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类型人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》 教 案.docx

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    1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第一课时)(第一课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历探索两角差余弦公式的过程,发展学生逻辑推理素养 2 掌握公式 () C , 初步体会公式 () C 的意义, 发展学生逻辑推理、 数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义 教学难点:教学难点:发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 (一)整体感知(一)整体感知 引导语:引导语:本节我们主要的研究内容是:三角恒等变换,即在不改变含

    2、有三角函数的式子 的值的前提下,对式子变形三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用之 前我们学习过的同角三角关系和诱导公式, 都是三角恒等变换的重要工具 今天我们在此基 础上学习新的恒等变换公式 问题问题 1:我们之前学习过诱导公式,它们的共同点是,等号左侧都是一个终边落在坐标 轴上的特殊角与一个任意角的和或差,现在,我们希望将它们一般化,得到新的公式你认 为新公式应具备怎样的特点? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生思考并回答,教师进行引导并排除不合理的回答 预设答案:预设答案:新公式应该含有两个任意角的和或差 设计意图:设计意图:对诱导公式进行梳理归纳,引出任意两个角的和与差,

    3、为后续的学习和研究 指明方向同时,指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系 问题问题 2:之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式,你还记得当时我们证明诱导公式的 思路和步骤吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生回顾并回答,教师可酌情引导学生复习回顾 预设答案:预设答案: 第一步, 从 “形” 的角度出发, 找到相互对称的两个角的终边关系; 第二步, 从“数”的角度考虑,写出单位圆上相互对称的的点的坐标;第三步, “数形”融合,将前 两步的结果整合,得出结论 设计意图:设计意图:回顾诱导公式的证明思路,可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴 (二)新知探究(二)新知探究 问题

    4、问题 3:先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式,下面我们继续借助单位 圆,采用同样的思路研究含有两个任意角, 的三角恒等变形公式首先,我们考虑两个 任意角终边不重合时的情形如果已知任意角, 的正弦、余弦,那么cos()与它们 有什么关系呢? 设计意图:设计意图:这个问题直接指向本课时的核心内容,但学生暂时难以解答,故通过以下追 问引导学生逐步接近答案 追问追问 1:首先我们从“形”的角度出发,你认为该问题中涉及到的基本角有哪些?请你 将它们连同单位圆一起画在坐标系中,将重要的点标注出来,并观察图形,你能发现哪些可 能有用的等量关系 预设答案:预设答案:基本角为, ,重要的点包括三个角

    5、的终边与单位圆的交点(依次记 为 11 ,P A P),始边与单位圆的交点A可能有用的等量关系是 11 PAPA 师生活动:师生活动:学生按照要求作图,并寻找等量关系,若寻找时遇到困难,教师演示动态几 何图形,帮助并引导学生发现 11 PAPA,或找多名同学展示他们作出的图形,让学生们根 据多幅图形寻找共同规律此外,学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系,教师亦 可收集起来,与学生们探讨其是否“有用” ,最终将其它“没用”的等量关系剔除掉 设计意图:设计意图:引导学生发现导出公式 () C 的关键步骤: 11 PAPA 追问追问 2:你能证明这个等量关系吗? 预设的师生活动:预设的师生活动

    6、:教师演示动态图形,验证猜想的正确性不会随着角, 终边位置的 改变而改变学生通过思考或交流,完成证明如果必要的话,教师可以简单介绍圆的各种 对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示 预设答案:预设答案:可以借助圆的旋转对称性证明 1 1 APAP,进而得到 1 1 APAP;可以借助 圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形 1 1 OAP全等,进而得到 1 1 APAP;或者直接利 用圆的旋转对称性证明线段 11 ,A P端点在旋转后分别与,A P重合,从而 1 1 APAP 设计意图:设计意图:引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤 1 1 APAP的证明 追问追问 3:接下来,我们从“数”

    7、的角度考虑,你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出 现过的点的坐标吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生按照要求写出坐标,教师演示动态图形,指出各点的坐标不会随 着, 终边位置的变化而变化 预设答案:预设答案: 1(cos ,sin ) P, 1(cos ,sin )A,(cos(),sin()P,(1,0)A 设计意图:设计意图:参照先前发现并证明诱导公式的思路,按部就班地进行操作同时也在为将 来学习平面解析几何提供预备性体验 追问追问 4:已知平面直角坐标系任意两点 111 ( ,)P x y, 222 (,)P xy,则点 12 ,P P之间的距离 22 1212 ()()dxxyy

    8、请你借助以上 “两点间的距离公式” , 融合以上 “形” 与 “数” 的探究,你能得到什么结论? 预设的师生活动:预设的师生活动: 教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导 学生综合各方面信 息进行演算,教师可指派若干学生对其结果进行交流展示 预设答案预设答案:根据两点间距离公式,结合 11 PAPA,有 2222 (coscos)(sinsin)cos() 1sin()0, 整理得cos()coscossinsin (*) 设计意图:设计意图:通过一系列追问作为引导,彻底完成问题 2 的解答 问题问题 4:如果两个任意角终边重合,上述结论成立吗? 预设答案:预设答案:当, 终边重合时,co

    9、scos,sinsin,此时等式(*)左侧 cos21k,右侧 22 sincos1,两侧的值相等,因此上述结论仍然成立 设计意图:设计意图:完成公式另一种情况的论证,在这个过程中,也体现了分类与整合的数学思 想,有利于培养学生严谨的思维习惯 教师讲解教师讲解: 综合问题 3 与问题 4 的结果, 可知cos()coscossinsin对 任意角, 均成立此公式给出了任意角, 的正弦、余弦与其差角的余弦之间的 关系,称为差角的余弦公式,简记作 () C 例例 1 证明: (1)cos()cosxx ; (2) cossin 2 xx ; (3)cos()cosxx; (4)cos()cosxx

    10、 预设的师生活动:预设的师生活动:可以叫四位同学上黑板做,然后教师点评 预设答案:预设答案: 证明: (1)将公式 () C 中的, 分别替换为,x, 得cos()coscossinsincosxxxx ; (2)将公式 () C 中的, 分别替换为 , 2 x, 得 coscoscossinsinsin 222 xxxx ; (3)将公式 () C 中的, 分别替换为0,x, 得cos 0cos0cossin0sincosxxxx; (4)将公式 () C 中的, 分别替换为,x, 得cos(+ )cos()coscos()sinsin()cosxxxxx 设计意图:设计意图: (1) (2

    11、)为公式 () C 的直接套用,可加强学生对公式的熟悉程度; (3) 只需将x看作0 x即可; (4)需将公式 () C 中的, 分别替换为, x,这为下一课 时中公式 () C 的证明做好铺垫 以上诱导公式虽在之前已经证明, 但在此由公式 () C 为 出发点再次进行推证原因有二:一是新证法更加简捷明了,二是凸显出公式 () C 的重要 意义 问题问题 5:结合例 1 可见,两角差的余弦公式中,含有两个任意角,这与我们之前学习的 诱导公式(含有一个任意角和一个特殊角)相比, 具有更高的自由度 由此你能解读诱导公式 与公式 () C 之间的关系吗?试一试 预设的师生活动:预设的师生活动:学生思

    12、考并交流后,交流展示,教师对学生们的回答进行梳理总结, 最终形成比较完备的答案 预设答案:预设答案:从区别与联系两个方面解读二者的关系:二者的区别是:第一,适用场合不 同,二者涉及到的任意角的数量不同,因此适用的场合并不一样,诱导公式适用于关于一个 特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题, 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的 余弦值的恒等变换问题,第二,功能不同,诱导公式可以实现改变函数名称,将求任意角的 三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能,这些功能是 () C 不具备的,但公式 () C 具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能,这是诱导公式不能完成的;二者的联 系是:第一,差角

    13、余弦公式中含有两个任意角,将其中一个替换为特殊角,即可推导出部分 诱导公式,因此 () C 是更上位的公式;第二,二者均为三角恒等变换的重要变形依据, 它们均可以经由圆的对称性质推导得到 设计意图:设计意图:对诱导公式和差角公式的关系进行梳理,帮助学生厘清关系,培养学生辩证 分析问题的思维方式 例例 2 借助公式 () C ,解答以下题目: (1)计算cos15的值; (2)已知 4 sin 5 , , 2 , 5 cos 13 ,是第三象限角,求cos() 的值 追问:追问: (1)中的角度并不是差的形式,你打算如何借助 () C 完成计算?(2)中 cos,sin并没有直接给出,我们如何借

    14、助公式 () C 求得cos()的值? 预设答案:预设答案:对于(1) ,我们可以把15化成我们熟悉的30 ,45 ,60等特殊角之中某两 角的差的形式, 再借助公式 () C 求解; 对于 (2) , 可以借助同角三角关系求出cos,sin, 进而利用公式 () C 求解cos() 解: (1)(解法一)cos15 =cos(4530 )cos45 cos30sin45 sin30 232 162 22224 ; (解法二)cos15 =cos(6045 )cos60 cos45sin60 sin45 123226 22224 ; (2)因为 , 2 ,故 2 3 cos1 sin 5 ,

    15、因为是第三象限角,故 2 12 sin1 cos 13 , 因此 3541233 cos()coscossinsin 51351365 设计意图:设计意图:通过两个比较简单的求值问题,促使学生进一步熟悉公式 () C ,能借助 公式 () C 解决简单的三角恒等变换问题 (三)归纳小结(三)归纳小结 问题问题 6:请你回顾本节课的内容,思考以下问题: 本课时出现过的哪些性质、公式、定理,它们之间具有怎样的推出关系?叙述公式 () C ,你在使用公式解决问题时有哪些心得体会?此外你还有哪些感悟? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生进行归纳、思考并回答 预设答案:预设答案: () C 圆的旋转对

    16、称性 诱导公式 勾股定理两点间的距离公式 使用 () C 时,由于, 均为任意角,故可以代换成任意值,包括零、特殊角、负角 等等cos()需要sin,cos,sin,cos四个值齐备时方可算出,缺一不可,若有 所缺,往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值公式 () C 中含有两个任意角,是诱 导公式更上位的公式,可以推导出诱导公式;先从“形”的角度出发,再从“数”的角度考 虑,最后融合“数”与“形” ,似乎是一种探究数形关系的有效策略 设计意图:设计意图:回顾反思,在头脑中形成思维网络 (四)作业布置(四)作业布置 教科书习题 5.5 第 1,2,3 题 (五)目(五)目标检测设计标检测设计 1已知 15 sin 17 ,是第二象限角,求 cos 3 的值 2已知 3 22 ,且 2 sin 3 , 3 cos 4 ,求cos()的值 预设答案:预设答案:115 3 8 34 ; 2 3 52 7 12 设计意图: 通过两个比较简单的求值问题, 促使学生巩固同角三角关系及公式 () C , 提升数学运算素养可对学生是否达到目标“能否运用公式 () C 解决简单的三角恒等变 换问题”提供评测依据

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