专升本辅导第讲不定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1、一、复习要求一、复习要求（1）了解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理（2）熟练掌握不定积分基本公式（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单根式代换）（4）熟练掌握不定积分分部积分法（5）会求简单有理函数不定积分 第第5讲讲 不定积分不定积分第1页1原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念二、内容提要二、内容提要()F x假如存在一个函数对该区间上每一点都有()()F xf x()()dF xf x dx或()F x()f x则称函数是函数在该区间上一个原函数()f x（1）原函数定义：设是定义在某区间上已知函数，()f x有原函数，则

2、它必有没有穷多个原函数说明：a若()F xC全部原函数都表示为形式（C为任意常数）()F x()f x()f x是一个原函数，则b若第2页()f x()f x dx()f x（2）不定积分定义：函数全部原函数，称为不定积分，记作()F x()f x若是一个原函数，则有注意：假如漏写这个任意常数C，那就只表示一个原函数可见，原函数和不定积分关系是个体与全体关系求已知函数不定积分实质是求出它一个原函数，再加上任意常数C()()f x dxF xC其中C称为积分常数第3页()yF x（4）不定积分几何意义：普通地，函数图象是一条曲线，()f x()f x（3）原函数存在性：假如函数则在此区间必有原函

3、数在某个区间连续，轴平移）曲线族，其中每一条曲线在同一个横坐标()yF xCy0 xx0()f x形状相同仅位置高低不一样（沿处有相同斜率图象是一个含有没有数条第4页()()f x dxf x（5）不定积分性质 它表明：若对一个函数求导或微分后再求不定积分，二者作用相互抵消()f x()f x不定积分导数等于，即a()()F x dxF xC()F x()F x导数（或微分）不定积分与相差一个常数，即b第5页()()kf x dxkf x dxc被积函数中不为零常数因子可提到积分号前面，即()()()()f xg x dxf x dxg x dxd两个函数和（差）不定积分，等于函数不定积分和（

4、差），即第6页0dxC111x dxxC1 1ln|dxxCx1lnxxa dxaCa0,1aaxxe dxeCsincosxdxxC cossinxdxxC2csccotxdxxC 2sectanxdxx C21arcsin1dxxCx21arctan1dxxCx2基本积分公式基本积分公式第7页3直接积分法直接积分法（1）把只应用不定积分性质和基本积分公式求积分方法叫做直接积分法（2）在计算积分之前，往往需对被积函数进行简单恒等变换，常见恒等变换有：a代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两部分、把根式部分写成份数指数形式等）；b三角函数恒等变换（3）直接积分法是最基本积分方法，是换元

5、积分法和分部积分法基础，务必熟练掌握 第8页()()()()fxx dxfx dx()()()f u duF uCFxC4第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法）()ux实际应用形式是令 u能够无须把写出来，直接计算()()f u duF uC()()()fxx dxFxC()ux可微，则有（1）法则：若已知第9页（2）说明：第一类换元积分法是用得最多一个主要积分法其基本思想是，为了计算积分()g x dx()()()fxx dxFxC()g x dx 这么与 复合函数()g x dx()ux()dux dx()f u()ux()fx即使这个积分不属于基本公式，但被积表示式能分解成

6、两部分之积一部分能凑成一个可微函数微分某基本积分公式中函数 ，必要时再添加常数；另一部分是属于第10页1()()()(0)f axb dxf axb d axbaa11()()()nnnnf axxdxf axd axan()()xxxxf e e dxf ede1(ln)(ln)lnfxdxfx dxx(cos)sin(cos)cosfxxdxfx dx(sin)cos(cos)sinfxxdxfx dx21(tan)(tan)tancosfxdxfx dxx21(cot)(cot)cotsinfxdxfx dxx21(arcsin)(arcsin)arcsin1fxdxfx dxx21(a

7、rctan)(arctan)arctan1fxdxfx dxx（3）常见凑微分形式有：第11页1()()f x dxFxC5第二类换元积分法第二类换元积分法（2）作用：第二类换元积分法主要用来消去消去被积函数中根号根号，这类积分被积函数看来简单，但难于计算换元后被积函数有理化就便于计算了 ()()()ftt dtF tC，则，若()xt()0t单调可微，且（1）法则：设1()tx()xt其中是反函数第12页ntaxb（3）惯用代换形式22axb被积函数含有根式，作三角代换22xac被积函数含有根式，作三角代换naxbd被积函数含有根式，作根式代换22ax，作三角代换a被积函数含有根式sin()

8、22xatt，称为正弦代换tan()22xatt，称为正切代换sec(0)2xatt，称为正割代换第13页（4）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得不定积）注意变量还原用上述代换消去根号后，求得不定积分中常含有变量函数，这就需要设法把它们用变量函数代回分中常含有变量函数，这就需要设法把它们用变量函数代回来对于三角代换，这个回代过程可来对于三角代换，这个回代过程可借用一个直角三角形借用一个直角三角形来来完成完成第14页6分部积分法分部积分法udvuvvdu或简写为：(),()u x v x()()u x v x()()u x v x()()()()()()u x v x dxu x v xv

9、x u x dx都是可微函数，且及都有原函数，则有（1）法则：设第15页和（2）部分积分法关键在于选择uv其普通选择标准是：()v xb原函数轻易求出()u x导数()u x()u x比a使本身简单()()v x u x dx轻易计算 c使积分第16页（3）适宜用部分积分法计算不定积分主要类型有：nxaxenuxaxdve dx与指数函数乘积，简称指数幂积型，这时普通设a被积函数是幂函数nxnuxsindvxdxcosdvxdx乘积，简称三角幂积型，这时普通取或b被积函数是幂函数与三角函数（如正、余弦函数等）第17页nxln xlnuxndvx dxc被积函数是幂函数与对数函数乘积，简称对数幂

10、积型，这时普通设ndvx dxarcsinuxarctanuxe被积函数是幂函数与反三角函数乘积，简称反 三角函数型，这时普通设或axed被积函数是指数函数与三角函数乘积，简称三角指数型，这时可任意设第18页6简单有理函数不定积分简单有理函数不定积分1()ndxaxb，可用换元法计算（1）形如2MNxdxxpxq，可经过配方法或拆项法计算（2）形如第19页()()f x dx F xC1基本概念基本概念()F xC()f x是全体原函数，即()f x()F xC0 xx()f x不定积分是一族曲线，它们共同点是曲线上点切线斜率都是三、例题及说明三、例题及说明()()F xf x()F x()f

11、 x，则一个原函数，是若第20页111112ln(2)2222dxd xxCxx两种不一样积分方法普通会得到结果，这并不矛盾，可用导数来检验1111(ln)(ln(2)222xCxCx1()2f xx()f x例例1 设，求（1）全体原函数；11111ln(2)lnln2222xCxC11ln22CC或经过恒等变形来检验,1xe y11ln2eC12C（2）把代入不定积分，得11ln22yx则所求一个原函数是xe1y()f x时一个原函数（2）满足条件：当1111ln222dxdxxCxx，也能够用凑微分法解解（1）第21页2基本积分公式和性质利用基本积分公式和性质利用31xxxdxx()xx

12、dx421xdxxcos2cossinxdxxx221sincosdxxx22(sintan)2xx dx（2）（3）（4）（5）（6）例例1 求（1）第22页211(1)xdxxx 解解（1）原式11ln1xxC（2）原式421 11xdxx（3）原式312ln3xxxxC221(1)1xdxx 31arctan3xxxC第23页2222sincoscossinxxdxxx22cossincossinxxdxxx（4）原式（5）原式21 cos(sec1)2xxdx（6）原式(cossin)xx dxsincosxxC2211()cossindxxxtancotxxC11sintan22xx

13、xC 第24页3第一换元法（凑微分）第一换元法（凑微分）10(12)xdx2xxe dx1lndxxx21xxedxe214dxx3sin xdx（2）（3）（4）（5）（6）例例1 求（1）第25页2212xe dx101(12)(12)2xdx 解解（1）原式（2）原式111(1 2)22xC 212xeC（3）原式211xxdeearctanxeC第26页（4）原式21121()2dxx（5）原式2sincosxdx（6）原式21()21()2xdxarcsin2xC2(1 cos)cosx dx 31coscos3xxC 1lnlndxxlnln xC第27页4第二换元法第二换元法12

14、1dxx22ax dx221dxxa3222()xadx（2）（3）（4）例例1（1）第28页214ln(21)xxC 222(arcsin)2axxaxCaaa1tx解解（1）设21,2xtdxtdt，则122tdtt原式sinxat（2）设22cos,cosdxatdtaxat，则coscosat atdt原式 24ln(2)ttC2222tdtt2(1 cos2)2at dt21(sin2)22attC2221arcsin22axx axCa第29页sec tandxattdt22tanxaat1ln(sectan)ttCsecxat（3）设，则sec tantanattdtat原式 1

15、lnCCa（）sectdtsec(sectan)sectantttdttt22ln()xxaC第30页2secdxatdttanxat（4）设，则233secsecatdxat原式2costdta2sintCa2221xCaxa第31页5分部积分法分部积分法sinxxdx(1)lnxxdxxe dx（2）（3）例例1 求积分（1）,sinux dvxdx解解（1）设,cosdudx vx，则sinxxdx于是cossinxxxC coscosxxxdx 第32页(1)lnxxdx211()ln(1)22xxxxdx2xte dxte dtln,(1)ux dvxdx（2）设，则211,2dud

16、x vxxx于是xt（3）令，则2,2xtdxtdt于是2211()ln24xxxxxC2ttde2()tttee dt2()ttteeC2(1)xexC22111()ln()22xxxxxdxx第33页6.简单有理函数积分简单有理函数积分2128xdxxx解解（1）2128xdxxx2(1)dxx x（2）例例1 求积分（1）221(28)228xxdxxx21ln|28|2xxC第34页221(1)ln|21d xxx2(1)dxx x（2）2221(1)xxdxx x21()1xdxxx21ln|ln(1)2xxCsin2 cos3xxdx3tansecxxdx7三角函数积分三角函数积分（2）例例1 求积分（1）第35页1sincossin()sin()2xyxyxy解解（1）因为sin2 cos3xxdx，于是31secsec3xxC3tansecxxdx（2）1(sin5sin)2xx dx11(coscos5)25xxC2tantan secxxxdx2(sec1)secxdx第36页