2.1等式的性质与不等式-（新教材）人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

1、新教材必修第一册 2.1：等式的性质与不等式 课标解读： 1. 不等式与不等式的概念.（理解） 2. 实数比较大小的依据.（理解） 3. 等式的性质.（理解） 4. 不等式的性质.（掌握） 学习指导： 1. 通过具体实例，体会不等号表示不等关系的简洁性，认识不等式在现实生活中的广 泛应用. 2. 在回顾等式及性质的基础上类比学习不等式及其性质，并注意区分它们之间的差异. 知识导图： 等式与等式的性质 不等式的性质及其应用 实数大小比较的依据 不等式 不等关系用不等式（组）表示不等关系 不等关系与不等式 教材全解 知识点 1：不等关系与不等式 1. 不等关系与不等式 （1）在客观世界中，量与量之

2、间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“” 、 “” 、 “” 、 “” “”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等符 号的式子叫做不等式. （2）“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫 做非严格不等式. 2.不等关系在实际生活中的体现 不等关系反映在日常生活的方方面面，比如： （1）常量与常量之间的不等关系，如铁的密度大于水的密度； （2）变量与常量之间的不等关系，如某卡车的承载质量 G 小于或等于 10t. （3）函数与函数之间的不等关系， 如当 0 xx 时， 方案一的费用 1 y小于方案二的费用 2 y. （4）一组变量之间的不等关系，如买圆珠笔的

3、费用x2与买作业本的费用y的和不超过 200 元. 3.用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要不等式组来表示不等关系. 例 1-1：李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存 60 元，计划从现在起 以后每个月节省 30 元，直到他至少有 400 元.设x个月后他至少有 400 元，则他可以用 于计算所需要的月数x之间的不等式是（ ） A.4006030 x B.4006030 x C.4006030 x D.4004030 x 答案：B. 例 1-2： 完成一项装修工程， 请木工需支付工资每人 400 元， 请瓦工需支付工资每人 500 元，要求工人工

4、资预算不超过 20000 元。设木工x人，瓦工y人，则下列关系式正确的 是（ ） A.20054 yx B.20054 yx C.20045 yx D.20045 yx 答案：A. 知识点 2：实数比较大小的依据（重点） 1.实数的特征 （1）任意实数的平方不小于 0； （2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的数一定是实数. 2.实数大小比较的依据 在数轴上，不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大.如果ba是正数， 那么ba； 如果ba是等于 0， 那么ba； 如果ba 是负数，那么ba.反过来也对. 这可表示为. 0; 0;

5、 0babababababa 例 2-3：设RaaaQaaP),3)(1(, 3)3(2，则有（ ） A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ 答案：A. 例 2-4：已知, 0, 0baNbaMba则（ ） A.MN B.M=N C.MN D.不能确定 答案：A. 知识点 3：等式的性质（重点） 等式有下面的基本性质 性质 1：如果ba，那么ab； 性质 2：如果cbba ，那么ca； 性质 3：如果ba，那么cbca； 性质 4：如果ba，那么bcac ； 性质 5：如果0,cba，那么 c b c a . 例 3-5：利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数. （1）若532x，则x2 ，

6、x= ； （2）若4225xx，则x3 ，x= ； （3）若32 3 1 xx，则x 3 5 ，x= . 答案： （1）-2 -1; （2）-6 -2； （3）-3 5 9 知识点 4：不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质 1 对称性 abba 可逆 性质 2 传递性 cacbba , 同向 性质 3 可加性 cbcaba 可逆 性质 3 的推论 移项法则 bcacba 可逆 性质 4 可乘性 bcac c ba bcac c ba 0 ; 0 c 的符号 性质 5 同向可加性 dbca dc ba 同向 性质 6 同向同正可乘性 bdac dc ba 0 0 同向、同正 性质 7 可乘方

7、性 )2,(0nNnbaba nn ， 同正 例 4-6：已知dcba ,且dc,均不为 0，那么下列不等式一定成立的是（ ） A.bcad B.bdac C.dbca D.dbca 答案：D. 例 4-7：下列命题为真命题的是（ ） A. 22 0baba B.0 22 baba C. 1 a b ba D. 33 baba 答案：D. 重难拓展 知识点 5：比较大小时常用的作差法和作商法的解题依据以及应用范围和步骤如下： 作差法 作商法 依 据 baba baba baba 0 0 0 ;1, 0, 0ba b a ba则 .1;1ba b a ba b a ;1, 0, 0ba b a

8、ba则 .1;1ba b a ba b a 应 用 范 围 两数 （式） 的大小关系不明显. 作差后积、商且易于判断与 0 的大小关系的形式 同号两数（式）比较大小，两数（式）的大小关系不明显，作商 后易于判断与 1 的大小关系 步 骤 作差；变形；判断差与 0 的大小关系；下结论. 作商；变形；判断商与 1 的大小关系；下结论. 例 4-8：若0, 0dcba，求证： 22 )()(db e ca e . 答案： . )()( , 0 . )( 1 )( 1 0 , 0)()( , 0. 0 . 0, 0 22 22 22 db e ca e e dbca dbca dbcaba dcdc

9、又 又 解题指导 题型 1：实数的大小比较 （1）例 9：已知, 0, 0ba试比较 a b b a 与ba 的大小. 答案：作差法、作商法、平方法均可证明 a b b a ba 变式训练 1：若0)( , 0)(,nqmqnpmpqpnm且，则qpnm,从小到大的排列 顺序是（ ）. A.nqpm B.nqmp C.qnpm D.qnmp 答案：A. 变式训练 2： 某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买 2 枝玫瑰花与 1 枝康 乃馨所需要的费用之和大于 8 元，而购买 4 枝玫瑰与 5 康乃馨所需要的费用之和小于 22 元.设购买 2 枝玫瑰所需要的费用为 A 元，购买 3 枝康

10、乃馨所需费用为 B 元，则 A， B 的大小关系是（ ） A. AB B. AB C. A=B D. A,B 的大小关系不能确定 答案：A. 题型 2：不等式性质的应用 1.判断命题的真假 例 10：已知Rcba,且0c，则下列命题中是真命题的是（ ）. A.如果ba，那么 c b c a B.如果bcac ，那么ba C.如果ba，那么 ba 11 D.如果ba，那么 22 c b c a 答案：D. 2.证明不等式 例 11：已知0, 0, 0edcba，求证：. db e ca e 答案：作差法，证明略. 3.利用不等式的性质求范围： 例 12： （1）已知82 , 41ba，试求ba3

11、2 与ba的取值范围； （2）已知82 , 41ba，求 b a 的取值范围； （3）已知32 , 86ba，求 b a 的取值范围. 答案： （1）27ba. （2） 2 1 8 1 b a . （3）43 b a 例 13：已知, 24, 51baba求ba42 的取值范围. 答案：74217ba 变式训练：已知, 41yx且, 32yx则yxz32 的取值范围是 . 答案：83 z 4.实际应用 例 14：有一批衬衣原价为每件 80 元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商场都推出了 促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠 4 元，买两件衬衣优惠 8 元，买三件衬衣优惠 12 元.以此类推， 直到

12、减至半价为止； 乙商场则一律按原价的 7 折酬宾.某单位欲为每位 员工买一件该衬衣，问到哪个商场买比较合算？ 答案：若员工不超过 5 人，到乙商场合算。若员工恰为 6 人，甲、乙商场一样合算。 若员工超过 6 人，到甲商场合算. 易错题型 易错点 1：忽略不等式成立的条件 例 15：给出下列命题： 若0, cba，则; b c a c 若 33 bcac，则ba； 若 Nkba且，则 kk ba ； 若0bac，则. bc b ac a 其中正确命题的序号是 . 答案： 易错点 2：误用同向不等式的性质 例 16：已知3612a，求 b a 的取值范围. 答案：C 品味高考 考向 1：不等关系

13、的实际应用 例 17： （浙江高考题） 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只能使用一种 颜色，且三个房间的颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：平方米）分别为 zyx,，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m）分别为cba,，在不同的方案中，最 低总费用（单位：元）是（ ） A. czbyax B.cxbyaz C.cxbzay D.czbxay 答案：B 考向 2：不等式性质的应用 例 21：若0, 0dcba，则一定有（ ） A. d b c a B. d b c a C. c b d a D. c b d a 答案：D 变式训练 1：设,baRcba ，且则（ ） A.bca

14、c B. ba 11 C. 22 ba D. 33 ba 答案：D 变式训练 2：能说明“若 ba ba 11 ,则”为假命题的一组ba,的取值依次是 . 答案：1，-1（答案不唯一） 基础巩固： 1.下列运用等式性质变形不正确的是（ ） A.55yxyx，则若 B.bcacba ，则若 C.ba c b c a ，则若 D. a y a x yx ，则若 2.已知10 , 10ba，记1,baNbaM，则 M 与 N 的大小关系是（ ） A.MN D.不确定 3.已知0, 0aba且，则（ ）. A. 22 baba B. 22 aabb C.abba 22 D. 22 abab 4.设26

15、, 372cba，则cba,的大小关系是（ ）. A.cba B.bca C.cab D.acb 5.用不等式表示如图两个函数之间的关系为 . 6.如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成，图（2）是一个 矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母ba,的不等 式表示为 . 7.某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面几个条件的制约：生产次产品的工人不 超过 200 人；每个工人的年工作时间为 2100h，预计次产品明年的销售量至少为 80000 袋；生产每袋产品需要 4h；生产每袋产品需要原料 20kg；本年年底库存原料 600t，明 年可补充 1

16、200t.试根据这些数据预测明年的产量. 8. 若0 yx，试比较 22, , 1 , 1 yx yx 的大小. 能力提升 9. 有 外 表 一 样 、 质 量 不 同 的 四 个 小 球 ， 它 们 的 质 量 分 别 是dcba,， 已 知 bcacbdadcba,，这四个小球的质量由大到小的排列顺序是（ ） A.cabd B.adcb C.acbd D.bdac 10.设Rba,，定义运算“”和“”如下： a bab baa b , , ，a baa bab b , , ， 若正数dcba,满足4, 4dcab，则（ ） A.ab2，cd2 A.ab2，cd2 A.ab2，cd2 A.a

17、b2，cd2 12.若bayx,，则在ybxa，ybxa，byax ，,22aybx x b y a 这 五个不等式中，恒成立的不等式序号是 . 13.已知0 2 1 a，A= 2 1a，B= 2 1a，C= a1 1 ，D= a1 1 ，试判断 A,B,C,D 的大小关系. 14.甲、乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的 速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b.若ba，试判断哪一辆车 先到达 B 地. 15.已知三个不等式：; 0ab; b d a c adbc.若以其中两个作为条件，余下一个作为 结论，请写出一个真命题，并写出推理过程. 答案： 1. D 2. C 3. A 4. B 5. 2 1 2 x x 6. abba)( 2 1 22 7. 80000 袋到 90000 袋之间 8. 略 9. A 10. C 12. 13.CABD 14.甲车先到达 B 地 15.略