人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章《5.5.2 简单的三角恒等变换(第二课时)》教案.docx
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1、 5.5.2 简单的三角恒等变换(第二课时)简单的三角恒等变换(第二课时) 教学设计教学设计 教学目标教学目标 经历以和角、差角、倍角公式为依据对函数sincosyaxbx进行恒等变换,最 终研究其函数性质的过程,体会三角恒等变换的内容、思路和方法,并能解决简单的三角变 换应用问题,发展逻辑推理素养与数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点:教学重点:以研究函数sincosyaxbx的性质为载体,体会三角变换的内容、 思路和方法 教学难点:教学难点:将函数sincosyaxbx化为一个角的一种三角函数的形式 课前准备课前准备 PPT 课件 教学过程教学过程 (一)整体感知(一)整体感知 引
2、导语:引导语: 上一课时我们运用已学过的三角公式完成了部分三角恒等变换的题目, 这一节 课我们将会继续沿用同样的思路和方法,解决一些应用性较强的问题 (二(二)新知探究)新知探究 例例 1 求下列函数的周期,最大值和最小值: (1)ysin3 3cos3 ; (2)y3sin x4cos x 追问追问 1:什么样结构的函数便于求周期,最大值和最小值等性质? 预设答案:预设答案:一个角的一种三角函数的形式,如sin()yAx、cos()yAx 等形式 追问追问 2:前面学过的哪个公式可以实现和差的形式化为sin()yAx的形式? 预设答案:预设答案:和差角公式逆用即可实现这种转化 追问追问 3:
3、在已知的函数式中如何出现两个角的正、余弦? 预设答案:预设答案:通过对系数变形,只要构造出两个系数的平方和为 1 就可以解决问题 预设答案:预设答案: (1) y2(1 2sin3 3 2 cos3 )2(sin3 cos 3 cos3 sin 3)2sin(3 3) 因此,所求周期为2 3 ,最大值为 2,最小值为2 (2)解法一:设 3sin x4cos xAsin (x),则 3sin x4cos x=Asinxcos+Acosxsin, 于是 Acos=3,Asin=4 于是 A2cos2+A2cos2=25,所以 A2=25 取 A=5,则 cos 3 5,sin 4 5 由 y=5
4、sin (x)可知,所求周期为 2,最大值为 5,最小值为5 解法二:3sin x4cos xA(3 Asin 4 Acos), 令(3 A) 2+(4 A) 2=1,解得 A2=25,不妨取 A=5, 则 3sin x4cos x5(3 5sin 4 5cos) 令 cos 3 5,sin 4 5 则 y=5(sincos cossin ) =5sin (x) 故所求周期为 2,最大值为 5,最小值为5 设计设计意图:意图:由例 1 可以看到,通过三角恒等变换,我们可以把 yasinxbcosx 转化为 yAsin(x)的形式, 这个形式更有利于我们研究该函数的周期、 单调区间、 最值等性质
5、, 这个过程中蕴含了化归思想因为这个变换过程引进了辅助角,因此有时候 sincossin()(0,0)axbxAxab被称为辅助角公式,其中 22 Aab,辅助 角满足:sin,cos,tan bab AAa 当我们运用这种 方法变形, 且不是特殊角(即角无法解出)时, 应标注的正 弦值、余弦值或正切值以使表达更严谨 例例 2 如图 1,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 3的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形记POC, 求当角 取何值时, 矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面 积 追问追问 1:要求最大面积,首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出来,它的长和宽与
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