12.3 乘法公式 知识考点梳理（课件）华东师大版数学八年级上册.pptx

1、12.3.1 两数和乘以这两数的差 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析考点清单解读返回目录返回目录考点考点 平方差公式平方差公式公式公式（a+ba+b）（）（a-ba-b）=a=a2 2-b-b2 2语言描语言描述述两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差数的平方差示例示例注意注意公式中的公式中的 a a，b b 可以是单项式，也可以是多项式可以是单项式，也可以是多项式12.3.1 两数和乘以这两数的差1.1.平方差公式平方差公式考点清单解读返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差2.2.平方差公式的常见变形平方差公式的常见变形

2、位置变化位置变化（b+ab+a）（）（-b+a-b+a）=a=a2 2-b-b2 2位置变化位置变化（-a-b-a-b）（）（a-ba-b）=b=b2 2-a-a2 2系数变化系数变化（2a+3b2a+3b）（）（2a-3b2a-3b）=4a=4a2 2-9b-9b2 2指数变化指数变化（a a2 2+b+b2 2）（）（a a2 2-b-b2 2）=a=a4 4-b-b4 4项数变化项数变化（a+b+ca+b+c）（）（a-b-ca-b-c）=a=a2 2-（b+cb+c）2 2考点清单解读返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差归纳总结归纳总结平方差公式的探究：图平方差公式的探究

3、：图1 1 中阴影部分的面积中阴影部分的面积 S=a S=a2 2-b-b2 2，图图 2 2 中阴影部分的面积中阴影部分的面积 S=S=（a+ba+b）（）（a-ba-b），故可得（），故可得（a+ba+b）（a-ba-b）=a=a2 2-b-b2 2.考点清单解读返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差典例典例 下列各式中不能用平方差公式计算的是下列各式中不能用平方差公式计算的是 （）A A（-x+2-x+2）（）（x+2x+2）B B（-3-x-3-x）（）（x+3x+3）C C（2x-y2x-y）（）（2x+y2x+y）D D（-2x-y-2x-y）（）（-2x+y-2x+y

4、）对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差解解题思路题思路 选项选项分析分析判断判断A A 原式原式=（2-x2-x）（）（2+x2+x）=2=22 2-x-x2 2能能B B 原式原式=-=-（x+3x+3）（）（x+3x+3）=-=-（x+3x+3）2 2不能不能C C原式原式=（2x2x）2 2-y-y2 2能能D D原式原式=（-2x-2x）2 2-y-y2 2能能答案答案 B B重难题型突破返回目录返回目录例例 1 1 先化简，再求值：先化简，再求值：2 2（-1+3x-1+3x）（）（3x+13x+1）-2-2（2x+32x+3）（）（2x-32x

5、-3），其中），其中x=-2.x=-2.12.3.1 两数和乘以这两数的差解解析析运用平方差公式计算的方法：运用平方差公式计算的方法：重难题型突破返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差答案答案 解解:原式原式=2(3x-1)(3x+1)-2(2x+3)(2x-=2(3x-1)(3x+1)-2(2x+3)(2x-3)=2(3x)3)=2(3x)2 2-1-2(2x)-1-2(2x)2 2-9=2(9x-9=2(9x2 2-1)-2(4x-1)-2(4x2 2-9)=18x-9)=18x2 2-2-2-8x8x2 2+18=10 x+18=10 x2 2+16,+16,把把 x=-2

6、x=-2 代入代入,得原式得原式=10=104+16=56.4+16=56.重难题型突破返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差变式衍生变式衍生 先化简，再求值：（先化简，再求值：（2 2n n-2-2）（）（4+24+22n2n）（）（-2-2-2 2n n），其中），其中 n=2.n=2.解：原式=（2n-2）（-2-2n）（4+22n）=-（2n-2）（2n+2）（4+22n）=-（）（）=-（22n-4）（22n+4）=-（24n-16）=16-24n，把 n=2 代入，得原式=16-28=16-256=-240.易错易混分析返回目录返回目录错误运用平方差公式错误运用平方差公

7、式例例 计算：（计算：（3x-2y-73x-2y-7）（）（3x+2y-73x+2y-7）12.3.1 两数和乘以这两数的差答案答案 解：原式解：原式=（3x-73x-7）2 2-（2y2y）2 2=（3x-73x-7）（）（3x-73x-7）-（2y2y）2 2=9x=9x2 2-42x+49-4y-42x+49-4y2 2易错易错 解：原式解：原式=（3x3x）2 2-（2y-72y-7）2 2=（3x3x）2 2-（2y-72y-7）（）（2y-72y-7）=9x=9x2 2-4y-4y2 2+28y-49+28y-49错因错因 运用平方差公式时，找错相同项和相反项运用平方差公式时，找错

8、相同项和相反项.易错易混分析返回目录返回目录12.3.1 两数和乘以这两数的差易错警示易错警示 运用平方差公式时，首先要分清相同项和互运用平方差公式时，首先要分清相同项和互为相反数的项为相反数的项.领悟提能领悟提能 在套用公式时，若底数不是单个字母或数时，在套用公式时，若底数不是单个字母或数时，注意带上括号注意带上括号.12.3.2 两数和（差）的平方 考点清单解读 重难题型突破 方法技巧点拨12.3.2 两数和（差）的平方考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 两数和的平方公式两数和的平方公式两数两数和的和的平方平方公式公式语言叙述语言叙述两数和的平方，等于这两数的平方和两数和的平方，等于

9、这两数的平方和加上它们的积的加上它们的积的 2 2 倍倍公式公式（a+ba+b）2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2巧记巧记首平方，末平方，首末两倍中间放首平方，末平方，首末两倍中间放示例示例12.3.2 两数和（差）的平方考点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方归纳总结归纳总结公式常见变形公式常见变形（1 1）（）（-a-b-a-b）（）（）=（a+ba+b）2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2；（2 2）（）（a+b+ca+b+c）2 2=（a+ba+b）c c；（3 3）a a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab-2ab；（

10、4 4）（）（a+ba+b）3 3=（a+ba+b）2 2（a+ba+b）.考点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方典例典例 1 1 计算：计算：（1 1）（）（3x+y3x+y）2 2；（2 2）3 30040042 2对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方解解析析（1 1）利用两数和的平方公式展开即可得到结果；）利用两数和的平方公式展开即可得到结果；（2 2）将）将 3004 3004 分解为分解为 3000+4 3000+4，再运用两数和的平方公，再运用两数和的平方公式计算即可式计算即可.答案答案 解：（解：（1 1）原式）原式=（3

11、x3x）2+22+23xy+y23xy+y2=9x2+6xy+y2=9x2+6xy+y2；(2)3004(2)30042 2=(3000+4)=(3000+4)2 2=3000=30002 2+2+2300030004+44+42 2=9000000+24000+16=9000000+24000+16=9024016.=9024016.考点清单解读返回目录返回目录考点二考点二 两数差的平方公式两数差的平方公式两数两数和的和的平方平方公式公式语言叙述语言叙述两数差的平方，等于这两数的平方和两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的减去它们的积的 2 2 倍倍公式公式（a a-b b）2 2=

12、a=a2 2-2ab+b2ab+b2 2巧记巧记首平方，末平方，首末两倍中间放首平方，末平方，首末两倍中间放12.3.2 两数和（差）的平方考点清单解读返回目录返回目录 续表续表注意注意（1 1）在公式中，字母）在公式中，字母 a a 和和 b b 可以是含字母的可以是含字母的代数式，也可以是单独的数，在运用公式进行运代数式，也可以是单独的数，在运用公式进行运算时，应注意区分哪个是算时，应注意区分哪个是 a a，哪个是，哪个是 b b（2 2）对形如两数差的平方的计算，都可以用这）对形如两数差的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看成一项，个公式；对于三项的可以把其中的两项

13、看成一项，然后再用公式然后再用公式12.3.2 两数和（差）的平方考点清单解读返回目录返回目录 续表续表公式公式变形变形（-a+b-a+b）2 2=-（a-ba-b）2 2=（a-ba-b）2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2（-a+b-a+b）2=2=（b-ab-a）2 2（a-b-ca-b-c）2 2=a-a-（）（）2 2=（a-ba-b）-c-c2 2a a2 2+b+b2 2=（a-ba-b）2 2+2ab+2ab（a-ba-b）2 2=（a+ba+b）2 2-4ab-4ab（a+ba+b）2 2=（a-ba-b）2 2+4ab+4ab12.3.2 两数和（差）的平方考

14、点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方归纳总结归纳总结利用两数差的平方公式时，当公式中的利用两数差的平方公式时，当公式中的 a a，b b 不是单独不是单独的数或单独的字母时，要注意添加括号的数或单独的字母时，要注意添加括号.考点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方解解析析（1 1）利用两数差的平方公式展开即可得到结果；）利用两数差的平方公式展开即可得到结果；（2 2）将）将 1 999 1 999 分解为分解为 2 000-1 2 000-1，再运用两数差的平方，再运用两数差的平方

15、公式计算公式计算.重难题型突破返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方例例 设一个两位数设一个两位数 a3 a3 可表示为可表示为 10a+3 10a+3，当，当 a a 取不同取不同的值时，的值时，a3 a3 的平方如下：的平方如下：第第 1 1 个等式：个等式：131313=169=13=169=（10101+61+6）10101+91+9；第第 2 2 个等式：个等式：232323=529=23=529=（10102+62+6）10102+92+9；第第 3 3 个等式：个等式：333333=1 089=33=1 089=（10103+63+6）10103+93+9（1 1）请写

16、出第）请写出第 4 4 个等式：个等式：_；（2 2）根据上述规律，请写出）根据上述规律，请写出 a3 a3 的平方的一般性规律，的平方的一般性规律，并予以证明并予以证明重难题型突破返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方答案答案 解：（解：（1 1）434343=1 849=43=1 849=（10104+64+6）10104+94+9（2 2）a3 a3 的平方的一般性规律为（的平方的一般性规律为（a3a3）2 2=（10a+310a+3）2 2=（10a+610a+6）10a+910a+9；左边左边=（10a+310a+3）2 2=（10a10a）2 2+60a+9+60a+9，

17、右边右边=（10a+610a+6）10a+9=10a+9=（10a10a）2 2+60a+9+60a+9，（10a+310a+3）2 2=（10a+610a+6）10a+9 10a+9 成立成立重难题型突破返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方解题通法解题通法 求解规律探索题的方法：一般先从题目所给求解规律探索题的方法：一般先从题目所给的几个等式出发找到存在的共同规律（从特殊到一般），的几个等式出发找到存在的共同规律（从特殊到一般），再用文字或含有字母的关系式表示这个规律，最后还需要再用文字或含有字母的关系式表示这个规律，最后还需要验证其正确性（从一般到特殊）验证其正确性（从一般到特

18、殊）.方法技巧点拨返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方方法：整体代入法方法：整体代入法巧用完全平方公式变形，整体代入求值，应先利用乘法巧用完全平方公式变形，整体代入求值，应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知条件代入公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知条件代入求值求值.方法技巧点拨返回目录返回目录12.3.2 两数和（差）的平方例例 将两数和（差）的平方公式将两数和（差）的平方公式（a ab b）2 2=a=a2 22ab+b2ab+b2 2 进行变形，可以解决很多的数学问题请尝试解决：进行变形，可以解决很多的数学问题请尝试解决：（1 1）若）若 a+b=5

19、a+b=5，ab=2ab=2，求，求 a a2 2+b+b2 2 的值；的值；（2 2）若）若 a+b=10 a+b=10，a a2 2+b+b2 2=50=502 2，求，求 ab ab 的值的值答案答案解：（解：（1 1）a+b=5a+b=5，ab=2ab=2，aa2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=5-2ab=52 2-2-22=25-4=212=25-4=21；（2 2）a+b=10a+b=10，a a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=50-2ab=502 2，10102 2-2ab=502ab=502 2，2ab=100-2 5002ab=100-2 500，2ab=-2 4002ab=-2 400，ab=-1 ab=-1 200200