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类型(人教B版高中数学选择性必修第二册)组合与组合数(1)-课件.pptx

  • 上传人(卖家):znzjthk
  • 文档编号:8023201
  • 上传时间:2024-10-26
  • 格式:PPTX
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    1、 组合与组合数(1)高二年级 数学【情境与问题】(1)小张要在3所大学中选择2所,分别作为自己的第一志愿和第 二志愿,小张共有多少种不同的选择方式?(2)小张要在3所大学中选择2所,作为自己努力的目标,小张共 有多少种不同的选择方式?问题1:你能否用适当的符号列举两问的选择方式?设3所学校分别为A,B,C.问题1的所有情况:问题2的所有情况:(A,B),(B,A),(A,B),(A,C),(C,A),(A,C),(B,C),(C,B).(B,C).问题2:两问的结果是否一样?你能否从“列举”的结果或 运用“排列”的知识,说明理由.23A列举结果问题3:你能否找到两个问题的内在联系,并用数学式表

    2、示?22Ax相对于问题(2),问题(1)也可以看作分成两步完成:第一步,从3所学校中任取2所学校,即完成问题(2),设有 种方法;第二步,将选出的2所学校全排列,排列数为 .根据分步乘法计数原理:方法数为 .22Ax2232AAx所以 ,即:问题(2)的方法数 .2322AAx 事实上,问题(2)也是计数问题中的一种重要模型.问题4:你能否类比排列的知识,从问题(2)中提炼出数学本质吗?从3所大学中选择2所,有多少种不同的选择方式?这个问题本质是:从3个不同对象中任取出2个对象,不考虑顺序并成一组,有多少种不同的组法?像这样的计数问题:组合问题(一般化,概括定义)【抽象概括,形成概念】1.组合

    3、 一般地,从 个不同对象中取出 (mn)个对象并成一组,称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合.mm组合定义的特征:(1)取出的对象互不相同的;(互异性)(2)取出后“并成一组”,即与对象的顺序无关.(无序性)可以把每一个组合都看成是一个集合.nn排列组合定义一般地,从n个不同对象中,任取m(mn)个对象,按照一定顺序排成一列.一般地,从n个不同对象中,取出m(mn)个对象,并成一组.相同点从n个不同对象中,任取m(mn)个对象不同点与对象的顺序有关(先选后排)与对象的顺序无关(只选不排)2.组合数 从 个不同对象中取出 (mn)个对象的所有组合的个数,称为从 个不同对象中取出 个对象的组

    4、合数.用符号 表示.nnmmCmn组合数的计算:(排列 组合)排列问题也可以按“先选后排”分两步完成:第一步,先从n个不同对象取出m个,是组合问题,方法有 种;第二步,将选出的m个对象做全排列,有 种排法.由分步乘法计数原理,则 ,CmnAmmA=C AmmmnnmAC=Ammnnmm所以组合数Amn 从n个不同对象中取出m个做排列,方法数为 .组合数公式:(1)(连乘形式)(2)(阶乘形式)11ACA12 1mmnnmmnnnmmm!A!CA!mmnnmmnnmnmnm m特殊组合数:0!C1!0!nnn0!1(1)当 时,(注意 );0m 1!C1!1!nnnn(2)当 时,;1m!C10

    5、!nnnn(3)当 时,.mn结合具体问题来直观解释这3个组合数的含义.对于组合数的概念以及在应用时,需注意:(1)组合数 既表示一个结果,又表示一种运算.(2)(连乘)(阶乘)通常进行具体计算,或组合数 中m较小时,使用连乘形式比较方便,Cmn11A!CA12 1!mmnnmmnnnmnmmnm m Cmn21010 9C452 1如:.当组合数中含有未知量,或需要将组合数进行“恒等变换”时,通常用阶乘的形式,可起到简化列式的效果.也可以利用信息技术软件来计算组合数.B版教材选择性必修第二册P21,了解相关方法.例1.平面内有5个点,其中任意三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段

    6、的长度不相等.(1)这些点共可以连成多少条不同的线段?由题意,任意三点不共线,由两点可确定一条线段,并且是否为相同线段,与两个端点顺序无关.共有 条线段.255 4C102 1“组合”问题:(具体计算,应用连乘公式)例1.平面内有5个点,其中任意三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段的长度不相等.(2)以这些点为端点,共可以作出多少个不同的非零向量?任意一点为始点,另一点为终点,均可作出一个非零向量;对调起点和终点的顺序,对应的向量不同,因此要考虑顺序;连成的所有线段中,任意两条线段长度不相等,向量互不相同.“排列”问题:个非零向量.25A5 420 例1.平面内有5个点,其中任意

    7、三点不共线,且任意两点所连成的线段中,任意两条线段的长度不相等.(3)以这些点为顶点,共可以组成多少个不同的三角形?以任意三个不共线的点作为顶点,都可以构成一个三角形,且是否为同一个三角形,与三个顶点的顺序无关.“组合”问题:个三角形.355 4 3C103 2 1 研究具体计数问题时:(1)先将具体问题转化为相应的数学模型.(2)注意辨析是“排列”问题,还是“组合”问题?即判断:取出对象后,是否需要考虑顺序.(重要区分标志)2355CC在之前的结果中,发现一组相等的组合数:.这里是否具有一定规律?在后面练习中继续观察例2.计算:(1);(2).3477CC5010101010C CC5010

    8、10101010 9 8 7 6C CC1 1252 12515 4 3 2 1 (2)(1);34777 6 57 6 5 4CC3535703 2 14 3 2 1 在具体计算时,应用组合数的连乘公式计算.通过例1和例2,我们发现了三组相等的组合数:,.2355CC3477CC0101010CC共同特征:(1)两个组合数的下标相同;(2)两个上标的和等于下标.将满足这样2个特征的组合数一般化 归纳:.CCmn mnn证明:.CCmn mnn也可以从组合数的含义来解释这个等量关系!C!mnnnm m!C!n mnnnm nmnnmnm组合数中含有“未知量”,应用阶乘公式展开 ,所以等式成立

    9、表示为:从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数.当确定了取出哪m个对象时,那么剩余的(nm)个对象也就确定下来了.所以取出m个对象的每一个组合,与选出剩余(nm)个对象的每一个组合是一一对应的.那么,从n个不同对象中取出m个对象的组合数 ,与从n个不同对象中取出(nm)个对象的组合数 是相等的.CmnCmnCn mn组合数性质1:.CCmn mnn(1)反映了组合数的对称性;(2)在计算组合数时,当 时,可以将计算 转化为计算 ,会更加简便.(后续练习中慢慢体会)2nm Cn mnCmn例3.一个口袋里有7个不同的白球和1个红球,从中取出5个球:(1)共有多少种不同的取法?只是取出球,所

    10、以不用考虑取出球的先后顺序,因此等同于“从8个不同对象中任取5个并成一组”,是组合问题.方法数为58C8 53888 7 6CC563 2 1 588 7 6 5 4C565 4 3 2 1 适当运用组合数的性质,可起到简化计算的效果(2)如果必须取红球,共有多少种不同的取法?因为红球只有1个,所以取出的红球已经确定下来,只需再从剩余的7个白球中取出4个即可,组合问题,方法数为:47C37C7 6 5353 2 1 (3)如果不取红球,共有多少种不同的取法?(可以从两个角度研究这个问题)法1.“不取红球”,也就是“取出的5个球均为白球”,问题等同于“从7个不同白球中取出5个白球”,仍是组合问题

    11、.所以不同的取法有:种.52777 6CC212 1(3)如果不取红球,共有多少种不同的取法?从“任意取出5个球”中,去掉“必须取红球”即可.利用前2问的结论可以得到:种.5487CC563521法2:出现类似“不”的否定词语-排除法(3)如果不取红球,共有多少种不同的取法?直接法:排除法:57C5487CC545778CCC下标相同的两个组合数的和,也是一个组合数那么这样的等量关系是偶然的还是必然的?在同一问题中,从两个角度分别计算整理得到的,猜测应具备普遍性尝试问题一般化,试试能否提炼数学本质,归纳结论?原问题:一个口袋里有7个不同白球和1个红球,从中取出5个球,有多少种不同的取法?假设有

    12、n+1个不同对象,甲是其中一个,从这n+1个对象中取出m+1个,这样的组合共有多少个?(类比之前的计数过程,也从两个角度研究这个问题)问题可一般化为:法1.从 个对象中取出 个的组合数为 .1n1m11Cmn法2.分成两类情况:第一类,如果取出的对象中含甲,等价于“从剩余n个不同对象再取出m个的组合”,有 种方法.第二类,如果取出的对象中不含甲,等价于“从剩余n个不同对象取出m+1个的组合”,有 种方法.根据分类加法计数原理,共有 种方法.1CmnCmn1CCmmnn可得:.(利用公式推导证明选做)111CCCmmmnnn组合数性质2:.在关于一些组合数的计算或化简变换中,会经常用到.111C

    13、CCmmmnnn如,计算:3266CC法1:.32666 5 46 5CC20 15353 2 12 1 法2:.3236677 6 5CCC353 2 1 下标相同,上标相差1合二为一,化简运算【课堂小结】1.组合与组合数的概念 本节课我们从具体问题中抽象出组合的概念,通过类比排列,概括出问题的本质特征,得到组合的定义.并利用排列数公式推导出组合数的公式.【课堂小结】2.注意组合的特征:(1)“取出的对象互不相同”,即互异性;(2)“取出的对象并成一组”,即无序性.(区分排列与组合的重要标志)3.组合数的公式和性质公式:性质1:;性质2:.11A!CA12 1!mmnnmmnnnmnmmnm

    14、 m CCmn mnn111CCCmmmnnn主要用于化简变换,简化计算.【课堂小结】4.体会组合数性质的推导过程.在两个性质的推导过程中,我们经历了“发现、猜想、归纳、证明”的学习过程,探究出组合数的性质,感受到了从特殊到一般的探究过程,体会了转化与化归的数学思想,提升了抽象概括能力,【课堂小结】【作业】B版教材 第22页 A组:1,3;B组:3(选做).A组 1.北京队、上海队、天津队、广东队四个足球队举行友谊 比赛,每两个队要比赛一场 (1)求一共有多少场比赛?并列出所有可能的情况;(2)最终产生冠、亚军各一个队,一共有多少种情况?并列 出所有可能的冠亚军情况.A组 3.计算:(1);(2);(3);(4);117C36C023C98100CB组 3.选做:利用组合数公式证明:.111CCCmmmnnn谢谢

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