人教A版(2019)高中数学必修第一册第一章1.4.2充要条件教 案.docx

1、1.4.2 充要条件教学设计充要条件教学设计 1通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分 析表述，在这个过程中提升数学抽象素养 2通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判 断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养 教学重点：教学重点：充要条件的意义； 教学难点：教学难点：充要条件和数学定义之间关系 PPT 课件 （一）（一）确定方案确定方案 问题问题 1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究 过程吗？ 师生活动：师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流 预设的答案：预设的答案：

2、具体实例（命题真假判断）抽象概念概念辨析应用概念 抽象概念：什么是充要条件？ 概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？ 应用概念：如何判断充要条件？ 教学目标教学目标 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备 教学过程教学过程 设计意图：设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程首先让学生对本节的内容有一 个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力 （二）问题导入（二）问题导入 问题问题 2：阅读教科书第 20 页右下角的边框内容，完成下列问题： （1）对于“若 p，则 q”形式的命题，什么是它的逆命题？ （2）请分别写出下列命题的逆命题 若两个三角

3、形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； 若一元二次方程0 2 cbxax有两个不相等的实数根，则0ac； 若 AB 是空集，则 A 与 B 均是空集 师生活动：师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达 预设的答案： （1） “若 p，则 q”的逆命题为“若 q，则 p” ，而且它们是互逆的； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 若0ac，则一元二次方程0 2 cbxax有两个不相等的实数根； 若A与 B 均是空集，则BA是空

4、集 设计意图：设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习 做好铺垫 （三）新知探究（三）新知探究 1形成形成概念概念 问题问题 3：对于下列“若 p，则 q”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程0 2 cbxax有两个不相等的实数根，则0ac； （4）若BA是空集，则A与 B 均是空集 师生活动：师生活动：在问题 1 的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正 追问追问 1：根据以上命题及其逆命题的真

5、假，那么 p 是否为 q 的充分条件或必要条件？为 什么？ 师生活动：师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正 预设的答案：预设的答案： （1）原命题为真，所以 p 是 q 的充分条件；逆命题为真，所以 p 是 q 的必 要条件； （2）原命题为真，所以 p 是 q 的充分条件；逆命题为假，所以 p 不是 q 的必要条件； （3）原命题为假，所以 p 不是 q 的充分条件；逆命题为真，所以 p 是 q 的必要条件； （4）原命题为真，所以 p 是 q 的充分条件；逆命题为真，所以 p 是 q 的必要条件 追问追问 2： 阅读教科书第 20 页最后一段到第 21页第一段完， 你能说说什么是充要

6、条件吗？ 师生活动：师生活动：学生独立思考，回答问题老师板书 预设的答案：预设的答案： 如果 “若 p， 则 q” 和它的逆命题 “若 q， 则 p” 均是真命题， 则记作qp 此 时 p 既是 q 的充分条件， 又是 q 的必要条件， 我们说 p 是 q 充分必要条件， 简称为充要条件 设计意图设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条 件的概念 2辨析概念辨析概念 问题问题 4：根据定义，上述四个命题中，哪些 p 是 q 的充要条件？类比“充分必要条件” 的名称， 其余的命题中， 你认为 p 应该称为 q 的什么条件？你认为如何判断 p 是 q 的什么条

7、件？ 师生活动：师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书 预设的答案：预设的答案：上述命题（1） （4）中的 p 是 q 充要条件 对于命题 （2） ， p 是 q 的充分条件， p 不是 q 的必要条件， 称 p 是 q 的充分不必要条件； 对于命题 （3） ， p 不是 q 的充分条件， p 是 q 的必要条件， 称 p 是 q 的必要不充分条件 如果 p 不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件，称 p 是 q 的既不充分又不必要条件 如果“若 p，则 q”为真命题，且“若 q，则 p”为真命题，则 p 是 q 充要条件； 如果“若 p，则 q”为真命题，且“若 q，则 p”

8、为假命题，则 p 是 q 充分不必要条件； 如果“若 p，则 q”为假命题，且“若 q，则 p”为真命题，则 p 是 q必要不充分条 件； 如果“若 p，则 q”为假命题，且“若 q，则 p”为假命题，则 p 是 q 即不充分又不必要 条件 设计意图设计意图：借助学生熟悉的命题，说明 p 是 q 的充要、充分不必要等条件与 p 是 q 的充 分条件、p 是 q 的必要条件之间的关系同时利用定义解决问题，形成方法 3应用概念应用概念 例例 3 下列各题中，p 是 q 的什么条件？（请用“充要条件” “充分不必要条件” “必要 不充分条件” “既不充分又不必要条件”回答）并写出理由 （1）p：两个

9、三角形全等，q：两个三角形三边成比例； （2）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分； （3）p：0 xy，q：0, 0yx； （4）p：1x是一元二次方程0 2 cbxax的一个根，q：)0(0acba 追问追问 1：判断 p 是 q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略） 师生活动：师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规 范过程 如果学生只写出命题的真假， 而没有给出理由， 老师要进行追问 例如： 学生在 （1） 中写出“若 q，则 p 为假命题” ，老师追问“为什么” ，直到学生给出反例为止 设计意图：设计意图：进一步熟悉利用判断命题真

10、假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法 追问追问 2：例 3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对 角线互相平分” ，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略） 师生活动：师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上 追问追问 3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出 平行四边形的不同定义例如： “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 、 “对角线互相 平分的四边形是平行四边形”等等再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学 定义之间有什么关系？ 师生活动：师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流 预设的答案：预设的答案：

11、例如：相似三角形；菱形；子集等定义 数学定义和充要条件的关系： 数学定义给出了数学对象成立的充要条件， 它是从充分性 和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理 设计意图：设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要 条件的理解 例例 4 已知：O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，求证：d=r 是直线 l 与O 相切的充要条件 追问：追问：依据充要条件定义，证明“d=r 是直线 l 与O 相切的充要条件” ，应该证明哪些 命题为真命题？并尝试给出证明思路 师生活动：师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命

12、题以及证明思路，展示交流， 老师帮忙完善在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一 步是“充分性” ，哪一步是“必要性” 或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分 性，哪一步是必要性 预设的答案：预设的答案： 需要证明的命题以及证明思路： （1）若 d=r，则直线 l 与O 相切；思路：要证“直线 l 与O 相切”“直线 l 与 O 有且只有一个公共点”先根据条件“d=r”证明“有公共点” ，然后再证明“只有一个 公共点” （2）若直线 l 与O 相切，则 d=r思路：由“直线 l 与O 相切”“直线 l 与O 有且只有一个公共点 P”“rOPlOP ,”“d=r

13、” 证明：证明： （1）如图，作 OPl 于点 P，则 OP=d 若 d=r，则点 P 在O 上，在直线 l 上任取一点 Q（异于点 P） ，连接 OQ 在 RtOPQ 中，OQOP=r 所以，除点 P 外直线 l 上的点都在O 的外部，即直线 l 与O 仅有一个公共点 P 所以直线 l 与O 相切 （2）若直线 l 与O 相切，不防设切点为 P，则 OPl 因此 d=OP=r 由（1） （2）得，d=r 是直线 l 与O 相切的充要条件 证明命题（1）成立，即说明 d=r 是直线 l 与O 相切的充分条件，这一步称为“充分 性” ；证明命题（2）成立，即说明 d=r 是直线 l 与O 相切的

14、必要条件，这一步称为“必要 性” 设计意图：设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解另外，这个题目 推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要 （四四）梳理总结梳理总结 问题问题 5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若 p，则 q”命 题，判断 p 是 q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？ 师生活动师生活动：师生一起总结 预设的答案：预设的答案： 如果 “若 p， 则 q” 和它的逆命题 “若 q， 则 p” 均是真命题， 则记作qp 此 时 p 既是 q 的充分条件， 又是 q 的必要条件， 我们说

15、p 是 q 充分必要条件， 简称为充要条件 判断方法：通过判断“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”的真假，从而得出 p 是 q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件 数学定义和充要条件的关系： 数学定义给出了数学对象成立的充要条件， 它是从充分性 和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理 设计意图设计意图： 通过梳理本节课的内容， 让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中 的地位和价值 作业布置：作业布置：教科书第 22 页练习第 1，2，3 题；习题 1.4 第 1 到 6 题 （五）目标检测设计（五）目标检测设计 1 （浙江）

16、设a，b是实数，则“0ab”是“0ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 设计意图：设计意图：考查充要条件的判断方法 2已知集合 A，B，则“AB=B”的一个充分不必要条件是（ ） AA= BAB CBA DA=B 设计意图设计意图：考查充分不必要条件的判断方法 3 求证： 方程032 2 xmx有两个同号且不相等的实根的充要条件是 3 1 0 m 设计意图设计意图：考查充要条件的证明 参考答案参考答案：1D 2D 3证明：设 p：方程032 2 xmx有两个同号且不相等的实根；q： 3 1 0 m （1）必要性（qp） ：若方程032 2 xmx有两个同号且不相等的实根，设其 两根为 21,x x，则 , 0 3 , 0124 21 m xx m 解得 3 1 0 m （2）充分性（pq） ：若 3 1 0 m，则0124m，所以一元二次方程 032 2 xmx有两个不相等的实根 又因为 3 1 0 m， 所以, 0 3 21 m xx则方程032 2 xmx有两个同号且不相等的 实根