第 12 章 整式的乘除 思维图解+项目学习 知识考点梳理（课件）华东师大版数学八年级上册.pptx

1、第 12 章 整式的乘除课标领航课标领航核心素养学段目标核心素养学段目标1.能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）.2.理解乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（ab）2=a22ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.3.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.第 12 章 整式的乘除本章内容要点本章内容要点2 2 个重要概念个重要概念：因式分解，公因式：因式分解，公因式9 9 种重要运算种重要运算：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，

2、单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，同底数幂的除法，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式多项式乘以多项式，单项式除以单项式，多项式除以单项式2 2 个常用公式个常用公式：平方差公式，两数和（差）的平方公式：平方差公式，两数和（差）的平方公式2 2 种因式分解的方法种因式分解的方法：提公因式法，公式法：提公因式法，公式法4 4 个核心素养个核心素养：抽象能力，运算能力，推理能力，几何：抽象能力，运算能力，推理能力，几何直观直观单元思维图解第 12 章 整式的乘除幂幂的的运运算算整式的乘除同底数幂的乘法同底数幂的乘法a am maan n=a=a

3、m+nm+n（m m，n n 都是正整数）都是正整数）幂的乘方幂的乘方（a am m）n n=a=amnmn（m m，n n 都是正整数）都是正整数）积的乘方积的乘方（abab）n n=a=an nb bn n（n n 为正整数）为正整数）a am ma an n=a=am-nm-n（a0a0，m m，n n 都都是正整数，并且是正整数，并且 m mn n）同底数幂同底数幂的除法的除法单元思维图解第 12 章 整式的乘除整整式式的的乘乘法法整式的乘除单项式与单项式与单项式相乘单项式相乘单项式与多单项式与多项式相乘项式相乘m m（a+b+ca+b+c）=ma+mb+mc=ma+mb+mc多项式与

4、多多项式与多项式相乘项式相乘（m+nm+n）（）（a+b+ca+b+c）=ma+=ma+mb+mc+na+nb+ncmb+mc+na+nb+nc将它们的系数、相同字母的幂分将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式作为积的一个因式单元思维图解第 12 章 整式的乘除乘乘法法公公式式整式的乘除平方差公式平方差公式两数和（差）两数和（差）的平方公式的平方公式（a ab b）2 2=a=a2 22ab+b2ab+b2 2（a+ba+b）（）（a-ba-b）=a=a2 2-b-b2 2单元

5、思维图解第 12 章 整式的乘除整整式式的的除除法法结结果果是是整整式式整式的乘除单项式除单项式除以单项式以单项式多项式除多项式除以单项式以单项式先把多项式的每一项除以这个先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加单项式，再把所得的商相加系数相除系数相除同底数幂相除同底数幂相除只有被除式里含有的字母，连只有被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式同它的指数作为商的一个因式单元思维图解第 12 章 整式的乘除因因式式分分解解整式的乘除概念概念方法方法提公因式法提公因式法把一个多项式化成几个整式的把一个多项式化成几个整式的积的形式积的形式公式法公式法平方差公式法：平方差公式法：a

6、a2 2-b-b2 2=（a+ba+b）（）（a-ba-b）完全平方公式法：完全平方公式法：a a2 22ab+b2ab+b2 2=（a ab b）2 2项目学习因式分解问题中的运算能力因式分解问题中的运算能力初中阶段项目学习领域，可采用项目式学习的方式初中阶段项目学习领域，可采用项目式学习的方式.能能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题，能合理使用数据，现问题，并将其转化为合理的数学问题，能合理使用数据，进行合理计算，提高运算能力进行合理计算，提高运算能力.运算能力有助于形成规范化运算能力有助于

7、形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.例例 1 1 在当今在当今“互联网互联网+”+”时代，有一种用时代，有一种用“因式分解法因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式 x x3 3-x x 分解结果为分解结果为 x x（x+1x+1）（）（x-1x-1）当）当 x=20 x=20 时，时，x-1=19x-1=19，x+1=21x+1=21，此时可得到数字密码，此时可得到数字密码 201921 201921 或者是或者是 192021 192021 等等（1

8、1）根据上述方法，当）根据上述方法，当 x=16 x=16，y=4 y=4 时，对于多项式时，对于多项式 x x3 3-xy-xy2 2 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？可）？（2 2）将多项式）将多项式 x x3 3+（m-nm-n）x x2 2+nx+nx 因式分解后，利用题因式分解后，利用题目中所示的方法，当目中所示的方法，当 x=10 x=10 时可以得到密码时可以得到密码 101213 101213，求，求 m m，n n 的值的值项目学习项目学习解解析析（1 1）由题意对其进行因式分解，代入数值求解）由题意对其进行因式分解，

9、代入数值求解即可；（即可；（2 2）逆向思维考虑，）逆向思维考虑，x x 的最高项系数为的最高项系数为 1 1，所以分，所以分解后有三个因式解后有三个因式 项目学习答案答案解：（解：（1 1）x x3 3-xy-xy2 2=x=x（x-yx-y）（）（x+yx+y），），当当 x=16 x=16，y=4 y=4 时，时，x-y=12x-y=12，x+y=20 x+y=20，得到的数字密码为得到的数字密码为 161220 161220 或或 121620 121620（答案不（答案不唯一）；唯一）；（2 2）当）当 x=10 x=10 时，密码为时，密码为 101213 101213，且，且 x

10、 x3 3 的系数为的系数为 1 1，由题意知由题意知 x+2=12 x+2=12，x+3=13x+3=13，x x3 3+（m-nm-n）x x2 2+nx=x+nx=x（x+2x+2）（x+3x+3）=x=x3 3+5x+5x2 2+6x+6x，m-n=5m-n=5，n=6n=6，即即 m=11 m=11，n=6.n=6.项目学习点拨点拨 解决此类问题时，首先读懂题中给出的定义，解决此类问题时，首先读懂题中给出的定义，结合所学问题进行解答，此外，在解决数学问题时要学会逆结合所学问题进行解答，此外，在解决数学问题时要学会逆向思维的运用向思维的运用.例例 2 2 综合应用综合应用在学习完全平方

11、公式时，某兴趣小组发现：已知在学习完全平方公式时，某兴趣小组发现：已知 a+b=5a+b=5，ab=3ab=3，可以在不求，可以在不求 a a，b b 的值的情况下，求出的值的情况下，求出 a a2 2+b+b2 2 的值具体做法如下：的值具体做法如下：a a2 2+b+b2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab-2ab=+2ab-2ab=（a+ba+b）2 2-2ab=5-2ab=52 2-2-23=193=19（1 1）若）若 a+b=7 a+b=7，ab=6ab=6，则，则 a a+b+b2 2=_=_；（2 2）若）若 m m 满足满足 m m（8-m8-m）=3=3，求，求 m m

12、2 2+（8-m8-m）2 2的值，同的值，同样可以应用上述方法解决问题具体操作如下：样可以应用上述方法解决问题具体操作如下：项目学习解：设解：设 m=a m=a，8-m=b8-m=b，则则 a+b=m+a+b=m+（8-m8-m）=8=8，ab=mab=m（8-m8-m）=3=3，所以所以 m m2 2+（8-m8-m）2 2=a=a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=8-2ab=82 2-2-23=3=5858请参照上述方法解决下列问题：请参照上述方法解决下列问题：若若-3x-3x（3x+53x+5）=6=6，求，求 9x 9x2 2+（3x+53x+5）2 2 的值；的

13、值；若（若（2x-12x-1）（）（5-2x5-2x）=3=3，求（，求（2x-12x-1）2 2+（5-2x5-2x）2 2 的的值；值；项目学习（3 3）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长）如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长 11 m 11 m 的篱笆（不含墙的篱笆（不含墙 AD AD）围成一个长方形的花圃）围成一个长方形的花圃 ABCD ABCD，面积为面积为 15 m 15 m2 2，其中墙，其中墙 AD AD 足够长，篱笆足够长，篱笆 AB AB墙墙 AD AD，篱笆，篱笆 DCDC墙墙 AD AD随着学校社团成员的增加，学校在花圃随着学校社团成员的增加，学校在花圃

14、ABCD ABCD 旁分别以旁分别以 AB AB，CD CD 边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外各扩建两个正方形花圃，以 BC BC 边边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积分），求花圃扩建后增加的面积项目学习项目学习解解析析（1 1）根据完全平方公式，即（）根据完全平方公式，即（a+ba+b）2 2=a=a2 2+2ab+2ab+b2b2 计算即可；（计算即可；（2 2）设）设-3x=a-3x=a，3x+5=b3x+5=b，可得，可得-3x-3x（3x+53x+5）=ab=6=ab=6，a+b=5a

15、+b=5，则，则 9x 9x2 2+（3x+53x+5）2 2=a=a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab-2ab，代入计算即可；设，代入计算即可；设 2x-1=a 2x-1=a，5-5-2x=b2x=b，即（，即（2x-12x-1）（）（5-2x5-2x）=ab=3=ab=3，a+b=4a+b=4，可知（，可知（2x-12x-1）2+2+（5-2x5-2x）2 2=a=a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab-2ab，代入计算即可；（，代入计算即可；（3 3）设）设AB=x mAB=x m，BC=y mBC=y m，由题意可得，由题意可得 2x+y=11 2x+

16、y=11（m m），），xy=15xy=15（m m2 2），），由图可知，扩建部分的面积为由图可知，扩建部分的面积为 4x 4x2 2+y+y2 2=（2x+y2x+y）2 2-4xy-4xy，代入，代入计算即可计算即可项目学习答案答案解：（解：（1 1）37 37 提示：提示：a+b=7a+b=7，ab=6ab=6，aa2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=7-2ab=72 2-2-26=376=37；（2 2）设）设-3x=a-3x=a，3x+5=b3x+5=b，-3x-3x（3x+53x+5）=ab=6=ab=6，a+b=5a+b=5，9x9x2 2+（3x+53x+5

17、）2 2=a=a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=5-2ab=52 2-2-26=136=13；设设 2x-1=a 2x-1=a，5-2x=b5-2x=b，（2x-12x-1）（）（5-2x5-2x）=ab=3=ab=3，a+b=4a+b=4，（2x-12x-1）2 2+（5-2x5-2x）2 2=a=a2 2+b+b2 2=（a+ba+b）2 2-2ab=4-2ab=42 2-2-23=103=10；项目学习 （3 3）设）设 AB=x m AB=x m，BC=y mBC=y m，由题意可得，由题意可得 2x+y=11 2x+y=11（m m），），xy=15xy=15（

18、m m2 2），由图可知，扩建部分的面积为（），由图可知，扩建部分的面积为（4x4x2 2+y+y2 2）m m，扩建部分的面积为扩建部分的面积为（4x4x2 2+y+y2 2）=（2x+y2x+y）2 2-4xy-4xy=11=112 2-4-41515=121-60=121-60=61=61（m2m2），），答：花圃扩建后增加的面积为答：花圃扩建后增加的面积为 61 m 61 m2 2例例 3 3 阅读以下材料：阅读以下材料：因式分解：（因式分解：（x+yx+y）2 2+2+2（x+yx+y）+1.+1.解：将解：将“x+y”“x+y”看成整体，令看成整体，令 x+y=A x+y=A，则原

19、式，则原式=A=A2 2+2A+1=+2A+1=（A+1A+1）2 2，再将，再将“A”“A”还原，得原式还原，得原式=（x+y+1x+y+1）2 2，上述解题，上述解题用到的是用到的是“整体思想整体思想”，“整体思想整体思想”是数学解题中常用的是数学解题中常用的一种思想方法一种思想方法.项目学习请你解答下列问题：请你解答下列问题：（1 1）因式分解：（）因式分解：（x-yx-y）2 2-2-2（x-yx-y）+1=_+1=_；（2 2）因式分解：（）因式分解：（a a2 2-4a+2-4a+2）（）（a a2 2-4a+6-4a+6）+4+4；（3 3）求证：无论）求证：无论 n n 为何值

20、，式子（为何值，式子（n n2 2-2n-3-2n-3）（n n2 2-2n+52n+5）+17+17 的值一定是一个不小于的值一定是一个不小于 1 1 的数的数项目学习项目学习答案答案解：（解：（1 1）（）（x-y-1x-y-1）2 2 提示：令提示：令 x-y=A x-y=A，原式原式=A=A2 2-2A+1=-2A+1=（A-1A-1）2 2，将，将“A”“A”还原，得原式还原，得原式=（x-y-x-y-1 1）2 2；（2 2）令）令 a a2 2-4a=A-4a=A，原式原式=（A+2A+2）（）（A+6A+6）+4=A+4=A2 2+8A+12+4=+8A+12+4=（A+4A+

21、4）2 2，将将“A”“A”还原，得原式还原，得原式=（a a2 2-4a+4-4a+4）2 2=（a-2a-2）4 4；项目学习（3 3）证明：令）证明：令 n n2 2-2n=A-2n=A，原式原式=（A-3A-3）（）（A+5A+5）+17=A+17=A2 2+2A-15+17=A+2A-15+17=A2 2+2A+2=+2A+2=（A+1A+1）2 2+1+1，将将 A=n A=n2 2-2n-2n 还原，原式还原，原式=（n n2 2-2n+1-2n+1）2 2+1=+1=（n-1n-1）4 4+1+1，因为无论因为无论 n n 为何值（为何值（n-1n-1）4 400，所以（，所以（n-1n-1）4 4+11+11，即，即式子（式子（n n2 2-2n-3-2n-3）（）（n n2 2-2n+5-2n+5）+17+17 的值一定是一个不小于的值一定是一个不小于 1 1 的数的数