2015-2016学年学业水平测数学卷.docx

1、1 2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分. 1.已知集合M = -1,0,1 , xxxN 2 |,则MN=（） A.1 B.0,1 C.-1,0 D.-1,0,1 2.已知等比数列an 的公比为 2，则 a4 a2 值为（） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D.4 3.直线 l 过点1,-2 ()，且与直线2x+3y-1=0垂直，则 l 的方程是（） A.2x+3y+4=0 B.2x+3y-8=0 C.3x-2y-7=0 D.3x-2y-1=0 4.函数f x ( )= 1 2 x -

2、x+2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0 () B.0,1() C.1,2() D.2,3() 5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（） A. B. C. D. 2 6.要完成下列两项调查： （1）某社区有 100 户高收入家庭，210 户中等收入家庭，90 户低收 入家庭，从中抽取 100 户调查消费购买力的某项指标； （2）从某中学高二年级的 10 名体育 特长生中抽取 3 人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（） A.（1）用系统抽样法， （2）用简单随机抽样法 B.（1）用分层抽样法， （2）用系统抽样法 C.（1）用分层抽样法， （2）用简单随机抽样法 D.（1）

3、（2）都用分层抽样法 7.设x,y满足约束条件 , 03 , 02 , 01 yx xy x ,则z= x-y的最大值为（） A. 3 B.1 C.1 D.5 8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 9.函数f x ( )= 1 2 -cos2 p 4 -x 的单调增区间是（） A. 2kp- p 2 ,2kp+ p 2 ,k Z B. 2kp+ p 2 ,2kp+ 3p 2 ,k Z C. kp+ p 4 ,kp+ 3p 4 ,k Z D. kp- p 4 ,kp+ p 4 ,k Z 3 10.设a1,b2且ab=2a+b则a+b的

4、最小值为（） A.2 2 B.2 2+1 C.2 2+2 D.2 2+3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 11.不等式x2-3x+20且a1）恒过定点2,n()，则m+n的值为_. 4 15、在ABC中，角CBA,的对边分别是cba,，且60, 8,10Aba. （1）求Bsin的值； （2）求Ccos的值. 16、甲，乙两组各 4 名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答 对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数 字表示答对题目个数的个位数. （1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差； （2）分

5、别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为 20 的概 率. 5 17、设 n S为数列 n a的前n项和，且 *2 1NnnnSn，. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 1 1 nna a 的前n项和 n T . 6 18、如图，在三棱锥ABCP中，30, 3245ACBBCABPBPCPA， . （1）求证：PBAC ； （2）求三棱锥ABCP的体积. 7 19、已知圆C的圆心为点30，C，点2 , 3R在圆C上，直线l过点01，A且与圆C相交于 QP,两点，点M是线段PQ的中点. （1）求圆C的方程； （2）若9ACAM，求直线l的方程. 8 20、已知

6、点BA,是函数1 , 12xxy图像上的两个动点，xAB/轴，点B在y轴的右侧， 点2, 1mmM是线段BC的中点. （1）设点B的横坐标为a，ABC的面积为S，求S关于a的函数解析式 afS ； （2）若（1）中的 af满足 12 6 2 mk m af对所有1 , 0a，, 4m恒成立，求实 数k的取值范围. 9 2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案 二、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分。 1. 【答案】B 【解析】 2 :0100,1N xxx xN，MN = 0,1 . 2. 【答案】D 【解析】 a4 a2 =q

7、2=4 3. 【答案】C 【解析】设直线:320lxyc因为1,-2 ()在直线上，代点到直线方程得：3+4+c=0 7c 4. 【答案】D 【解析】 23 1111 233210 2248 ff 5. 【答案】A 6. 【答案】C 7. 【答案】B 【解析】y= x-z,作l0:y= x,当l0移至 12 , l l两直线交点H时截距z最小， 即z最大，( 1, 2)H ， zmax=-1+2=1 8.【答案】A 【解析】 11 2 336 33 SABCDABCD VSSB 9.【答案】C 10 【解析】 2 1 cos2 1112 cossin2 24222 x f xxx , 即求 1

8、 2 sin2x的单调递减区间: 3 222, 22 3 , 44 kxkkZ kxkkZ 10.【答案】D 【解析】 3223 2 ,22 2 0, 0 2 3 212 122 1 2 a b b a a b b a a b b a a b b a ab baba abab ba baab 当且仅当 b a =2,b=2a时符号成立，即 211 222 a b 满足， 则最小值为2 2 +3。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 11.【答案】1,2 () 【解析】 2 320,210,12xxxxxx 12.【答案】- 3 3 【解析】终边在：20 ,cos0

9、yx x 22 3tan2 cos 3sincos1 13.【答案】7 【解析】x=1,y=5-21=3, 3-1 5，否 11 x=3,y=5-23=-1, -1-3 5，否 x =-1,y=5-2 -1 ()=7, 7- -1()5，是， 7y 14.【答案】0 【解析】f x ( )=logax+m()+1过定点2,n()，则 log21 a mn ，恒成立， 2+m=1 1=n m=-1 n=1 m+n=0 15.【答案】解:（1）由正弦定理得， sinsin ab AB 10,8,60abA sin2 3 sin 5 bA B a （2）由（1）得， 2 3 sin 5 B ，且ab

10、 2 13 cos1 sin 5 BB 又60A 31 sin,cos 22 AA coscos sinsincoscos 32 3113 2525 613 10 CAB ABAB 16.【答案】解： （1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12 12 2222 2 89 11 12 10 4 15 8 109 1011 1012 10 42 x S 甲 甲 （2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11 设事件“两名同学答对题目个数之和为 20”为事件A，以, x y记录甲，乙两组同学答对题目 的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有： 8,8 , 8,8 , 8

11、,9 , 8,11 , 9,8 , 9,8 , 9,9 , 9,11 , 11,8 , 11,8 , 11,9 , 11,11 , 12,8 , 12,8 , 12,9 , 12,11，共 16 种 满足事件A的基本事件为： 9,11 , 11,9 , 12,8 , 12,8，共 4 种 41 164 P A 答：两名同学答对题目个数之和为 20 的概率为 1 4 . 17.【答案】解： （1）当1n 时， 11 1 1 13aS ； 当2n时， 2 1 n Snn 2 1 (1)(1) 1 n Snn 得： 22 1 (1)(1) nn SSnnnn (21) 12 n ann 但 1 3a

12、 不符合上式，因此： 3, (1) 2 ,(2) n n a n n （2）当1n 时， 1 12 111 3 412 T a a 当2n时， 1 1111 11 () 22(1)4 (1)41 nn a annn nnn 13 1223341 1111 11111111 ()()() 12423341 11 11 () 124 21 51 244(1) n nn T a aa aa aa a nn n n 且 1 1 12 T 符合上式，因此： 51 244(1) n T n 18. 【答案】解:（1）证明：取AC中点D，连接PD、BD 在ABC中：BCAB, D为AC中点 ACBD 在PA

13、C中PCPA, D为AC中点 ACPD 又DPDBD,BD、PBDPD面 PBAC PBDPB PBDAC 面 面 （2）方法一： BCDPABDPABCP VVV A PBDC PBD VV 在ABC中，ABBC, 0 30ACB, D是AC中点 3BD, 3 DCAD 在PCD中，PDDC, 5PC, 3DC 4PD 4 183 3) 2 3 (4 2 1 22 PBD S 1 3 1183 3 34 183 4 A PBDPBD VSAD 14 又 183 4 C PBDA PBD VV 2 183 PBDCPBDAABCP VVV （2）方法二：取BD中点M,连接PM 由（1）可知PB

14、DAC面 又PBDPM面 PMAC 在ABC中，BCAB, 0 30ACB, D是AC中点 3BD, 3 DCAD 在PCD中，DCPD, 5PC, 3DC 4PD PBD为等腰三角形 BDPM 又DBDAC, ABCBDAC面、 ABCPM面, 即PM为三棱锥ABCP的高h 易得 2 61 PM hSV ABCABCP 3 1 2 183 2 61 36 2 1 3 1 19. 【答案】解：(1)2R ,圆的方程为 22 (y 3)4x (2)方法一：k不存在时 1x，则P( 1,33)，Q( 1,33)，M( 1,3) 显然有=9AC AB 15 k存在时 设(1)yk x l的方程为yk

15、xk 11 ( ,)P x y, 22 ( ,)Q x y, 00 (,)M xy (1,3)AC ， 00 (1,)AMxy 有 00 1 39xy 即 1212 1 39 22 xxyy 联立 22 (3)4 ykxk xy 则 2222 (1)(26 )650kxkk xkk 2 12 2 62 1 kk xx k ， 23 12 2 62 2 1 kk yyk k 2 12 0 2 3 21 xxkk x k ， 23 12 0 2 3 21 yykk yk k 代入方程： 00 1 39xy 得： 223 22 33 1 39 11 kkkk k kk 解得： 4 3 k 综上所述，

16、l的方程1x或4340 xy 方法二：MCAMAMMCAMAMMCAMAMACAM 2 2 )( M是线段PQ的中点， 根据垂径定理，即PQCM ，即0AM MC , 3, 9 2 AMAM 16 10)03(1 22 CA 在ABCRt中，1910 22 AMCACM 若k存在时，设直线l为) 1(0 xky即0kykx 圆心)3 , 0(C到直线l的距离1 1 3 2 k k d，解得 3 4 k 直线l的方程为0434 yx 若k不存在时，过)0 , 1(A的直线为1x 也满足)3 , 0(C到直线1x的距离为1. 综上所述，直线l的方程为0434 yx或01x. 方法三：( 1,0)A

17、 ，(0,3)C，设点 00 (,)M xy，则： (1,3)AC ， 00 (1,)AMxy， 00 (,3)CMx y 由题意得： 00 1 39AM ACxy ，得 00 8 3xy 又因为M是弦PQ的中点，因此AMCM， 0000 (1)(3)0AM CMx xy y，将式代入，得： 0000 (8 3)(93)(3)0yyyy，整理得： 00 (3)(1024)0yy，解得： 0 3y 或 0 12 5 y 得M的坐标为( 1,3),或 4 12 (,) 55 ，因此直线l的方程为0434 yx或01x. 20. 【答案】解： （1）设)22 ,2(), 1 (),2 ,(),2 ,(amaCmMaaAaaB则 maaaamaafS24)222(2 2 1 )( 2 . （2）12 6 2412 6 )( 2 2 2 mk m maamk m af得由 maaaf24)( 2 的对称轴为 4 m a ，4,1 4 m m ， 17 ma24 1 , 0(上的最大值为在， 恒成立12 6 24 2 mk m m， 32 6 2 2 m m mk恒成立，即1 2 3 12 m m k恒成立. 2 2 2 3 12 m m 当且仅当23m时成立， . 1 2 2 k