(人教B版高中数学选择性必修第二册)组合与组合数(1)-课件.pptx
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1、 组合与组合数(1)高二年级 数学【情境与问题】(1)小张要在3所大学中选择2所,分别作为自己的第一志愿和第 二志愿,小张共有多少种不同的选择方式?(2)小张要在3所大学中选择2所,作为自己努力的目标,小张共 有多少种不同的选择方式?问题1:你能否用适当的符号列举两问的选择方式?设3所学校分别为A,B,C.问题1的所有情况:问题2的所有情况:(A,B),(B,A),(A,B),(A,C),(C,A),(A,C),(B,C),(C,B).(B,C).问题2:两问的结果是否一样?你能否从“列举”的结果或 运用“排列”的知识,说明理由.23A列举结果问题3:你能否找到两个问题的内在联系,并用数学式表
2、示?22Ax相对于问题(2),问题(1)也可以看作分成两步完成:第一步,从3所学校中任取2所学校,即完成问题(2),设有 种方法;第二步,将选出的2所学校全排列,排列数为 .根据分步乘法计数原理:方法数为 .22Ax2232AAx所以 ,即:问题(2)的方法数 .2322AAx 事实上,问题(2)也是计数问题中的一种重要模型.问题4:你能否类比排列的知识,从问题(2)中提炼出数学本质吗?从3所大学中选择2所,有多少种不同的选择方式?这个问题本质是:从3个不同对象中任取出2个对象,不考虑顺序并成一组,有多少种不同的组法?像这样的计数问题:组合问题(一般化,概括定义)【抽象概括,形成概念】1.组合
3、 一般地,从 个不同对象中取出 (mn)个对象并成一组,称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合.mm组合定义的特征:(1)取出的对象互不相同的;(互异性)(2)取出后“并成一组”,即与对象的顺序无关.(无序性)可以把每一个组合都看成是一个集合.nn排列组合定义一般地,从n个不同对象中,任取m(mn)个对象,按照一定顺序排成一列.一般地,从n个不同对象中,取出m(mn)个对象,并成一组.相同点从n个不同对象中,任取m(mn)个对象不同点与对象的顺序有关(先选后排)与对象的顺序无关(只选不排)2.组合数 从 个不同对象中取出 (mn)个对象的所有组合的个数,称为从 个不同对象中取出 个对象的组
4、合数.用符号 表示.nnmmCmn组合数的计算:(排列 组合)排列问题也可以按“先选后排”分两步完成:第一步,先从n个不同对象取出m个,是组合问题,方法有 种;第二步,将选出的m个对象做全排列,有 种排法.由分步乘法计数原理,则 ,CmnAmmA=C AmmmnnmAC=Ammnnmm所以组合数Amn 从n个不同对象中取出m个做排列,方法数为 .组合数公式:(1)(连乘形式)(2)(阶乘形式)11ACA12 1mmnnmmnnnmmm!A!CA!mmnnmmnnmnmnm m特殊组合数:0!C1!0!nnn0!1(1)当 时,(注意 );0m 1!C1!1!nnnn(2)当 时,;1m!C10
5、!nnnn(3)当 时,.mn结合具体问题来直观解释这3个组合数的含义.对于组合数的概念以及在应用时,需注意:(1)组合数 既表示一个结果,又表示一种运算.(2)(连乘)(阶乘)通常进行具体计算,或组合数 中m较小时,使用连乘形式比较方便,Cmn11A!CA12 1!mmnnmmnnnmnmmnm m Cmn21010 9C452 1如:.当组合数中含有未知量,或需要将组合数进行“恒等变换”时,通常用阶乘的形式,可起到简化列式的效果.也可以利用信息技术软件来计算组合数.B版教材选择性必修第二册P21,了解相关方法.例1.平面内有5个点,其中任意三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段
6、的长度不相等.(1)这些点共可以连成多少条不同的线段?由题意,任意三点不共线,由两点可确定一条线段,并且是否为相同线段,与两个端点顺序无关.共有 条线段.255 4C102 1“组合”问题:(具体计算,应用连乘公式)例1.平面内有5个点,其中任意三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段的长度不相等.(2)以这些点为端点,共可以作出多少个不同的非零向量?任意一点为始点,另一点为终点,均可作出一个非零向量;对调起点和终点的顺序,对应的向量不同,因此要考虑顺序;连成的所有线段中,任意两条线段长度不相等,向量互不相同.“排列”问题:个非零向量.25A5 420 例1.平面内有5个点,其中任意
7、三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段的长度不相等.(3)以这些点为顶点,共可以组成多少个不同的三角形?以任意三个不共线的点作为顶点,都可以构成一个三角形,且是否为同一个三角形,与三个顶点的顺序无关.“组合”问题:个三角形.355 4 3C103 2 1 研究具体计数问题时:(1)先将具体问题转化为相应的数学模型.(2)注意辨析是“排列”问题,还是“组合”问题?即判断:取出对象后,是否需要考虑顺序.(重要区分标志)2355CC在之前的结果中,发现一组相等的组合数:.这里是否具有一定规律?在后面练习中继续观察例2.计算:(1);(2).3477CC5010101010C CC5010
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