分式方程代入原分式方程，看，看左右两边左右两边是否是否相等相等；（2 2）将整式方程的解代入）将整式方程的解代入最简公分母最简公分母，看，看是否为是否为0 0探究新知探究新知显然，第显然，第2种方法比种方法比较简便！较简便！90603030=+-+-vv2110525=-xx回顾回顾解分式方程解分式方程 与与 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和

9、一般步骤吗？解分式方程应该注意什么吗？解分式方程应该注意什么？探究新知探究新知问题问题4：基本思路基本思路：将将分式方程化为整式分式方程化为整式方程方程.一般一般步骤步骤：（1）去分母）去分母；（；（2）解整式方程）解整式方程；（；（3）检验）检验注意注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的的解，所以需要检验解，所以需要检验2.指出指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程得到的整式方程.1223xx22411xx解：解：最简公分母最简公分母2x(x+3)，去分母得去分母

10、得x+3=4x；最简公分母最简公分母x21，去分母得去分母得2(x+1)=4；巩固练习巩固练习例例1解下列方程：解下列方程：解分式方程解分式方程-xx232解：解：方程的两边同乘方程的两边同乘以以x(x2)，得得2x=3x6 解解得：得：x=6 检验检验：当：当x=6时时，x（x2）0.所以所以，原方程的解是，原方程的解是x=6.探究新知探究新知素养考点素养考点 13.解下列方程：解下列方程：3221xx解：解：方程的两边同乘以方程的两边同乘以2x(x+3)，得得(x+3)=4x 解解得：得：x=1 检验检验：当：当x=1时，时，2x（x+3）0.所以所以，原方程的解是，原方程的解是x=1.巩

11、固练习巩固练习31112-=.-=.-+-+xxxx（）（）例例2 解方程解方程 解解：方程方程两边同乘两边同乘 得得 =3.化化简，得简，得 =3.解解得得 =1.检验：当检验：当 =1时时，=0，因此因此x =1不是原不是原分式方程的解分式方程的解，所以原所以原分式方程无解分式方程无解.12-+-+xx（）（）212（）（）（）+-+-+x xxx12（）（）-+-+xx2+xxx解含有整式项的分式方程解含有整式项的分式方程探究新知探究新知素养考点素养考点 2解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘在方程的两边都乘最简公分母最简公分母，约去分母，化成，约去分母，化成整

12、式方程整式方程.2.解这个整式方程解这个整式方程.3.把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简公分母的值，如果最简公分母的值不为不为0，则则整式方程的解是原分式方程的解；整式方程的解是原分式方程的解；否则否则，这个解不是原分式方程的解，这个解不是原分式方程的解，必须舍去必须舍去.4.写出原方程的解写出原方程的解.解分式方程的思路：解分式方程的思路：分式方程分式方程整式方程整式方程去分母去分母一化二解三检验一化二解三检验探究新知探究新知解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤：探究新知探究新知 归纳总结归纳总结分式方程分式方程整式方程整式方程x=ax=a是分式方是分式方

13、程的解程的解x=a不是分式不是分式方程的解方程的解最简公分母不为最简公分母不为0最简公分母为最简公分母为0去分母去分母解整式方程解整式方程检验检验4.解分式方程解分式方程 时，去分母时，去分母后得到后得到的整式方的整式方程是（程是（）8214578xxxxA.2(x8)+5x=16(x7)B.2(x8)+5x=8C.2(x8)5x=16(x7)D.2(x8)5x=8解析：解析：原方程可以变形原方程可以变形为为 ，两边都乘以两边都乘以2（x7）得得2(x8)+5x=82(x7),即即2(x8)+5x=16(x7).8)7(2578xxxxA巩固练习巩固练习易错易混点拨易错易混点拨：(1)(1)去

14、分母时，原方程的整式部分漏乘去分母时，原方程的整式部分漏乘(2)(2)约去分母后，分子是多项式时，约去分母后，分子是多项式时，没有添括号没有添括号(因分因分数线有括号的作用）数线有括号的作用）(3)(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为把整式方程的解代入最简公分母后的值为0 0，不舍掉，不舍掉.探究新知探究新知 方法点拨方法点拨连 接 中 考连 接 中 考AD巩固练习巩固练习B基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 已知已知关于关于x的方程的方程 有增根，有增根，求该方程的增根和求该方程的增根和k的值的值.解：解：去分母，

15、得去分母，得3x+3（x1）=x2+kx，整整理，得理，得x2+（k2）x4=0.因为有增根，所以增根为因为有增根，所以增根为x=0或或x=1.当当x=0时，代入方程时，代入方程得得4=0，所，所以以x=0不是方程的增根；不是方程的增根；当当x=1时，代入方程，得时，代入方程，得k=5，所，所以以k=5时时,方程方程有增根有增根x=1.211333xxkxxxx能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测解方程解方程:1112251158811113324()()()()()()()()xxxxxxxxx拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测xxxxxxxxx111111

16、1113123253581113811113324解解：方程可化为：方程可化为：课堂检测课堂检测得得xxx1111113111318解解得得x=3，经检验：经检验：x=3是原方程的根是原方程的根.课堂小结课堂小结解分式方程解分式方程整式方程整式方程x=ax=a是分式是分式方程的解方程的解x=a不是分不是分式方程的解式方程的解最简公分母不为最简公分母不为0最简公分母为最简公分母为0去分母去分母解整式方程解整式方程检验检验分式方程分式方程定义定义分母中含有未知数的方程叫做分母中含有未知数的方程叫做分式方程分式方程.第二课第二课时时1.1.解分式方程的一般解分式方程的一般步骤步骤.(1)1)在方程的

17、两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，化成，约去分母，化成整式整式方程方程.(2)2)解这个整式方程解这个整式方程.(3)3)把整式方程的根代入把整式方程的根代入最简公分母最简公分母，看结果是不是为零，看结果是不是为零，使使最简公分母为零的根是原方程的增根最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去，必须舍去.(4)4)写出原方程的根写出原方程的根.利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？导入新知导入新知素养目标素养目标1.能找出实际问题中的能找出实际问题中的等量关系等量关系，熟练地列，熟练地列出相应的方程出相应的方程.2.会解含有字

18、母系数的会解含有字母系数的分式方程分式方程.3.知道列方程解应用题为什么必须知道列方程解应用题为什么必须验根验根，掌，掌握解题的基本步骤和要求握解题的基本步骤和要求.甲甲、乙两人做某种机器零件，已知、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做甲每小时比乙多做6个，甲做个，甲做90个零件个零件所用的时间和乙做所用的时间和乙做60个零件所用的时间个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？请审题请审题分析题意分析题意设元设元列分式方程解应用题的步骤列分式方程解应用题的步骤探究新知探究新知知识点知识点 1解：解：设甲每小时做设甲每小时做x个零件，则乙每小时

19、做（个零件，则乙每小时做（x6）个）个零件，依题意得：零件，依题意得：经经检验检验,x=18是原分式方程的解是原分式方程的解,且符合题意且符合题意.答：答：甲每小时做甲每小时做18个，乙每小时做个，乙每小时做12个个.由由x18,得得x6=12解得解得探究新知探究新知列分式方程解应用题的一般列分式方程解应用题的一般步骤：步骤：1.审审:分析题意分析题意,找出数量关系和相等关系找出数量关系和相等关系.2.设设:选择恰当的未知数选择恰当的未知数,注意单位统一注意单位统一.3.列列:根据数量和相等关系根据数量和相等关系,正确列出方程正确列出方程.4.解解:解这个分式方程解这个分式方程.5.验验:检验

20、检验.既要检验所既要检验所求求的的解是不是解是不是分式分式方程方程的解，又要检验是否的解，又要检验是否符符 合合实际意义实际意义.6.答答:注意单位和语言完整注意单位和语言完整.探究新知探究新知 归纳总结归纳总结例例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快哪个队的施工速度快?分析分析:甲队甲队1个月完成总工程的个月完成总工程的 ,设乙队设乙队如果单独如果单独施工施

21、工1个月完成总工程个月完成总工程的的 ,那么甲那么甲队半个月队半个月完成总工程的完成总工程的_,乙队半个月乙队半个月完成完成总工程总工程的的_,两队半个月完成总工两队半个月完成总工程的程的_.利用分式方程解答工程问题利用分式方程解答工程问题探究新知探究新知素养考点素养考点 1解解:设乙队如果单独施工设乙队如果单独施工1个月完成总工程的个月完成总工程的 .依题意得依题意得方程两边同乘方程两边同乘6x,得得2x+x+3=6x，解得解得 x=1.检验检验:x=1时，时，6x0,x=1是原分式方程的是原分式方程的解解.探究新知探究新知答：答：由上可知由上可知,若乙队单独施工若乙队单独施工1个月可以完成

22、全部任务个月可以完成全部任务,而而甲队甲队1个月完成总工程的个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快可知乙队施工速度快.131.为了为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用完成这批产品多用

23、10天；天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍倍.根据根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？少件新产品？巩固练习巩固练习解：解：设甲工厂每天加工设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题件产品，依题意得意得 ，解解得：得：x=40.经经检验检验x=40是原方程的解，所以是原方程的解，所以1.5x=60.答：答：甲工厂每天加工甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工件产品，乙工厂每天加工60件产品件产品.巩固练习巩固练

24、习s km所用的所用的时间时间为为 h；提速；提速后列车的平均速度为后列车的平均速度为 km/h，提速后列车提速后列车运行运行 km，所，所用时间用时间为为 h.根据行驶时间根据行驶时间的等量关系可以的等量关系可以列出方程列出方程:例例2 某列车平均提速某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为，提速前列车的平均速度为多少？多少？xx+vs+50=s解解：设设提速前列车的平均速度为提速前列车的平均速度为x km/h，则，则提速前列车行驶提速前列车行驶（s+50）x+

25、vs+50sx利用分式方程解答行程问题利用分式方程解答行程问题探究新知探究新知素养考点素养考点 2（x+v）去分母得：去分母得：s(x+v)=x(s+50)去括号，去括号，得得sx+sv=sx+50 x.移项、合并同类项，移项、合并同类项，得得 50 x=xv.解解得得检验检验：由于：由于v，s都是正数，都是正数，时，时，x（x+v）0，是是原分式方程的解原分式方程的解.答：答：提速前列车的平均速度提速前列车的平均速度为为 km/h.svx 50svx 50svx50sv50探究新知探究新知2.八八年级学生去距学校年级学生去距学校s km的博物馆参观的博物馆参观，一部分，一部分学生骑自学生骑自

26、行车先走，过了行车先走，过了t h后后，其余学生，其余学生乘汽车乘汽车出发，结果他们同时出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是到达已知汽车的速度是学生学生骑车速度的骑车速度的2倍，求学生骑车倍，求学生骑车的速度的速度解：解：设学生骑车的速度是设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，由题意得，sstxx2-=.-=.方程两边同乘方程两边同乘2x，得，得 2s s=2tx.解得解得 x=st2巩固练习巩固练习检验：由于检验：由于s，t 都是正数，都是正数，x=时，时，2x0，2st所以，所以，x=是是原分式方程的解，且符合题意原分式方程的解，且符合题意.2st答：答：学生骑车的速度学生骑车的速度

27、是是 km/h2st例例3 关于关于x的的方程方程 无无解解,求求k的值的值.利用分式方程的根求字母的值或取值范围利用分式方程的根求字母的值或取值范围探究新知探究新知解：解：方程的两边同时乘方程的两边同时乘(x+3)(x3)得得x+3+kx3k=k+3 整理整理得得:(k+1)x=4k ,因为因为方程无解方程无解,则则x=3或或x=3 当当x=3时时,(k+1)3=4k,k=3,当当x=3时时,(k+1)(3)=4k,所以所以当当k=3或或 时时,原分式方程无解原分式方程无解.素养考点素养考点 33.如果关于如果关于x的方程的方程 无无解解,则则m的值等于的值等于（）A.3 B.2 C.1 D

28、.3B解析解析:方方程的两边都程的两边都乘乘x3,得得2=x3m,移项并合并同类项移项并合并同类项得得,x=5+m，由于方程无解，由于方程无解,此时此时x=3,即即5+m=3,m=2.巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考A巩固练习巩固练习1.下列方程中属于分式方程的有下列方程中属于分式方程的有（）;属于一元分式方程的有属于一元分式方程的有（）.x2+2x1=02131xxx112134xyx437xy基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测2.解方程解方程：2124111xxx得得：（x1）+2（x+1）=4原方程无原方程无解解.x=1检验：当检验：当x=1时时，（x+1）

29、（）（x1）=0，所以所以x=1不是原方程的不是原方程的根根.解：解：方程两边都乘以最简公分母方程两边都乘以最简公分母)1)(1(xx课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 某某公司购买了一批公司购买了一批A、B型芯片，其中型芯片，其中A型芯片的单价比型芯片的单价比B型芯片的单价少型芯片的单价少9元，已知该公司用元，已知该公司用3120元购买元购买A型芯片的条型芯片的条数与用数与用4200元购买元购买B型芯片的条数相等型芯片的条数相等（1）求该公司购买的）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了）若两种芯片共购买了200条，且购

30、买的总费用为条，且购买的总费用为6280元，元，求购买了多少条求购买了多少条A型芯片？型芯片？能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测 某某镇道路改造工程镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作由甲、乙两工程队合作20天可完成天可完成.甲工程队单甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲若甲工程队单独工程队单独做做a天后天后,再由甲、乙两工程队合作再由甲、乙两工程队合作_天天(用含用含a的代的代数式表示数式表

31、示)可完成此项工程可完成此项工程;(3)如果甲工程队施工每天需付施工费如果甲工程队施工每天需付施工费1万元万元,乙工程队施工每天需付施工乙工程队施工每天需付施工费费2.5万元万元,甲工程队至少要单独施工多少天后甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过才能使施工费不超过64万元万元?拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测解解:(1)设乙单独做设乙单独做x天完成此项工程天完成此项工程,则甲单独做则甲单独做(x+30)天完成天完成此项工程此项工程.由由题意得题意得:20()=1 整整理得理得x2

32、10 x600=0，解解得得x1=30,x2=20.经经检验检验:x1=30,x2=20都是分式方程的解都是分式方程的解,但但x2=20不符合题意舍去不符合题意舍去.x+30=60.答答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，天，30天天.课堂检测课堂检测(2)设甲单独做设甲单独做a天后天后,甲、乙再合作甲、乙再合作(20 )天天,可以完成此项可以完成此项工程工程.(3)由题意得由题意得1a+(1+2.5)(20 )64 解解得得a36答答:甲工程队至少要单独做甲工程队至少要单独做36天后天后,再由甲、乙两队合作完再由甲、乙两队合作完成成剩下剩下的工程的工程,才能使施工费不超过才能使施工费不超过64万元万元.课堂检测课堂检测步步骤骤1.1.审审；2 2.设设；3 3.列列；4.4.解解；5 5.验验；6.6.答答.应用应用工程问题：工作量工程问题：工作量=工作效率工作时间工作效率工作时间行程问题：路程行程问题：路程=速度时间速度时间列分式方程列分式方程解应用题解应用题 课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习谢谢观赏谢谢观赏