2021年上海市普通高中学业水平考试数学试卷.docx

1、一、选择题1.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )A.B.C.D.2.已知参数方程.下列选项的图中，符合该方程的是( )A.B.C.D.3.已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为( )A.B.C.D.4.已知，同时满足：，；，则下列选项中恒成立的是( )A.B.C.D.二、填空题5.已知，则_.6.已知，则_.7.已知圆，则该圆的圆心坐标为_.8.如图，正方形ABCD的边长为3，则_.9.已知，则_.10.已知二项式展开式中，项的系数为80，则_.11.已知实数x，y满足，则的最大值为_.12.已知无穷等比数列和，满足，的各项和为9，则数列的各项和为_.13.已知圆柱

2、的底面半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C为下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为_.14.已知花博会有四个不同的场馆A、B、C、D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个场馆相同的概率为_.15.已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，则直线AB的斜率为_.16.已知，对任意的，或中有且仅有一个成立，且，则的最小值为_.三、解答题17.如图，在长方体中，已知，.（1）若点P是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线，与平面的夹角大小.18.在中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且，.（1）若，求；（2）若，求.19.已知某企业今年（20

3、21年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.（1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20.已知，是其左右交点，直线l过点P交F于A，B两点，且A在线段BP上.（1）若B是上顶点，求m；（2）若，且原点O到直线l的距离为，求直线l；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条.21.已知是定义在R上的函数，若对任意的，均有，则称是在S关联的.（1）判断和证明是否是关联？是否是关联？（2）是关联，当时，解不等式；（3）证明：“是关联，且

4、是关联”的充要条件是“是关联”.参考答案1.答案：A解析：选A、选项B、C、D均为增函数.2.答案：B解析：特殊值法.当时，1，-1，对应，-1，1.3.答案：B解析：设范围是A，范围是B，由题意，且，当时，；.4.答案：A解析：令，由可知，由得构造函数.，如图所示，为上凸函数，满足，在上严格递增，.5.答案：解析：本题主要考查复数的四则运算.因为，所以.故本题正确答案为.6.答案：解析：本题主要考查集合的含义与表示和集合的运算.因为，所以.故本题正确答案为.7.答案：解析：本题主要考查圆与方程.将题中圆的方程化为标准形式，可得，圆心为.故本题正确答案为.8.答案：9解析：由数量积.9.答案：

5、-3解析：本题主要考查函数的概念与性质.由令，解得，所以.故本题正确答案为-3.10.答案：2解析：本题主要考查二项式定理.由已知有，解得.故本题正确答案为2.11.答案：4解析：本题主要考查线性规划.根据题中所给约束条件可作出可行域如图所示，目标函数可化为，当z最大时，直线在y轴上的截距最小，由图可知当直线过直线和直线的交点时，截距最大，联立，解得，此时，所以z最大值为4.故本题正确答案为4.12.答案：解析：，.13.答案：解析：本题主要考查空间几何体.如图1所示，上顶面圆心记为O，下底面圆心记为，连接OC，过点C作，垂足为点M，则，根据题意，AB为定值2，所以的大小随着CM长短的变化而变

6、化，如图2所示，当点M与点O重合时，取得最大值，此时，如图3所示，当点M与点B重合时，CM取最小值2，此时.综上所述，的取值范围为.14.答案：解析：本题主要考查古典概型.根据题意，则甲乙每人去博物馆的选择均为种，甲乙仅有一个馆相同，则概率为.故本题正确答案为.15.答案：解析：本题主要考查圆锥曲线.因为，两点在抛物线的第一象限上，F为焦点，所以，所以，而，所以，所以.故本题正确答案为.16.答案：31解析：令，则依题意，和中，仅有一个为1（即只能隔项为1）若，则，此时的最小值为31.若，则，此时的最小值为32；故最小值为31.17.答案：（1）.（2），即所求角大小为.解析：18.答案：(1

7、)，由余弦定理得，解得，则，三角形的面积.(2)，由正弦定理（r为外接圆半径）得，因为，所以，因为，所以，则，则，三角形的周长为.解析：19.答案：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看做等差数列，则首项，公差，所以.答：今年起的前20个季度的总营业额为31.5亿元.（2）假设今年第一季度往后的第n（）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则需要求解，令，即要解，则当时，令，解得，即当时，递减；当时，递增.由于，因此的解只能在时取得，经检验，因此今年第一季度往后的第25个季度，即2027年第二季度的利润首次超过该季度营业额的18%.解析：20.答案：(1)若B为上顶点，则，因为，所以.(2

8、)设点，则，因为A在线段BP上，横坐标小于0，所以解得，所以.设直线l的方程为，由原点O到直线l的距离为可得：，化简得，解得或，所以直线l的方程为或(舍去，无法满足)，故直线l的方程为.(3)联立直线与椭圆方程得，设，则，.因为，所以，而，所以化简可得.而，两边同时平方化简得，整理可得，当时，而点A，B在x轴上方，所以k有且仅有一个解，所以对于任意，使得的直线有且仅有一条.解析：21.答案：（1）任取，若，则，是关联，若，则，不是关联.（2）因为是在关联的，所以对于任意，所以对恒成立，因为当时，且当时，所以当时，其中，所以函数的对称轴为直线，所以当时，即，所以当或时，不等式无解，所以当或时，不

9、等式无解，所以当时，不等式有解，因为，所以或.当时，解得到，所以，所以.当时，解得到，所以.综上所述，不等式的解集为.（3）先证明：“是在关联的，并且在关联”“是在关联的”.任取，因为是在关联的，所以当时，即，所以.因为是在关联的，所以当时，所以函数在R上单调递增，下面证明函数是在关联的.任取，即，所以，因为函数在R上单调递增，所以，即，即函数是在关联的.综上所述，“是在关联的，并且在关联”“是在关联的”.“是在关联的”“是在关联的，并且在关联”.因为是在关联的，所以任取，且满足，都有，下面证明.反证法：假设，则与是在关联矛盾，舍去.假设，所以，即，与是在关联矛盾，舍去.所以，即函数是在关联的.再证明函数是在关联的.先证明对于任意，是在关联的，任，即，所以，因为函数是在关联的，所以，因为函数是在关联的，所以，所以，所以，所以任意，是在关联的，所以函数是在关联的.综上所述，函数是在关联的，且在关联.即“是在关联的”“是在关联的，并且在关联”.结合可得，“是在关联的，并且在关联”当且仅当“是在关联的”.解析：