专升本多元积分学2省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1、第五章第五章多元函数微积分学多元函数微积分学 序言 第一节多元函数、极限与连续 第二节偏导数与全微分 第三节二元函数极值 第四节二重积分概念与性质 第五节直角坐标系下二重积分计算 第六节极坐标下二重积分计算 第七节*二重积分应用第1页直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算复习二重积分计算步骤复习二重积分计算步骤:画出积分区域图形画出积分区域图形,判断积分类型判断积分类型求边界曲线交点坐标，确定积分限求边界曲线交点坐标，确定积分限化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果第2页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算怎样计算二重

2、积分，其中怎样计算二重积分，其中D为圆环域：为圆环域：dxdyxD241),(22yxyx假如在直角坐标系下计算，显然非常麻烦，因为此时假如在直角坐标系下计算，显然非常麻烦，因为此时D既不是既不是x型，也非型，也非y型，需要分割成几个区域进行型，需要分割成几个区域进行计算。计算。第3页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算第4页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.请问：请问：去火车站怎么走？去火车站怎么走？第5页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.精神病！精

3、神病！第6页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.精神病！精神病！第7页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算从这向北从这向北5000米。米。请问：请问：去火车怎么走？去火车怎么走？第8页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算请分析下面这句话，告诉了人家什么？请分析下面这句话，告诉了人家什么？从这向南走从这向南走5000米！米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点位置。用距离和方向表示平面上一点位置，位置。用距离和方向表示平面上一点位置，就是就是极坐标

4、。极坐标。第9页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算一、极坐标系建立一、极坐标系建立在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做极点。，叫做极点。引一条射线引一条射线OXOX，叫做极轴。，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度正再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。方向（通常取逆时针方向）。这么就建立了一个极坐标系。这么就建立了一个极坐标系。XO第10页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算二、极坐标系内一点极坐标要求二、极坐标系内一点极坐标要求X XO OM M 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M M，用，用 表示线段表示线段OMOM长度，用长度，用 表表示从

5、示从OXOX到到OM OM 角度，角度，叫做叫做M M极径，极径，叫做点叫做点M M极角，有序极角，有序数对（数对（，）就叫做）就叫做M M极坐标。极坐标。尤其强调：尤其强调：表示线段表示线段OMOM长度，既点长度，既点M M到极点到极点O O距离；距离；表示从表示从OXOX到到OMOM角度，既以角度，既以OXOX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM OM 为终边角。为终边角。第11页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算尤其要求：尤其要求：当当M M在极点时，它极坐标在极点时，它极坐标=0=0，能够取任意值。能够取任意值。思：思：1.1.直角坐标系下点坐标与极坐标关系直角坐标系下点坐标

6、与极坐标关系?2.2.直角坐标系下方程曲线在极坐标系下范围直角坐标系下方程曲线在极坐标系下范围 怎样确定怎样确定?cosxsiny如如 则则229xy03,02r第12页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算Ddyxf),(1.在直角坐标系下用平行于坐在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域标轴直线网来划分区域D，xyo则面积元素为则面积元素为dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为 DDdxdyyxfdyxf),(),(第13页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算AoDiirr iirrriii.)sin,cos(Drdrdrrfiiiiirrr 2)(21)211(i

7、iiiirrrr iiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21Ddyxf),(iiiiiniiirrrrf)sin,cos(lim10于是：于是：2.在极坐标系下用同心圆来划分区域在极坐标系下用同心圆来划分区域D，面积微元面积微元:第14页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图,).()(21 r二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）即：极点在区域即：极点在区域D D之外之外第15页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二

8、重积分计算AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(即：极点在区域即：极点在区域D D之边界上。之边界上。第16页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0即：极点在区域即：极点在区域D D之内之内第17页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算将直角坐

9、标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分步骤：将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分步骤：cosrx sinry（1 1）将，代入被积函数；）将，代入被积函数；（2 2）将区域）将区域D D边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限；边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限；将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤与上述相同，只需依反方向进行。与上述相同，只需依反方向进行。（3 3）将面积元换为。）将面积元换为。rdrddxdy第18页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算例例1计算二重积分其中计算二重积分其中D：D

10、dxdyxyyx)(2210),(22yxyxD解解.)cossin(10220rdrrrdDdxdyxyyx)(2220)2sin8131(d32xyo第19页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算41),(22yxyxD例例2计算二重积分其中计算二重积分其中D为圆环域：为圆环域：Ddxdyx2解解4152123202cosdrrddxdyxD202cos415d20)sin21(8152022cos1415d第20页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算解解916Ddxdyyx22203)coscos31(380222xyyx及例例3计算二重积分其中区域计算二重积分其中区域D为

11、由为由围成第一象限内区域。围成第一象限内区域。Ddxdyyx22sin20220drrd203sin38dro第21页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算例例4设设 在极坐标系下二重在极坐标系下二重积分积分 能够表示为能够表示为 ()Ddxdyyx2222(,)0,0Dx y xya ay300.aAdr dr200.aBdr dr3202.aCdr dr2202.aDdr dr第22页极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算练习与巩固练习与巩固.计算二重积分其中计算二重积分其中D：10),(22yxyxdxdyeDyx22.计算二重积分其中计算二重积分其中D：与：与x轴所围成上半

12、圆。轴所围成上半圆。dxdyyDaxyx222（提醒：）（提醒：）)11(10202erdredr（答案：）（答案：）3cos2022032sinadrrda第23页二重积分计算二重积分计算二重积分化为二次积分时应注意问题：二重积分化为二次积分时应注意问题：.依据积分区域类型选择坐标系依据积分区域类型选择坐标系.依据被积函数类型选择积分次序依据被积函数类型选择积分次序 2,2Dxydxdyyxyx计算其中R是由抛物线及所围成的闭区域。为，其中计算DxdxdyD分。轴所围成的第一象限部以及xxyyx,122.依据积分区域类型选择积分次序依据积分区域类型选择积分次序 110sinydxxxdy计算

13、二重积分第24页二重积分应用二重积分应用.能否利用二重积分计算平面图形面积？能否利用二重积分计算平面图形面积？.怎样利用二重积分计算空间几何体体积？怎样利用二重积分计算空间几何体体积？第25页二重积分应用平面图形面积二重积分应用平面图形面积DDdyxf时，当1),(依据二重积分定义可知，当被积函数等于依据二重积分定义可知，当被积函数等于1时，二时，二重积分就是底重积分就是底D面积即：面积即：已知平面封闭图形面积可经过定积分计算。已知平面封闭图形面积可经过定积分计算。第26页二重积分应用平面图形面积二重积分应用平面图形面积解解在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2

14、 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2,得得交交点点)6,(aA,所求面积所求面积 Ddxdy 12Ddxdy 2cos2062aardrd).33(22 a D=2D1第27页二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积D1zx y ozyx例例6 6 求四个平面求四个平面x+y+z=1x+y+z=1，x=0,y=0,z=0 x=0,y=0,z=0所围成四面体所围成四面体体积。体积。y0 x1x11xy第28页二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积y0 x1x11xy交点为（交点为（0，1）（）（1，0）1210012xyx ydx12011(1)2

15、6x dxxyxD101可表示为：积分区域xDdyyxdxdxdyyxf1010)1(),(第29页二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积例例7 7.6 4 2Vyxz限上的体积限上的体积所围成的立体在第一挂所围成的立体在第一挂及三个坐标面及三个坐标面，平面，平面求由抛物柱面求由抛物柱面 oxyz426解解所求立体能够看成是一个曲所求立体能够看成是一个曲顶柱体，它曲顶为顶柱体，它曲顶为,42xz .60,20:yxD底为底为于是，于是，dxVD)4(2 dyxdx 60220)4(20602)4(dxyx 202)4(6dxx.32 第30页二重积分应用平面薄片质量二重积分应用平

16、面薄片质量2 yxxy xyo解解yxyyD21可表示为：积分区域yyDdxyxdydxdyyxf22210)(),(1023)384438(dyyyy34第31页二重积分练习题二重积分练习题1 220),(xrrrdyyxfdx 22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy第32页二重积分练习题（一）二重积分练习题（一）211210),(yydxyxfdyrdrrrfd cos2022)sin,cos(2cossin0401rdrrd12 )34(33 R第33页二重积分练习题（二）二重积分练习题（二）405 4323a 第34页作业：作业：教材教材P156 P156 同时练习五同时练习五 三、三、9,109,10 (要求画出积分区域图要求画出积分区域图)同时练习六同时练习六 1,2(1)(3)(5)1,2(1)(3)(5)*同时练习七同时练习七 1,3,51,3,5 第35页