人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》 教 案.docx
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1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第一课时)(第一课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历探索两角差余弦公式的过程,发展学生逻辑推理素养 2 掌握公式 () C , 初步体会公式 () C 的意义, 发展学生逻辑推理、 数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义 教学难点:教学难点:发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 (一)整体感知(一)整体感知 引导语:引导语:本节我们主要的研究内容是:三角恒等变换,即在不改变含
2、有三角函数的式子 的值的前提下,对式子变形三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用之 前我们学习过的同角三角关系和诱导公式, 都是三角恒等变换的重要工具 今天我们在此基 础上学习新的恒等变换公式 问题问题 1:我们之前学习过诱导公式,它们的共同点是,等号左侧都是一个终边落在坐标 轴上的特殊角与一个任意角的和或差,现在,我们希望将它们一般化,得到新的公式你认 为新公式应具备怎样的特点? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生思考并回答,教师进行引导并排除不合理的回答 预设答案:预设答案:新公式应该含有两个任意角的和或差 设计意图:设计意图:对诱导公式进行梳理归纳,引出任意两个角的和与差,
3、为后续的学习和研究 指明方向同时,指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系 问题问题 2:之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式,你还记得当时我们证明诱导公式的 思路和步骤吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生回顾并回答,教师可酌情引导学生复习回顾 预设答案:预设答案: 第一步, 从 “形” 的角度出发, 找到相互对称的两个角的终边关系; 第二步, 从“数”的角度考虑,写出单位圆上相互对称的的点的坐标;第三步, “数形”融合,将前 两步的结果整合,得出结论 设计意图:设计意图:回顾诱导公式的证明思路,可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴 (二)新知探究(二)新知探究 问题
4、问题 3:先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式,下面我们继续借助单位 圆,采用同样的思路研究含有两个任意角, 的三角恒等变形公式首先,我们考虑两个 任意角终边不重合时的情形如果已知任意角, 的正弦、余弦,那么cos()与它们 有什么关系呢? 设计意图:设计意图:这个问题直接指向本课时的核心内容,但学生暂时难以解答,故通过以下追 问引导学生逐步接近答案 追问追问 1:首先我们从“形”的角度出发,你认为该问题中涉及到的基本角有哪些?请你 将它们连同单位圆一起画在坐标系中,将重要的点标注出来,并观察图形,你能发现哪些可 能有用的等量关系 预设答案:预设答案:基本角为, ,重要的点包括三个角
5、的终边与单位圆的交点(依次记 为 11 ,P A P),始边与单位圆的交点A可能有用的等量关系是 11 PAPA 师生活动:师生活动:学生按照要求作图,并寻找等量关系,若寻找时遇到困难,教师演示动态几 何图形,帮助并引导学生发现 11 PAPA,或找多名同学展示他们作出的图形,让学生们根 据多幅图形寻找共同规律此外,学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系,教师亦 可收集起来,与学生们探讨其是否“有用” ,最终将其它“没用”的等量关系剔除掉 设计意图:设计意图:引导学生发现导出公式 () C 的关键步骤: 11 PAPA 追问追问 2:你能证明这个等量关系吗? 预设的师生活动:预设的师生活动
6、:教师演示动态图形,验证猜想的正确性不会随着角, 终边位置的 改变而改变学生通过思考或交流,完成证明如果必要的话,教师可以简单介绍圆的各种 对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示 预设答案:预设答案:可以借助圆的旋转对称性证明 1 1 APAP,进而得到 1 1 APAP;可以借助 圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形 1 1 OAP全等,进而得到 1 1 APAP;或者直接利 用圆的旋转对称性证明线段 11 ,A P端点在旋转后分别与,A P重合,从而 1 1 APAP 设计意图:设计意图:引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤 1 1 APAP的证明 追问追问 3:接下来,我们从“数”
7、的角度考虑,你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出 现过的点的坐标吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生按照要求写出坐标,教师演示动态图形,指出各点的坐标不会随 着, 终边位置的变化而变化 预设答案:预设答案: 1(cos ,sin ) P, 1(cos ,sin )A,(cos(),sin()P,(1,0)A 设计意图:设计意图:参照先前发现并证明诱导公式的思路,按部就班地进行操作同时也在为将 来学习平面解析几何提供预备性体验 追问追问 4:已知平面直角坐标系任意两点 111 ( ,)P x y, 222 (,)P xy,则点 12 ,P P之间的距离 22 1212 ()()dxxyy
8、请你借助以上 “两点间的距离公式” , 融合以上 “形” 与 “数” 的探究,你能得到什么结论? 预设的师生活动:预设的师生活动: 教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导 学生综合各方面信 息进行演算,教师可指派若干学生对其结果进行交流展示 预设答案预设答案:根据两点间距离公式,结合 11 PAPA,有 2222 (coscos)(sinsin)cos() 1sin()0, 整理得cos()coscossinsin (*) 设计意图:设计意图:通过一系列追问作为引导,彻底完成问题 2 的解答 问题问题 4:如果两个任意角终边重合,上述结论成立吗? 预设答案:预设答案:当, 终边重合时,co
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