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类型人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)》 教 案.docx

  • 上传人(卖家):alice
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    1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第三课时)(第三课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式 () C 的意义,发展学生逻辑推 理素养 2掌握公式 2 S , 2 C 及其变形形式,2 T ,发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:经历从和角公式推导二倍角公式的过程,体会公式 () C 的意义 教学难点:教学难点:把握角度关系;二倍角余弦公式的应用 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 (一)整体感知(一)整体感知 引导语:引导语:以公式 C(-)为基础

    2、,我们已经得到六个和(差)角公式,下面将以和(差)角公式 为基础来推导倍角公式 (二(二)新知探究)新知探究 问题问题 1:你能利用 ()()() S,C,T 推导出sin2 ,cos2 ,tan2的公式吗?你能用 不同的方法推出这些公式吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生独立进行推导,教师巡视并收集学生的不同证法,或请学生将不 同的证法列举在黑板上 预设答案:预设答案:这里不同的证法主要体现在两个方面:一是推导的依据具有多样性,例如可 以将 () S 中替换为推得 2 S , 也可以由 () S 中的替换为, 而推导公式 2 T 时, 可以从 () T 出发,也可以由 22 S ,C

    3、合作推出;二是推导的顺序具有多样性,学生可以自 行设计三个二倍角公式的证明顺序, 由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公 式,因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异 22 2 2tan sin22sincos ,cos2cossin,tan2 1tan 三个公式分别简记为 2 S , 2 C ,2 T 设计意图:设计意图:给学生一定的自由度,由学生自己制定计划,并完成二倍角公式的证明 追问:追问:如果要求二倍角的余弦公式( 2 C )中仅含的正弦或仅含余弦,那么你能得到怎 样的结论? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生独立进行推导 预设答案:预设答案: 2 cos212sin ,

    4、 2 cos22cos1 设计意图:设计意图:引导学生发现公式 2 C 的两种变形形式,为下一课时半角公式做好铺垫 说明说明:以上五个公式都叫做二倍角公式,或倍角公式倍角公式倍角公式给出了任意角的三 角函数与2的三角函数之间的关系 这里的“倍角”专指“二倍角”, 遇到“三倍角”等名词时, “三”字等不可省去 问题问题 2:从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现,这些公式之间存在紧 密的逻辑联系,你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生进行归纳整理,作出结构图,然后小组交流,最后教师挑选一到 两组学生面向全班交流展示 预设的答案:预设的答案:

    5、以上关系仅供参考,其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一,也不必完全画出,但 所有公式中,起点一定是 () C ,其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头 设计意图:设计意图: 培养学生总结反思的学习习惯, 促使学生对 3 个课时推导出的所有公式进行 简单回顾梳理,并感悟公式 () C 作为所有公式推导的起源具有特殊意义 例例 1 (1)已知 sin 2= 5 13, 4 2,求 sin 4,cos 4,tan 4 的值 (2)已知锐角满足 1 sin 63 ,求 sin2 3 的值 (3)在ABC 中,cos A=4 5,tan B=2,求 tan(2A+2B)的值 追问追问 1:在(1)中

    6、,已知条件给出了2的正弦值我们应该把2看作一个整体还是 将它看作的二倍?待求的是4的三角函数值,二者之间有什么关系? 预设答案:预设答案:把2看作一个整体待求角是已知角的二倍 设计意图:设计意图:向学生渗透分析问题的常规方法,即分析化简已知条件,明确待求目标,寻 找办法拉近二者之间的距离 顺带指出, “倍”是描述两个数量之间关系的, 2是的二倍, 4是2的二倍, 2是 4的二倍,这里蕴含着换元思想 追问追问 2:在(2)中,注意题目中的已知角与待求角,你能制定多少种不同的方案解出 此问题?哪一种方法最便捷? 预设答案:预设答案: 方案一, 直接把 sin 6 展开, 结合同角三角关系解出的正弦

    7、余弦值, 再用倍角公式与差角公式计算 sin2 3 ;方案二,视 6 为一个整体,借助同角 关系解出 cos 6 ,再由关系 33 算出的正弦、余弦值,下同方案一; 方案三,注意到 2 =2 36 ,视 6 为一个整体,借助同角关系解出 cos 6 ,再用二倍角公式直接求解 设计意图:设计意图:引导学生分析题目的一般方法,先确认条件及目标,再制定解题方案,最后 经过可行性分析, 选择最优方案实施 同时再次突显出分析角差异及换元思想在三角恒等变 形中的重要性 追问追问 3:在(3)中,2A+2B 与 A,B 之间能构成怎样的关系?你能想到几种不同的求解 顺序? 预设答案:预设答案:22AB可以看

    8、作,A B的二倍角的和,也可以看作,A B的和的二倍角有 两种求解顺序,即先计算二倍角再计算和角,或先计算和角,再计算二倍角 设计意图:设计意图: (3)题具有一定的综合性,也是和角公式与倍角公式的综合应用问题由于 对 2A+2B 与 A,B 的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路不过,它们都是对倍角、 和角关系的联合运用,本质上没有区别此外,在三角形的背景下研究问题,常常伴随着一 些隐含条件,如 0A,A+B+C= 等凭借本题目,教师可抓住机会醒学生对此类信息多 加关注 预设答案:预设答案: 解: (1)由 4 2,得 22 又 sin 2= 5 13,所以 cos 2=1 ( 5 13)

    9、 2=12 13 于是 sin 4=sin2 (2)=2sin 2cos 2=25 13 ( 12 13)= 120 169; cos 4=cos2 (2)=12sin22=12 ( 5 13) 2=119 169; tan 4=sin 4 cos 4 = 120 169 169 119= 120 119 (2)由 0, 2 ,可知 , 63 6 , 故 2 2 2 cos1 sin 663 , 于是 4 2 sin2=sin22sincos 36669 (3) 解法 1: 在ABC 中, 由 cos A=4 5, 0A, 得 sin A=1 cos 2=1 (4 5) 2=3 5 所以 ta

    10、n A=sin cos = 3 5 5 4= 3 4,tan 2A= 2tan 1;tan2 = 23 4 1;(3 4) 2= 24 7 又 tan B=2,所以 tan 2B= 2tan 1;tan2 = 22 1;22= 4 3 于是 tan(2A+2B)= tan 2:tan 2 1;tan 2tan 2 = 24 7 ;4 3 1;24 7 (;4 3) = 44 117 解法 2:在ABC 中,由 cos A=4 5,0A,得 sin A=1 cos 2=1 (4 5) 2=3 5 所以 tan A=sin cos = 3 5 5 4= 3 4 又 tan B=2,所以 tan(A

    11、+B)= tan :tan 1;tan tan = 3 4:2 1;3 42 = 11 2 所以 tan(2A+2B)=tan2(A+B)= 2tan(:) 1;tan2(:)= 2(;11 2 ) 1;(;11 2 ) 2= 44 117 例例 2 证明: (1) 1sin 2cos 2 1sin 2cos 2tan (2)3cos 44cos 28sin4; (3) tan tan 2 tan 2;tan 3(sin2cos2)2sin(2 3) 追问:追问: 以上各个等式的左右两侧差异很明显, 而且都是左侧相对复杂, 右侧相对简单 因 此我们需要借助三角恒等变换的公式对每个等式的左侧进行

    12、化简变形, 最终变为等号右侧的 形式 你能发现每个等式等号两侧最明显的差异是什么吗?你打算如何利用你发现的差异指 导我们后续恒等变换? 预设答案:预设答案: (1)的两侧有以下差异:第一,角不同,左边是二倍角,右边是单倍角,第 二, 结构不同, 左边是比的形式, 右侧不是, 因此打算借助二倍角公式把左边的2化为, 由于右侧的比值只有一项,因此需要想办法把左边的分子与分母的项数尽可能变少; (2)的 两侧最明显的差异是,角不同,左侧包括42 ,而右侧仅含有,因此打算利用二倍角 公式将左侧的4变为2,再将2变为; (3)两侧差异有三处:第一,角不同,左侧 第二项所含角为,其它项包括等号右侧均为2,

    13、第二,函数名称不同,左侧第一项为正 切,其它各项均为正弦、余弦,第三,结构不同,左侧为两项之和,右侧仅有一项,因此打 算逆用二倍角公式将第二项变为含有2的形式, 将第一项的正切利用同角三角关系转化为 正弦、余弦,最后逆用和角公式或差角公式将两项合并成一项,从等号右侧形式推断,最可 能的情形就是提取2之后,剩下的部分组成2与 3 两角差的正弦形式 设计意图:设计意图: 引导学生分析三角恒等证明问题的证明思路, 一般需从对比等式两侧的差异 入手, 在发现它们的差异不同之后, 再选择相关公式, 将复杂的一侧向简单的一侧化简变形, 最终证明等式成立,若两侧均比较复杂,则考虑两侧同时化简 证明: (1)

    14、左侧 2 2 1+2sincos(12sin)2sin (sincos ) =tan 12sincos2cos12cos (sincos ) 右 侧; (2)左侧 222 =32cos 21 4cos22(cos 22cos21)2(cos21)a 224 2( 2sin)8sin=右侧 (3)左侧= sinsin2 . sinsin2 coscos2 3cos23cos2 sin2sin sin2 coscos2 sin cos2cos sinsin213 3cos2sin23cos22 sin2cos2 sin(2)22 =2 sin2 coscos2 sin2sin 2 333 右侧 问

    15、题问题 3:在例 6(1)中,我们对等号左侧化简变形时,分子和分母中均含有cos2, 但是却采用了不同的形式进行了变形,分子中利用了公式 2 cos212sin ,而分母中 则利用了 2 cos22cos1你能结合这个题目谈一谈二倍角的余弦公式的三种不同形 式的特点与适用场合吗? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生回顾反思,教师对学生们的回答进行梳理总结 预设答案:预设答案: 22 cos2cossin特征是齐次,在需要分解因式的场合有可能采用 此形式; 2 cos22cos1的特征是含有cos不含sin,还包括1,在我们需要仅 含cos的场合或需要抵消1的时候可以采用此形式;类似地, 2

    16、cos212sin 的特征 是含有sin但不包含cos,且含有1,在我们需要仅含sin的场合或需要抵消1时, 可采用此形式 设计意图:设计意图: 引导学生归纳反思, 为使用二倍角余弦公式的不同形式时作出最佳选择打好 基础 问题问题 4:结合例 5 与例 6 的求解过程,请你思考,利用三角恒等变形公式解决求值、化 简及证明问题时,已知条件与待求式子之间,或待证等式的左右两边,通常会有各种各样的 差异,我们应该重点关注其中哪些方面的差异? 师生活动:师生活动:学生独立思考之后小组交流,教师进行梳理总结 预设答案:预设答案:角的差异,三角函数名称的差异,结构差异等 设计意图:设计意图:向学生渗透三角

    17、恒等变换的特点,引导学生从角度差异、三角函数名称差异 及结构差异等方面着手分析问题, 把握变形方向, 为学生接下来要大量面对的三角恒等变换 问题提供分析策略和指导方向 (三(三)归纳归纳小结小结 问题问题 5:回顾本节课的内容,你能正确写出二倍角公式吗?你在认识和使用这些公式时 有哪些心得体会? 预设的师生活动:预设的师生活动:学生进行归纳、思考并回答 预设预设答案答案:公式中的二倍角和单倍角分别用2与表示,但是使用公式时,它们也可 以是4与2, 2 3 与 6 等,形式非常灵活;余弦二倍角公式有三种形式: 2222 cos2cossin2cos11 2sin ,在使用它们的时候,需要结合题目

    18、 特征进行选择,例如,有时候因为只想出现sin而选择最后一种形式,有时候为了和1正 负抵消而选择第二种形式等等;我们在解决三角恒等变换问题的时候,往往要从角度差异、 函数名称差异、 代数式结构差异等方面对已知条件和待求结论寻找差异, 然后再根据这些差 异选择适当的公式进行变形求解 设计意图:设计意图:回顾反思,使学生在头脑中形成思维网络 (四)作业布置(四)作业布置 教科书习题 5.5 第 7,8 题 (五(五)目标检测设计)目标检测设计 1已知 cos 8= 4 5,812,求 sin 4,cos 4,tan 4的值 2求下列各式的值: (1)sin 15 cos 15 ; (2)cos2

    19、8sin 2 8; (3) tan 22.5 1;tan222.5; (4)2cos 2 22.5 1 3证明: (1)cos 44cos 238cos4; (2) 1sin 2 2cos2sin 2 1 2tan 1 2; 预设答案:预设答案:1sin 4 24 25,cos 4 7 25,tan 4 24 7 2 (1)1 4; (2) 2 2 ; (3)原式1 2 2tan 22.5 1;tan222.5 1 2tan45 1 2; (4)原式 cos 45 2 2 设计意图:通过若干题目,促使学生巩固二倍角公式,并能正用或者逆用公式解决简单 的求值或证明问题,提升学生逻辑推理与数学运算素养通过计算、证明等不同类型的题目 设置,对学生分析和解决三角恒等变换问题有很好的促进作用

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