人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)》 教 案.docx
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1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第三课时)(第三课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式 () C 的意义,发展学生逻辑推 理素养 2掌握公式 2 S , 2 C 及其变形形式,2 T ,发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式 () C 的意义 教学难点:教学难点:把握角度关系;二倍角余弦公式的应用 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 (一)整体感知(一)整体感知 引导语:引导语:以公式 C(-)为基础
2、,我们已经得到六个和(差)角公式,下面将以和(差)角公式 为基础来推导倍角公式 (二(二)新知探究)新知探究 问题问题 1:你能利用 ()()() S,C,T 推导出sin2 ,cos2 ,tan2的公式吗?你能用 不同的方法推出这些公式吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生独立进行推导,教师巡视并收集学生的不同证法,或请学生将不 同的证法列举在黑板上 预设答案:预设答案:这里不同的证法主要体现在两个方面:一是推导的依据具有多样性,例如可 以将 () S 中替换为推得 2 S , 也可以由 () S 中的替换为, 而推导公式 2 T 时, 可以从 () T 出发,也可以由 22 S ,C
3、合作推出;二是推导的顺序具有多样性,学生可以自 行设计三个二倍角公式的证明顺序, 由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公 式,因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异 22 2 2tan sin22sincos ,cos2cossin,tan2 1tan 三个公式分别简记为 2 S , 2 C ,2 T 设计意图:设计意图:给学生一定的自由度,由学生自己制定计划,并完成二倍角公式的证明 追问:追问:如果要求二倍角的余弦公式( 2 C )中仅含的正弦或仅含余弦,那么你能得到怎 样的结论? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生独立进行推导 预设答案:预设答案: 2 cos212sin ,
4、 2 cos22cos1 设计意图:设计意图:引导学生发现公式 2 C 的两种变形形式,为下一课时半角公式做好铺垫 说明说明:以上五个公式都叫做二倍角公式,或倍角公式倍角公式倍角公式给出了任意角的三 角函数与2的三角函数之间的关系 这里的“倍角”专指“二倍角”, 遇到“三倍角”等名词时, “三”字等不可省去 问题问题 2:从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现,这些公式之间存在紧 密的逻辑联系,你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生进行归纳整理,作出结构图,然后小组交流,最后教师挑选一到 两组学生面向全班交流展示 预设的答案:预设的答案:
5、以上关系仅供参考,其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一,也不必完全画出,但 所有公式中,起点一定是 () C ,其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头 设计意图:设计意图: 培养学生总结反思的学习习惯, 促使学生对 3 个课时推导出的所有公式进行 简单回顾梳理,并感悟公式 () C 作为所有公式推导的起源具有特殊意义 例例 1 (1)已知 sin 2= 5 13, 4 2,求 sin 4,cos 4,tan 4 的值 (2)已知锐角满足 1 sin 63 ,求 sin2 3 的值 (3)在ABC 中,cos A=4 5,tan B=2,求 tan(2A+2B)的值 追问追问 1:在(1)中
6、,已知条件给出了2的正弦值我们应该把2看作一个整体还是 将它看作的二倍?待求的是4的三角函数值,二者之间有什么关系? 预设答案:预设答案:把2看作一个整体待求角是已知角的二倍 设计意图:设计意图:向学生渗透分析问题的常规方法,即分析化简已知条件,明确待求目标,寻 找办法拉近二者之间的距离 顺带指出, “倍”是描述两个数量之间关系的, 2是的二倍, 4是2的二倍, 2是 4的二倍,这里蕴含着换元思想 追问追问 2:在(2)中,注意题目中的已知角与待求角,你能制定多少种不同的方案解出 此问题?哪一种方法最便捷? 预设答案:预设答案: 方案一, 直接把 sin 6 展开, 结合同角三角关系解出的正弦
7、余弦值, 再用倍角公式与差角公式计算 sin2 3 ;方案二,视 6 为一个整体,借助同角 关系解出 cos 6 ,再由关系 33 算出的正弦、余弦值,下同方案一; 方案三,注意到 2 =2 36 ,视 6 为一个整体,借助同角关系解出 cos 6 ,再用二倍角公式直接求解 设计意图:设计意图:引导学生分析题目的一般方法,先确认条件及目标,再制定解题方案,最后 经过可行性分析, 选择最优方案实施 同时再次突显出分析角差异及换元思想在三角恒等变 形中的重要性 追问追问 3:在(3)中,2A+2B 与 A,B 之间能构成怎样的关系?你能想到几种不同的求解 顺序? 预设答案:预设答案:22AB可以看
8、作,A B的二倍角的和,也可以看作,A B的和的二倍角有 两种求解顺序,即先计算二倍角再计算和角,或先计算和角,再计算二倍角 设计意图:设计意图: (3)题具有一定的综合性,也是和角公式与倍角公式的综合应用问题由于 对 2A+2B 与 A,B 的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路不过,它们都是对倍角、 和角关系的联合运用,本质上没有区别此外,在三角形的背景下研究问题,常常伴随着一 些隐含条件,如 0A,A+B+C= 等凭借本题目,教师可抓住机会醒学生对此类信息多 加关注 预设答案:预设答案: 解: (1)由 4 2,得 22 又 sin 2= 5 13,所以 cos 2=1 ( 5 13)
9、 2=12 13 于是 sin 4=sin2 (2)=2sin 2cos 2=25 13 ( 12 13)= 120 169; cos 4=cos2 (2)=12sin22=12 ( 5 13) 2=119 169; tan 4=sin 4 cos 4 = 120 169 169 119= 120 119 (2)由 0, 2 ,可知 , 63 6 , 故 2 2 2 cos1 sin 663 , 于是 4 2 sin2=sin22sincos 36669 (3) 解法 1: 在ABC 中, 由 cos A=4 5, 0A, 得 sin A=1 cos 2=1 (4 5) 2=3 5 所以 ta
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